Logičke operacije. Disjunkcija, konjunkcija i negacija

Logičko zbrajanje (disjunkcija) nastaje spajanjem dviju izjava u jednu pomoću veznika “ili”.

U ruskom se veznik "ili" koristi u dvostrukom smislu.

Na primjer, V prijedlog Obično u 20 sati gledam TV ili pijem čaj veznik “ili” uzet je u neisključivom (ujedinjujuće) smisla, jer možeš samo gledati TV ili samo piti čaj, ali možeš i piti čaj i gledati TV u isto vrijeme, jer mama ti nije stroga. Ova operacija se zove nestriktna disjunkcija.(Da je moja majka stroga, dopustila bi mi samo da gledam televiziju, ili samo da pijem čaj, ali ne bi kombinirala jelo i gledanje televizije.)

U izjavi Ovaj glagol ima I ili II konjugaciju veznik "ili"
koristi se isključivo (dijeljenje) osjećaj. Takva operacija
nazvao stroga disjunkcija.. ,. ,-> „,... > (, r>

Primjeri strogih i nestriktnih disjunkcija:

Izjava	Vrsta disjunkcije
Petya sjedi na zapadnoj ili istočnoj tribini stadiona	Strog
Učenik se vozi vlakom ili čita knjigu	Lax
Olya voli pisati eseje ili rješavati logičke probleme	Lax
Seryozha studira u školi ili ju je završio	Strog
Sutra će kiša ili neće (nema trećeg izbora)	Strog
Borimo se za čistoću. Čistoća se postiže na ovaj način: ili ne bacajte smeće, ili čistite često	Lax
Zelia se kreće po kružnoj ili eliptičnoj orbiti	Strog
Brojevi se mogu zbrajati ili množiti	Lax
Djeca su ili lijepo odgojena ili nisu naša	?

Oznaka za slabu disjunkciju:A ILI U; AILIU; A| U; A V U; A + B.(U ovom vodiču: A V U.)

Navedimo primjer disjunkcije dviju jednostavnih izjava.

Recimo, sa svog prozora možete vidjeti parkiralište, gdje se obično nalaze dva automobila: Mercedes i Zhiguli, ali može biti jedan od njih ili ne mora biti nijedan.

Označimo izjave:

A = Mercedes je na parkiralištu. U= Na parkiralištu su automobili Zhiguli.

(A disjunkcija B) = Na parkiralištu je "Mercedes" ili "Žiguli".

Poglavlje 3. Logičke operacije ____________ [___________________________ SCH

Tablica., ^"-"n..;h; ja■.■;- >i ,;,

Iz tablice istinitosti slijedi da je disjunkcija dviju izjava lažna ako i samo ako su obje izjave lažne, a istinita kada je barem jedna izjava istinita. Ponekad se ovo svojstvo uzima kao definicija operacije disjunkcije.

Mnemotehničko pravilo: disjunkcija je logično zbrajanje, a ne sumnjamo da ste primijetili da su jednakosti 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, istinito za obično zbrajanje, vrijedi i za operaciju disjunkcije, ali 1 V 1 = 1.

Riječ "konjunkcija" ima jedno slovo "i", a riječ "disjunkcija" ima dva slova "i", kao I u riječi "ili".

V L-Simbol V (disjunkcija) nastao je od prvog slova latinske riječi Vel ("ili").

“Dis” - “štikiraj” - V.

U teoriji skupova disjunkcija odgovara operaciji udruge postavlja.

Da bismo konstruirali Euler-Vennov dijagram koji odgovara uniji skupova, odabiremo one retke tablice istine u kojima AvB=\. Ima ih troje. Na dijagramu smo osjenčali tri područja u kojima su vrijednosti AIU isto kao u odabranim redovima. ^ _ h."" " * "o L su J I J

30 ___________________________ 1. dio. Elementi matematičke logike

Grafička ilustracija: ».*■.

A U A\jB- mnogo učenika u razredu koji su odlični učenici ili sportaši.

j Razmotrite operaciju strog disjunkcije (isključivo “ili”). i Navedimo primjer striktne disjunkcije.

,)■ Neka su dane sljedeće tvrdnje:

"■ A= Na parkingu je Mercedes.

>; B = Na parkiralištu su automobili Zhiguli.

ja (A stroga disjunkcija B) = Na parkiralištu stoji “Mvrsedve”*or

"Žiguli". v ?;;

Korištenje operacije "isključivo "ili" podrazumijeva da na parkiralištu može biti samo Mercedes ili samo Zhiguli i zabranjuje situaciju kada su Mercedes i Zhiguli na parkiralištu u isto vrijeme.

; . - "4",

Striktna disjunkcija:A XOR U; A v U.

poglavlje 3. Logičke operacije ______________________________________ 31

Iz tablice istinitosti slijedi da je operacija striktne disjunkcije istinita ako i samo ako je samo jedna od tvrdnji istinita, a lažna kada su obje tvrdnje istinite ili su obje lažne. Ponekad se ovo svojstvo uzima kao definicija operacije striktne disjunkcije.

Euler-Vennov dijagram koji prikazuje strogu disjunkciju konstruira se pomoću tablice istinitosti na isti način kao i za druge logičke operacije.

Grafička ilustracija:

<ЗЭ

A- mnogo odlikaša u razredu; U- mnogo sportaša u razredu;

A u B- mnogo učenika u razredu koji su ili izvrsni učenici ili sportaši.

d "ZAHOD. J

Logička posljedica (implikacija) -wr™

Logička posljedica (implikacija) nastaje povezivanjem dvoje!,

izjave u jednu koristeći figuru govora „ako..., Da ... ». ■

Primjeri implikacija: "

E = Ako je prisega dana, onda se mora ispuniti.{

P = Ako je broj djeljiv s 9, onda je djeljiv i s 3. ja

U logici je dopušteno (prihvaćeno, dogovoreno) smatrati i ne-.;:

izjave koje imaju smisla sa svakodnevne točke gledišta. ja

Navedimo primjere presuda koje se ne samo legitimno razmatraju; rive u logici, ali koje također imaju značenje "istinit":

S= Ako krave lete, tada je 2 + 2 = 5. X = Ako- Napoleon, onda mačka ima četiri noge.

Oznaka implikacije:A -> B; A=e U.(U ovom vodiču: A=» U.) Kažu: ako A, Da U; A podrazumijeva U; A povlači za sobom U; U slijedi iz A.

Dio 1. Elementi matematičke logike

Poglavlje 3. Logičke operacije f; L.__________________________ 33

Ova operacija nije tako očita kao prethodne. Može se objasniti, na primjer, na sljedeći način.

Neka su dani sljedeći iskazi: .>--.< а «<, .<-. *>, w ""ihw

L A = Vani pada kiša.>..;; j .„ , | G,., d

B = Asfalt je mokar. ts

(A implikacija 2?) = £bš on Vani pada kiša, onda je asfalt mokar.

Onda ako pada kiša (A= 1) a asfalt je mokar (5=1), onda je ovo omjer
odgovara stvarnosti, tj. istinito. Ali ako vam to kažu
vani pada kiša (A= 1), a asfalt ostaje suh (B = 0), onda brojite
ti to skrivaš lažima. Ali kad vani ne pada kiša (A= 0), zatim asfalt
može biti i suho i mokro (na primjer, upravo ste se vozili kroz
stroj za osovine). ʺ. ?; t | rfl]

Stol

Obrazac izjave: ako A, Da U,

G SOW! ,chi , T "/1

"? , L ■ i ". "L\ i h > < "L

poručnik S.Ch;":\0"1 "

Objasnimo konstrukciju dijagrama. Zanima nas istinitost implikacije, pa odabiremo one retke tablice istine u kojima A=> U= 1. Tri su takva pravca. Na dijagramu smo osjenčali tri područja u kojima su vrijednosti A I U isto kao u odabranim redovima:

Iz tablice istinitosti slijedi da je implikacija dviju izjava lažna ako i samo ako lažna izjava slijedi iz istinite izjave (kada istinita premisa vodi do pogrešnog zaključka). Ponekad se ovo svojstvo uzima kao definicija operacije implikacije.

Pogledajmo jedan od gornjih primjera posljedica koje proturječe zdravom razumu.

(A = 0)n(B = 0)

(A = 0)n (B = 1)

(L = 1)n(I = 1)

Logička jednakost (ekvivalencija)

Logička jednakost (ekvivalencija) nastaje kombiniranjem dviju izjava u jednu korištenjem izraza “... ako i samo ako ...».

Dio 1. Elementi matematičke logike^

Poglavlje 3. Logičke operacije

Primjeri ekvivalentnosti: "

1) Kut se zove pravo tada i baš kad on jednaki 90°.

2) Dvije linije su paralelne tada i samo kad oni ne sijeku se..,

3) Svaka materijalna točka održava stanje mirovanja ili ravnomjernog pravocrtnog gibanja ako i samo ako nema vanjskog utjecaja.(Prvi Newtonov zakon.)

4) Glava misli onda i samo onda kada jezik miruje.(Vic.)

Svi zakoni matematike, fizike, sve definicije su ekvivalenti izjava.

Oznaka istovrijednosti: A = B; A<=>U; A ~ B.(U ovom vodiču: A O U.)

Navedimo primjer ekvivalencije. Neka budu date sljedeće izjave:

A= Broj je djeljiv sa 3 bez ostatka (višestruki od tri). U= Zbroj znamenki broja djeljiv je s 3.

(A ekvivalent B) = Broj je djeljiv s 3 ako i samo kada
zbroj njegovih znamenki djeljiv je s 3., ;

Obrazloženje:

A	U	A<^В

Tablica istinitosti:

	Značenje
	izjave
Značenje iskaza	Broj je višekratnik broja 3
A I U za navedeno< значений "*"	tada i samo kada
*	zbroj njegovih znamenki podijeljen u cijelosti prema 3
Broj nije	Zbroj brojeva nije	Pravi
višekratnik tri	višekratnik tri
Broj nije	Zbroj znamenki	Laž
višekratnik tri	višekratnik tri
Broj je višekratnik	Zbroj brojeva nije	Laž
tri	višekratnik tri
Broj je višekratnik	Zbroj znamenki	Pravi
tri	višekratnik tri

Iz tablice istinitosti slijedi da je ekvivalentnost dviju tvrdnji istinita ako i samo ako su obje tvrdnje istinite ili obje netočne. Ponekad se ovo svojstvo uzima kao definicija operacije ekvivalencije.

U teoriji skupova ova operacija odgovara operaciji jednakovrijednost postavlja.

Da bismo konstruirali odgovarajuću ekvivalenciju skupova u Euler-Vennovom dijagramu, odabiremo one retke tablice istine u kojima A<=> U= 1. Ima ih dvoje. Na dijagramu smo osjenčali dva područja u kojima su vrijednosti AnV isto kao u odabranim redovima.

Grafička ilustracija: c~J_ ......... 1l...Li

Š OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE

Logička operacija- metoda konstruiranja složene izjave iz danih izjava, u kojoj je vrijednost istinitosti složene izjave u potpunosti određena vrijednostima istine izvornih izjava.

Inverzija(logička negacija) nastaje iz izjave dodavanjem čestice “ne” predikatu ili korištenjem govorne figure “nije istina da...”.

Simbol inverzije: NIJE A;-. A; A; NE A.>"i,t

Stol
istina: ■■■ g -

A	A

Inverzija iskaza je istinita kada
prikazivanje je lažno, a lažno kada je izjava
pravi. ■--■

! t■ .■ " N ■

Dio 1. Elementi matematičke logike

G Poglavlje 3. Logičke operacije

Konjunkcija(logičko množenje) nastaje spajanjem dviju izjava u jednu pomoću veznika “i”.

Zapis konjunkcije: A I B; A L U; A& U; A ■ B; A I U.

; (G">* „*

Ekvivalencija(logička jednakost) nastaje spajanjem dviju izjava u jednu pomoću izraza “... ako i samo ako...”.

Oznaka istovrijednosti: A = B; A<=> U; A ~ B.

Tablica istinitosti:

Ekvivalencija dvaju iskaza je istinita ako i samo ako su oba iskaza istinita ili oba lažna.

Disjunkcija(logičko zbrajanje) nastaje povezivanjem dva izjave u jednu pomoću veznika “ili”. ,

Oznaka disjunkcije: A ILI U; A\B; L V U; A+ U.

Tablica istinitosti:

implikacija(logička posljedica) nastaje vezom dva izjave u jednu pomoću govorne figure “ako..., onda...”. Oznaka implikacije: A->B;A=$B.

Osnovni sažetak “Svojstva logičkih operacija”

Tablica istinitosti:

A	U	A^B

Implikacija dviju izjava je lažna ako i samo ako lažna izjava slijedi iz istinite izjave.

Ch1ya" | ; - VI

. ..,.. . , .-. . ako . ............... --,-

■*}■

<Ч. 1

Povezane informacije.

Logičke operacije. Disjunkcija, konjunkcija i negacija

Dakle, kako se jednostavne logičke izjave međusobno povezuju u složene? U prirodnom jeziku koristimo razne veznike i druge dijelove govora. Na primjer, "i", "ili", "ili", "ne", "ako", "onda", "onda". Primjer složenih iskaza: „on ima znanje I vještine", "doći će u utorak, ili u srijedu", "Igrat ću Zatim, kad radim zadaću", "5 Ne jednako 6". Kako odlučujemo je li ono što nam je rečeno istina ili ne? Nekako logično, čak negdje i nesvjesno, na temelju dosadašnjeg životnog iskustva, shvaćamo da se istina sa spojem “i” javlja u slučaju istinitosti obje jednostavne tvrdnje. Jednom kada jedna postane laž, čitava složena izjava bit će lažna. Ali, s veznikom "ili" samo jedna jednostavna izjava mora biti istinita, a onda će cijeli izraz postati istinit.

Booleova algebra je ovo životno iskustvo prenijela u aparat matematike, formalizirala ga i uvela stroga pravila za dobivanje jednoznačnog rezultata. Unije su se ovdje počele nazivati logičkim operatorima.

Logička algebra uključuje mnoge logičke operacije. Ipak, tri od njih zaslužuju posebnu pažnju, jer... uz njihovu pomoć možete opisati sve ostale, i stoga koristiti manje različitih uređaja pri projektiranju sklopova. Takve operacije su veznik(I), disjunkcija(ILI) i negacija(NE). Često se veznik označava & , disjunkcija - || , a negacija je crta iznad varijable koja označava izjavu.

S veznikom, istinitost složenog izraza nastaje samo ako su svi jednostavni izrazi koji čine složeni istiniti. U svim ostalim slučajevima složeni izraz bit će lažan.

Kod disjunkcije, istinitost složenog izraza javlja se kada je barem jedan jednostavni izraz uključen u njega istinit, ili dva odjednom. Dešava se da se složeni izraz sastoji od više od dva jednostavna. U ovom slučaju dovoljno je da jedna jednostavna bude istinita i tada će cijela izjava biti istinita.

Negacija je unarna operacija, jer se izvodi u odnosu na jedan jednostavan izraz ili u odnosu na rezultat složenog. Kao rezultat negacije dobiva se novi iskaz koji je suprotan izvornom.

Tablice istine

Logičke operacije zgodno je opisivati tzv tablice istine, koji odražavaju rezultate izračuna složenih izjava za različite vrijednosti izvornih jednostavnih izjava. Jednostavni iskazi se označavaju varijablama (na primjer, A i B).

Logičke osnove računala

Računala koriste različite uređaje, čiji je rad savršeno opisan algebrom logike. Takvi uređaji uključuju skupine prekidača, okidača, zbrajala.

Osim toga, veza između Booleove algebre i računala leži u brojevnom sustavu koji se koristi u računalu. Kao što znate, to je binarno. Stoga računalni uređaji mogu pohraniti i transformirati i brojeve i vrijednosti logičkih varijabli.

Prekidački sklopovi

Računala koriste električne krugove koji se sastoje od mnogo prekidača. Prekidač može biti samo u dva stanja: zatvoren i otvoren. U prvom slučaju, struja prolazi, u drugom - ne. Vrlo je zgodno opisati rad takvih sklopova pomoću algebre logike. Ovisno o položaju prekidača, možete ili ne morate primati signale na izlazima.

Gates, flip-flops i zbrajalice

Vrata su logički element koji prihvaća neke binarne vrijednosti i proizvodi druge ovisno o svojoj implementaciji. Na primjer, postoje vrata koja implementiraju logičko množenje (konjunkcija), zbrajanje (disjunkcija) i negacija.

Okidači i zbrajači su relativno složeni uređaji koji se sastoje od jednostavnijih elemenata - vrata.

Trigger je sposoban pohraniti jednu binarnu znamenku, zbog činjenice da može biti u dva stabilna stanja. Okidači se uglavnom koriste u registrima procesora.

Zbrajači se široko koriste u procesorskim aritmetičko-logičkim jedinicama (ALU) i izvode zbrajanje binarnih bitova.

Konstrukcija računala, odnosno hardvera, temelji se na tzv ventili. Oni su prilično jednostavni elementi koji se mogu međusobno kombinirati, stvarajući tako različite sheme. Neke su sheme prikladne za implementaciju aritmetičke operacije, a na temelju drugih grade razl memorija RAČUNALO.

Ventel je uređaj koji proizvodi rezultat Booleove operacije iz podataka (signala) unesenih u njega.

Najjednostavniji ventil je tranzistorski inverter koji pretvara niski napon u visoki ili obrnuto (visoki u niski). To se može smatrati pretvaranjem logičke nule u logičku jedinicu ili obrnuto. Oni. dobijemo ventil NE.

Spajanjem para tranzistora na različite načine dobivaju se vrata ILI NE I I-NE. Ova vrata više ne prihvaćaju jedan, već dva ili više ulaznih signala. Izlazni signal je uvijek isti i ovisi (proizvodi visoki ili niski napon) o ulaznim signalima. U slučaju NILI vrata, visoki napon (logički) može se postići samo ako su svi ulazi niski. U slučaju NAND vrata, točno je suprotno: logična jedinica se dobiva ako su svi ulazni signali nula. Kao što vidite, ovo je suprotno od tako poznatih logičkih operacija kao što su I i ILI. Međutim, NAND i NOR vrata se obično koriste jer njihova implementacija je jednostavnija: I-NE i NI-NE implementiraju dva tranzistora, dok su logička I i ILI implementirana sa tri.

Izlaz vrata može se izraziti kao funkcija ulaza.

Tranzistoru je potrebno vrlo malo vremena da se prebaci iz jednog stanja u drugo (vrijeme prebacivanja se mjeri u nanosekundama). I ovo je jedna od značajnih prednosti shema izgrađenih na njihovoj osnovi.

Za logičke vrijednosti obično se koriste tri operacije:

Konjunkcija– logičko množenje (I) – i &, ∧.
Disjunkcija– logično zbrajanje (ILI) – ili, |, v.
Logička negacija (NE) – ne,.

Logički izrazi mogu se pretvoriti prema zakoni algebre logike:

Zakoni refleksivnosti
a ∨ a = a
a ∧ a = a
Zakoni komutativnosti
a ∨ b = b ∨ a
a ∧ b = b ∧ a
Zakoni asocijativnosti
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
Zakoni distributivnosti
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Zakon negacije negacije
(a) = a
De Morganovi zakoni
(a ∧ b) = a ∨ b
(a ∨ b) = a ∧ b
Zakoni apsorpcije
a ∨ (a ∧ b) = a
a ∧ (a ∨ b) = a

Svaka logička formula definira neku Booleovu funkciju. S druge strane, za bilo koju Booleovu funkciju može se napisati beskonačno mnogo formula koje je predstavljaju. Jedan od glavnih zadataka logičke algebre je pronalaženje kanonski x forme (tj. formule konstruirane prema određenom pravilu, kanonu), kao i najjednostavnije formule koje predstavljaju Booleove funkcije.

Ako se logička funkcija izražava kroz disjunkciju, konjunkciju i negaciju varijabli, tada se ovaj oblik reprezentacije naziva normalan. Među normalnim oblicima postoje oni u kojima su funkcije zapisane na jedinstven način. Zovu se savršen.

Posebnu ulogu u logičkoj algebri imaju klase disjunktivnih i konjunktivnih savršenih normalnih formi. Temelje se na konceptima elementarne disjunkcije i elementarne konjunkcije.

Formula se zove elementarna konjunkcija, ako je to konjunkcija jedne ili više varijabli, uzeta sa ili bez negacije. Razmatra se jedna varijabla ili njena negacija jednočlani elementarni veznik.

Formula se zove elementarna disjunkcija, ako je to disjunkcija (možda monom) varijabli i negacije varijabli.

DNF I SDNF

Formula se zove disjunktivni normalni oblik(DNF), ako se radi o disjunkciji neponovljivih elementarnih veznika. DNF-ovi se pišu kao: A1 v A2 v ... v An, gdje svaki An- elementarna konjunkcija.

Formula A iz k varijable se nazivaju savršeni disjunktivni normalni oblik(SDNF), ako:
1.A je DNF u kojem je svaka elementarna konjunkcija konjunkcija k varijable x1, x2, …, xk, a na i-tom mjestu ovog veznika stoji ili promjenljiva xi ili njegovo poricanje;
2. Sve elementarne konjunkcije u takvoj DNF su parno različite.

Na primjer: A = x1 & NE x2 v x1 & x2

Savršena disjunktivna normalna forma je formula konstruirana prema strogo definiranim pravilima do redoslijeda elementarnih konjunkcija (disjunktivnih članova) u njoj.

To je primjer jedinstvenog prikaza Booleove funkcije u obliku formule (algebarske) notacije.

SDNF teorem

Neka f(x1 x2, …, xn)– Booleova funkcija od n varijable koja nije identična nula. Tada postoji savršena disjunktivna normalna forma koja izražava funkciju f.

Algoritam za konstrukciju SDNF-a pomoću tablice istine:

1. U tablici istinitosti označavamo skupove varijabli za koje je vrijednost funkcije f = 1.
2. Za svaki označeni skup pišemo konjunkciju svih varijabli na sljedeći način: ako je vrijednost neke varijable u tom skupu jednaka 1, tada u konjunkciju uključujemo samu varijablu, u protivnom njezinu negaciju.
3. Sve nastale konjunkcije povezujemo disjunkcijskim operacijama.

KNF I SKNF

Formula se zove konjunktivni normalni oblik(CNF), ako se radi o konjunkciji neponavljajućih elementarnih disjunkcija. CNF se pišu u obliku: A1 & A2 & ... & An, gdje svaki An– elementarna disjunkcija.

Formula A iz k varijable se nazivaju perfektni konjunktiv normalni oblik(SKNF), ako:
1. A je CNF u kojoj je svaka elementarna disjunkcija disjunkcija k varijable x1, x2, …, xk, a na i-tom mjestu ove disjunkcije nalazi se ili varijabla xi ili njezina negacija;
2. Sve elementarne disjunkcije u takvoj CNF su parno različite.

Na primjer: A = (x1 v NE x2) & (x1 v x2)

SCNF teorem

Neka f(x1 x2, …, xn)– Booleova funkcija od n varijable koja nije identična nula. Tada postoji savršena konjunktivna normalna forma koja izražava funkciju f.

Algoritam za konstrukciju SCNF-a pomoću tablice istine:

1. U tablici istinitosti označavamo skupove varijabli za koje je vrijednost funkcije f = 0.
2. Za svaki označeni skup pišemo disjunkciju svih varijabli na sljedeći način: ako je vrijednost neke varijable u tom skupu jednaka 0, tada uključujemo samu varijablu u disjunkciju, u suprotnom, njezinu negaciju.
3. Sve nastale disjunkcije povezujemo operacijama konjunkcije.

Iz algoritama za konstrukciju SDNF i SCNF slijedi da ako je za većinu skupova vrijednosti varijable funkcija jednaka 0, tada je za dobivanje njezine formule lakše konstruirati SDNF, inače - SCNF.

Minimiziranje logičkih funkcija pomoću Karnaughovih mapa

Karnaughova mapa je grafički način minimiziranja prebacivanja (Booleovih) funkcija, pružajući relativnu lakoću rada s velikim izrazima i eliminirajući potencijalne utrke. Predstavlja operacije parno nepotpunog lijepljenja i elementarne apsorpcije. Karnaughove karte se smatraju tablicom istinitosti funkcije preuređene u skladu s tim. Carnaughove karte mogu se smatrati specifičnim ravnim razvojem n-dimenzionalne Booleove kocke.

Carnotove mape izumio je 1952. Edward W. Veitch, a poboljšao ih je 1953. Maurice Carnot, fizičar u Bell Labsu, a namijenjene su pojednostavljenju digitalnih elektroničkih sklopova.

U Carnaughovoj mapi, Booleove varijable se prenose iz tablice istinitosti i poredaju pomoću Grayeva koda, u kojem se svaki sljedeći broj razlikuje od prethodnog samo za jednu znamenku.

Glavna metoda za minimiziranje logičkih funkcija predstavljenih u obliku SDNF ili SCNF je operacija parno nepotpunog lijepljenja i elementarne apsorpcije. Operacija parnog lijepljenja provodi se između dva člana (člana) koji sadrže identične varijable, čije se pojavljivanje (izravno i inverzno) podudara za sve varijable osim za jednu. U ovom slučaju, sve varijable osim jedne mogu se izvaditi iz zagrada, a izravno i inverzno pojavljivanje jedne varijable koja ostaje u zagradama može se zalijepiti zajedno. Na primjer:

Mogućnost apsorpcije proizlazi iz očitih jednakosti

Dakle, glavni zadatak u minimiziranju SDNF i SCNF je pronaći termine prikladne za lijepljenje s naknadnom apsorpcijom, što može biti prilično težak zadatak za velike oblike. Carnaughove karte pružaju vizualni način za pronalaženje takvih pojmova.

Slika prikazuje jednostavnu tablicu istine za funkciju dviju varijabli, 2-dimenzionalnu kocku (kvadrat) koja odgovara ovoj tablici, kao i 2-dimenzionalnu kocku s oznakom SDNF pojmova i ekvivalentnu tablicu za grupiranje pojmova:

Metoda Veitchovog dijagrama.

"Metoda vam omogućuje brzo dobivanje minimalnih DNF-ova Booleove funkcije f malog broja varijabli. Metoda se temelji na specificiranju Booleovih funkcija pomoću dijagrama nekog posebnog tipa, koji se nazivaju Veitchevi dijagrami. Za Booleovu funkciju dviju varijabli, Veitchev dijagram ima oblik (tablica 4.4.1).

Svaka ćelija u dijagramu odgovara skupu varijabli Booleove funkcije u svojoj tablici istinitosti. U (Tablica 4.4.1) prikazana je ova korespondencija. U ćeliju Veitchovog dijagrama jedinica se postavlja ako Booleova funkcija uzima jediničnu vrijednost na odgovarajućem skupu. Nulte vrijednosti Booleove funkcije nisu postavljene u Veitch dijagramu. Za Booleovu funkciju od tri varijable, Veitchov dijagram ima sljedeći oblik (tablica 4.4.2).

Dodavanjem iste tablice u nju dobivamo dijagram za funkciju 4 varijable (tablica 4.4.3).

Na isti način, odnosno dodavanjem još jednog dijagrama od 3 varijable ovom upravo razmatranom, možete dobiti dijagram za funkciju od 5 varijabli itd., ali dijagrami za funkcije s više od 4 varijable se rijetko koriste. Sljedeći dijagrami su tipični:

Sinteza kombinacijskih sklopova može se ilustrirati rješavanjem jednostavnog problema.

Problem 1

Prijamno povjerenstvo koje se sastoji od tri člana povjerenstva i jednog predsjednika većinom glasova odlučuje o sudbini pristupnika. U slučaju jednakog rasporeda glasova, većinu određuje skupina u kojoj se nalazi predsjednik izbornog povjerenstva. Izgradite automat koji osigurava određivanje većine glasova.

Riješenje

Uzimajući u obzir gornje pretpostavke, uvjet problema može se jednoznačno prikazati u obliku tablice istinitosti.

Tablicu ispunjavamo uzimajući u obzir činjenicu da je funkcija f potpuno definirana, tj. definiran je na svim mogućim skupovima varijabli x1 - x4. Za n ulaznih varijabli postoji N = 2n skupova varijabli. U našem primjeru, N = 24 = 16 setova.

Ovi se skupovi mogu pisati bilo kojim redoslijedom, ali je bolje uzlaznim redoslijedom binarnog koda.

Dekadski brojevni sustav

Baza ovog brojevnog sustava p jednaka je deset. Ovaj sustav brojeva koristi deset znamenki. Trenutno su simboli koji se koriste za označavanje ovih brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Broj u decimalnom brojevnom sustavu piše se kao zbroj jedinica, desetica, stotina, tisuća , i tako dalje. To jest, težine susjednih znamenki razlikuju se za faktor deset. Na isti se način pišu brojevi manji od jedan. U ovom slučaju, znamenke broja nazivat će se desetinke, stotinke ili tisućinke jedinice.

Pogledajmo primjer pisanja decimalnog broja. Kako bismo pokazali da se u primjeru koristi decimalni brojevni sustav, koristimo indeks 10. Ako se uz decimalni oblik zapisa brojeva ne namjerava koristiti neki drugi oblik zapisa, tada se indeks obično ne koristi:

A 10 =247.56 10 =2*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +5*10 -1 +6*10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0.5 10 +0 .06 10

Ovdje ćemo najznačajniju znamenku broja nazvati stotinama. U gornjem primjeru, stotine odgovaraju broju 2. Sljedeća znamenka će se zvati desetice. U gornjem primjeru broj 4 odgovara deseticama koje će se zvati jedinice. U gornjem primjeru jedinice odgovaraju broju 7. Desetine odgovaraju broju 5, a stotinke – 6.

Binarni brojevni sustav

Baza ovog brojevnog sustava p jednaka je dva. Ovaj sustav brojeva koristi dvije znamenke. Kako se ne bi izmišljali novi simboli za označavanje brojeva, u binarnom brojevnom sustavu korišteni su simboli decimalnih znamenki 0 i 1. Da ne bi došlo do brkanja brojevnog sustava u pisanju broja, koristi se indeks 2 osim binarnog oblika pisanja brojeva, nijedan drugi oblik nije namijenjen za korištenje, tada se ovaj indeks može izostaviti.

Broj u ovom brojevnom sustavu piše se kao zbroj jedinica, dvojki, četvorki, osmica i tako dalje. To jest, težine susjednih znamenki razlikuju se za faktor dva. Na isti se način pišu brojevi manji od jedan. U ovom slučaju, znamenke broja nazivat će se polovicama, četvrtinama ili osminama jedinice.

Pogledajmo primjer pisanja binarnog broja:

A 2 =101110.101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 + 1* 2 -3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0,5 10 +0,125 10 =46,625 10

Kada smo u drugom retku pisali primjer decimalnih ekvivalenata binarnih znamenki, nismo pisali potencije dva koja se množe s nulom, jer bi to samo dovelo do pretrpavanja formule i, kao rezultat toga, otežalo razumijevanje materijala .

Nedostatkom binarnog brojevnog sustava može se smatrati veliki broj znamenki potrebnih za zapis brojeva. Prednost ovog brojevnog sustava je jednostavnost izvođenja aritmetičkih operacija, o čemu će biti riječi kasnije.

Oktalni brojevni sustav

Baza ovog brojevnog sustava p jednaka je osam. Oktalni brojevni sustav može se smatrati kraćim načinom za pisanje binarnih brojeva, budući da je broj osam potencija dvojke. Ovaj sustav brojeva koristi osam znamenki. Kako se ne bi izmišljali novi simboli za označavanje brojeva, u oktalnom brojevnom sustavu korišteni su decimalni brojčani simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7, indeks 8 koristi se u pisanju broja, osim oktalnog oblika pisanja brojeva, ne očekuje se korištenje drugog oblika zapisa, tada se ovaj indeks može izostaviti.

Broj u ovom brojevnom sustavu piše se kao zbroj jedinica, osmica, šezdeset četvorki i tako dalje. To jest, težine susjednih znamenki razlikuju se za faktor osam. Na isti se način pišu brojevi manji od jedan. U ovom slučaju, znamenke broja nazivat će se osmine, šezdeset četiri i tako dalje, razlomci od jedan.

Pogledajmo primjer pisanja oktalnog broja:

A 8 =125,46 8 =1*8 2 +2*8 1 +5*8 0 +4*8 -1 +6*8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 + 6 10 /64 10 = 85,59375 10

Drugi redak gornjeg primjera zapravo pretvara broj napisan u oktalnom obliku u decimalni prikaz istog broja. To jest, zapravo smo promatrali jedan od načina pretvaranja brojeva iz jednog oblika reprezentacije u drugi.

Budući da formula koristi jednostavne razlomke, moguće je da točan prijevod iz jednog oblika prikaza u drugi postane nemoguć. U ovom su slučaju ograničeni na određeni broj razlomaka.

Vrste digitalnih komparatora

Komparator za usporedbu signala različitih polariteta

Komparator za usporedbu unipolarnih signala

Komparator za usporedbu unipolarnih napona s histereznom karakteristikom. U razmatranim komparatorima mogu se dobiti karakteristike sa svojstvima histereze. Uvođenje histereze u rad komparatora donekle smanjuje točnost usporedbe, ali ga čini imunim na šumove i smetnje. Histereza se postiže uključivanjem višeg referentnog napona kada se napon promijeni s niske na visoku razinu, u usporedbi s vrijednošću koja se koristi kada se napon promijeni s visoke na nisku razinu. U ovom slučaju, visoka vrijednost referentnog napona naziva se gornji prag odziva, a niska vrijednost se naziva donji prag odziva. To se postiže uvođenjem pozitivne povratne sprege.

Višebitni komparatori

Uzmimo kao primjer četverobitni digitalni komparator serije K555SP1, čijih se osam ulaza koristi za povezivanje dvije četverobitne riječi: A0. A3, B0. B3 za usporedbu. Upravljački ulazi I(A>B), (A = B) i I(A< В) могут быть использованы для наращивания разрядности компаратора. Предусмотрены три выхода результата сравнения: А>B, A = B i A<В.

Tablica istinitosti takvog komparatora (tablica 1) podijeljena je red po red u tri odjeljka.

Prvi odjeljak (gornjih osam redaka tablice) definira slučaj kada komparator radi kada četverobitne riječi koje se uspoređuju nisu međusobno jednake. U ovom slučaju signali na ulazima povećanja dubine bita kao reakcija na signale nižih bitova riječi koje se uspoređuju nemaju nikakav učinak na rezultat usporedbe.

Riža. 1. Uobičajeni grafički prikaz komparatora tipa SP1

Tri retka drugog odjeljka ove tablice karakteriziraju rad komparatora sekvencijalnom metodom povećanja dubine bita, tj. kada su izlazi komparatora nižeg reda spojeni na upravljačke ulaze komparatora višeg reda.

Jednobitni komparatori

Jednobitni komparator ima dva ulaza koji istovremeno primaju jednobitne binarne brojeve x1 i x2 i tri izlaza (=, >,<). Из таблицы истинности логические уравнения компаратора при сравнении x1 с x2 получаются в виде

Implementacija takvog komparatora u NAND bazi dovodi do sljedeće slike (slika 2):

Slika 2. Jednobitni binarni komparator.

Tablica 1. Tablica istinitosti četverobitnog komparatora tipa SP1

Usporednik(analogni signali) (eng. comparator - uređaj za usporedbu) - elektronički sklop koji na svoje ulaze prima dva analogna signala i proizvodi logičku “1” ako je signal na izravnom ulazu (“+”) veći nego na inverznom ulazu. (“−” ), i logička “0” ako je signal na izravnom ulazu manji nego na inverznom ulazu.

Jedan usporedni napon binarnog komparatora cijeli raspon ulaznog napona dijeli na dva podraspona. Binarni logički signal (bit) na izlazu binarnog komparatora pokazuje u kojem se od dva podraspona nalazi ulazni napon.

Najjednostavniji komparator je diferencijalno pojačalo. Komparator se razlikuje od linearnog operacijskog pojačala (op-amp) u dizajnu ulaznog i izlaznog stupnja:

Ulazni stupanj komparatora mora izdržati širok raspon ulaznih napona između invertirajućih i neinvertirajućih ulaza, sve do zamaha napona napajanja, i brzo se oporaviti kada se predznak tog napona promijeni.
Izlazni stupanj komparatora kompatibilan je u pogledu logičkih razina i struja s određenim tipom ulaza logičkog sklopa (TTL, ESL tehnologije, itd.). Mogući su izlazni stupnjevi temeljeni na jednom tranzistoru s otvorenim kolektorom (kompatibilni s TTL i CMOS logikom).
Za formiranje karakteristike histereznog prijenosa, komparatori su često prekriveni pozitivnom povratnom spregom. Ova mjera izbjegava brzo neželjeno prebacivanje izlaznog stanja zbog šuma u ulaznom signalu kada se ulazni signal sporo mijenja.

Kada se referentni usporedni napon primijeni na invertirajući ulaz, ulazni signal se primjenjuje na neinvertirajući ulaz, a komparator je neinvertirajući (pratitelj, međuspremnik).

Primjenom referentnog usporednog napona na neinvertirajući ulaz, ulazni signal se dovodi na invertirajući ulaz i komparator je invertirajući (invertirajući).

Nešto se rjeđe koriste komparatori koji se temelje na logičkim elementima pokrivenim povratnom spregom (vidi, na primjer, Schmittov okidač - po prirodi nije komparator, već uređaj s vrlo sličnim opsegom primjene).

Kod matematičkog modeliranja komparatora problem izlaznog napona komparatora nastaje kada su naponi na oba ulaza komparatora isti. U ovom trenutku komparator je u stanju nestabilne ravnoteže. Problem se može riješiti na mnogo različitih načina, opisanih u pododjeljku "softverski komparator".

Brojač pulsa– elektronički uređaj dizajniran za brojanje broja impulsa primijenjenih na ulaz. Broj primljenih impulsa izražava se u binarnom brojevnom sustavu.

Brojači impulsa su vrsta registara (registri brojanja) i izgrađeni su na bistablima, odnosno logičkim elementima.

Glavni pokazatelji brojača su koeficijent brojanja K 2n - broj impulsa koje brojač može izbrojati. Na primjer, brojač koji se sastoji od četiri flip-flopa može imati maksimalni faktor brojanja 24=16. Za brojač s četiri okidača, minimalni izlazni kod je 0000, maksimalni je -1111, a s koeficijentom brojanja Kc = 10, izlazni broj se zaustavlja na kodu 1001 = 9.

Slika 1, a prikazuje krug četverobitnog brojača koji koristi T-flip-flopove povezane u seriju. Impulsi za brojanje dovode se na ulaz za brojanje prvog flip-flopa. Ulazi za brojanje sljedećih flip-flopova povezani su s izlazima prethodnih flip-flopova.

Rad kruga ilustriran je vremenskim dijagramima prikazanim na slici 1, b. Pri dolasku prvog brojačkog impulsa, nakon njegovog pada, prvi okidač prelazi u stanje Q1 = 1, tj. U brojaču se upisuje digitalni kod 0001. Na kraju drugog impulsa brojanja prvi okidač prelazi u stanje “0”, a drugi u stanje “1”. Brojač bilježi broj 2 sa šifrom 0010.

Slika 1 – Binarni četverobitni brojač: a) sklop, b) grafička oznaka, c) vremenski dijagrami rada

Iz dijagrama (slika 1, b) jasno je da je, na primjer, prema padu 5. impulsa, kod 0101 napisan u brojaču, prema 9. - 1001, itd. Na kraju 15. impulsa svi bitovi brojača postavljaju se u stanje "1", a pri padu 16. impulsa svi okidači se resetiraju, odnosno brojač se vraća u prvobitno stanje. Da biste prisilili brojač na nulu, postoji ulaz "poništavanje".

Koeficijent brojanja binarnog brojača nalazi se iz relacije Ksč = 2n, gdje je n broj bitova (okidača) brojača.

Brojanje broja impulsa najčešća je operacija u uređajima za digitalnu obradu informacija.

Tijekom rada binarnog brojača, brzina ponavljanja impulsa na izlazu svakog sljedećeg okidača prepolovljena je u usporedbi s frekvencijom njegovih ulaznih impulsa (slika 1, b). Stoga se brojači također koriste kao djelitelji frekvencije.

Koder(naziva se i enkoder) pretvara signal u digitalni kod, najčešće decimalne brojeve u binarni brojevni sustav.

Enkoder ima m ulaza, redom numeriranih decimalnim brojevima (0, 1,2,..., m - 1), i n izlaza. Broj ulaza i izlaza određen je ovisnošću 2n = m (slika 2, a). Simbol "CD" formiran je od slova engleske riječi Coder.

Primjena signala na jedan od ulaza rezultira pojavom na izlazima n-bitnog binarnog broja koji odgovara ulaznom broju. Na primjer, kada se impuls primijeni na 4. ulaz, na izlazima se pojavljuje digitalni kod 100 (slika 2, a).

Dekoderi (koji se nazivaju i dekoderi) koriste se za pretvaranje binarnih brojeva natrag u male decimalne brojeve. Ulazi dekodera (slika 2, b) namijenjeni su za isporuku binarnih brojeva, izlazi su sekvencijalno numerirani decimalnim brojevima. Kada se na ulaze primijeni binarni broj, na određenom izlazu pojavljuje se signal čiji broj odgovara ulaznom broju. Na primjer, kod primjene koda 110, signal će se pojaviti na 6. izlazu.

Slika 2 – a) UGO koder, b) UGO dekoder

Multipleksor- uređaj u kojem je izlaz povezan s jednim od ulaza, u skladu s adresnim kodom. Da. Multiplekser je elektronički prekidač ili komutator.

Slika 3 – Multiplekser: a) grafički simbol, b) tablica stanja

Na ulaze A1, A2 dolazi adresni kod koji određuje koji će se od ulaza signala prenijeti na izlaz uređaja (slika 3).

Za pretvaranje informacija iz digitalnog u analogni oblik koriste se digitalno-analogni pretvarači (DAC), a za inverznu transformaciju - analogno-digitalni pretvarači (ADC).

Ulazni signal DAC-a je binarni višebitni broj, a izlazni signal je napon Uout, generiran na temelju referentnog napona.

Postupak analogno-digitalne pretvorbe (sl. 4) sastoji se od dvije faze: vremenskog uzorkovanja (uzorkovanje) i kvantizacije razine. Proces uzorkovanja sastoji se od mjerenja vrijednosti kontinuiranog signala samo u diskretnim točkama u vremenu.

Slika 4 – Proces analogno-digitalne pretvorbe

Za kvantizaciju se raspon varijacije ulaznog signala dijeli na jednake intervale – razine kvantizacije. U našem primjeru ima ih osam, ali obično ih je mnogo više. Operacija kvantizacije svodi se na određivanje intervala u koji pada uzorkovana vrijednost i dodjeljivanje digitalnog koda izlaznoj vrijednosti.

Registar je funkcionalna jedinica koja kombinira nekoliko okidača iste vrste.

Vrste registra:

1) Registri zasuna– izgrađen na okidačima s zaključavanjem (K155TM5; K155TM7), snimanje u koje se vrši razinom stroboskopskog signala.

U okidaču K155TM8 snimanje se vrši pozitivnim rubom stroboskopskog signala.

2) Registri pomaka– obavljaju funkciju samo sekvencijalnog prijema koda.

3) Univerzalni registri– mogu primati informacije u paralelnom i serijskom kodu.

4) Posebni registri– K589IR12 ima dodatne opcije za korištenje.

Registar pomaka

Ovo je registar čiji se sadržaj, kada se primijeni upravljački signal, može pomaknuti prema višim ili nižim znamenkama. Na primjer, pomak ulijevo prikazan je u tablici 9.

Tablica 9 Pomak koda ulijevo

Univerzalni registri

Imaju vanjske izlaze i ulaze za sve bitove, kao i serijski DS ulaz.

Postoje dvije vrste univerzalnih registara:

1) registar koji izvodi pomak samo u jednom smjeru i paralelno prima kod (na primjer, K155IR1; K176IR3).

2) s četiri načina rada: pomak desno/lijevo; paralelni prijem; pohranjivanje (na primjer, 8-bitni registar K155IR13; 4-bitni registar K500IR141).

Glavna elementarna operacija koja se izvodi na brojčanim kodovima u digitalnim uređajima je aritmetičko zbrajanje.

Logičko zbrajalo operativni čvor koji obavlja aritmetika zbrajanje kodova dvaju brojeva. Tijekom aritmetičkog zbrajanja izvode se i druge dodatne operacije: uzimanje u obzir predznaka brojeva, poravnavanje redoslijeda članova i slično. Te se operacije izvode u aritmetičko-logičkim jedinicama (ALU) ili procesnim elementima čija su jezgra zbrajalice.

Zbrajalice se klasificiraju prema različitim kriterijima.

Ovisno o brojevnom sustavu razlikovati:

binarni;
binarni decimalni (općenito, binarno kodiran);
decimal;
drugi (na primjer, amplituda).

Po broju istovremeno obrađenih znamenki zbrojenih brojeva:

jednoznamenkasti,
višebitni.

Po broju ulaza i izlaza jednobitnih binarnih zbrajala:

četvrtinski zbrajači (elementi "zbroj modulo 2"; elementi "isključivo ILI"), karakterizirani prisutnošću dvaju ulaza, kojima se dostavljaju dva jednoznamenkasta broja, i jednog izlaza, na kojem se ostvaruje njihov aritmetički zbroj;
poluzbrajalice, karakterizirane prisutnošću dva ulaza, na koje se dostavljaju iste znamenke dvaju brojeva, i dva izlaza: jedan implementira aritmetički zbroj u danoj znamenki, a drugi prenosi na sljedeću (višu znamenku) ;
puna jednobitna binarna zbrajala, karakterizirana prisutnošću triju ulaza, kojima se dostavljaju iste znamenke dvaju brojeva koji se zbrajaju i prijenos s prethodne (niže) znamenke, i dva izlaza: na jednom, aritmetički zbroj u realizira se zadana znamenka, a s druge strane prijenos na sljedeće (veće) pražnjenje).

Načinom prikazivanja i obrade zbrojenih brojeva višebitni zbrajači se dijele na:

sekvencijalni, u kojem se brojevi obrađuju jedan po jedan, znamenku po znamenku na istoj opremi;
paralelno, u kojem se pojmovi dodaju istovremeno preko svih znamenki, a svaka znamenka ima svoju opremu.

U najjednostavnijem slučaju, paralelno zbrajalo sastoji se od n jednobitnih zbrajala, sekvencijalno (od najmanjeg do najvažnijeg) povezanih prijenosnim krugovima. Međutim, takav sklop zbroja karakterizira relativno niska izvedba, budući da se generiranje signala zbroja i prijenosa u svakom i-tom bitu događa tek nakon što signal prijenosa stigne iz (i-1)-tog bita zbrajalo je određeno vremenom širenja signala duž prijenosnog lanca. Smanjenje ovog vremena glavni je zadatak pri konstruiranju paralelnih zbrajala.

Kako biste smanjili vrijeme širenja signala prijenosa, upotrijebite: Konstruktivne odluke

SVOJSTVA LOGIČKIH OPERACIJA

1. Oznake

1.1. Oznake za logičke konektore (operacije):

a) negacija(inverzija, logičko NE) označava se s ¬ (na primjer, ¬A);

b) veznik(logičko množenje, logički I) označava se s /\
(na primjer, A /\ B) ili & (na primjer, A & B);

c) disjunkcija(logičko zbrajanje, logički ILI) označava se sa \/
(na primjer, A \/ B);

d) slijedeći(implikacija) se označava sa → (na primjer, A → B);

e) identitet označena sa ≡ (na primjer, A ≡ B). Izraz A ≡ B je istinit ako i samo ako su vrijednosti A i B iste (ili su obje istinite, ili su obje lažne);

f) simbol 1 koristi se za označavanje istine (istinit iskaz); simbol 0 – označava laž (lažnu izjavu).

1.2. Pozivaju se dva Booleova izraza koji sadrže varijable ekvivalent (ekvivalent) ako se vrijednosti ovih izraza podudaraju za bilo koju vrijednost varijabli. Dakle, izrazi A → B i (¬A) \/ B su ekvivalentni, ali A /\ B i A \/ B nisu (značenja izraza su različita, na primjer, kada je A = 1, B = 0 ).

1.3. Prioriteti logičkih operacija: inverzija (negacija), konjunkcija (logičko množenje), disjunkcija (logičko zbrajanje), implikacija (slijeđenje), identitet. Dakle, ¬A \/ B \/ C \/ D znači isto što i

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

Moguće je napisati A \/ B \/ C umjesto (A \/ B) \/ C. Isto vrijedi i za veznik: moguće je napisati A /\ B /\ C umjesto (A /\ B ) /\ C.

2. Svojstva

Popis u nastavku NIJE potpun, ali nadamo se da je dovoljno reprezentativan.

2.1. Opća svojstva

Za set od n postoje točno logične varijable 2 n različita značenja. Tablica istinitosti za logički izraz iz n varijable sadrži n+1 stupac i 2 n linije.

2.2.Disjunkcija

Ako je barem jedan od podizražaja na koje se primjenjuje disjunkcija istinit na nekom skupu vrijednosti varijabli, tada je cijela disjunkcija istinita za ovaj skup vrijednosti.
Ako su svi izrazi s određenog popisa istiniti na određenom skupu vrijednosti varijable, tada je i disjunkcija tih izraza istinita.
Ako su svi izrazi s određenog popisa lažni na određenom skupu vrijednosti varijable, tada je disjunkcija tih izraza također lažna.
Značenje disjunkcije ne ovisi o redoslijedu pisanja podizraza na koje se primjenjuje.

2.3. Konjunkcija

Ako je barem jedan od podizraza na koje se primjenjuje konjunkcija lažan na nekom skupu vrijednosti varijable, tada je cijela konjunkcija lažna za ovaj skup vrijednosti.
Ako su svi izrazi s određenog popisa istiniti na određenom skupu vrijednosti varijable, tada je i konjunkcija ovih izraza također istinita.
Ako su svi izrazi s određenog popisa lažni na određenom skupu vrijednosti varijable, tada je i konjunkcija tih izraza lažna.
Značenje veznika ne ovisi o redoslijedu pisanja podizraza na koje se primjenjuje.

2.4. Jednostavne disjunkcije i konjunkcije

Nazovimo (zbog pogodnosti) konjunkciju jednostavan, ako su podizrazi na koje se primjenjuje konjunkcija različite varijable ili njihove negacije. Slično, disjunkcija se zove jednostavan, ako su podizrazi na koje se primjenjuje disjunkcija različite varijable ili njihove negacije.

Jednostavna konjunkcija daje vrijednost 1 (točno) na točno jednom skupu vrijednosti varijable.
Jednostavna disjunkcija daje vrijednost 0 (false) na točno jednom skupu vrijednosti varijable.

2.5. implikacija

implikacija A →B je ekvivalentno disjunkciji (¬ A) \/ B. Ova se disjunkcija može napisati i na sljedeći način: ¬ A\/B.
implikacija A →B uzima vrijednost 0 (false) samo ako A=1 I B=0. Ako A=0, zatim implikacija A →B istina za bilo koju vrijednost B.

Veznik: odgovara vezniku: “i”, označenom znakom^, označava logičko množenje.

Konjunkcija dva logička ~ je istinita ako i samo ako su oba iskaza istinita. Može se generalizirati za bilo koji broj varijabli A^B^C = 1 ako je A=1, B=1, C=1.

Tablica istinitosti za operaciju "Konjunkcija":

Tablica br. 2

Disjunkcija

Logička operacija odgovara uniji ILI, označenoj znakom v, inače se naziva LOGIČKO ZBIRANJE.

Disjunkcija dviju logičkih varijabli je lažna ako je i kamenčić lažan ako su obje izjave lažne.

Ova se definicija može generalizirati na bilo koji broj logičkih varijabli kombiniranih disjunkcijom.

A v B v C = 0 samo ako je A = O, B = O, C - 0.

Tablica istinitosti za operaciju “Disjunkcija”:

Tablica br. 3

Inverzija

Logička operacija odgovara čestici not, označava se s ¬ ili ¯ i logička je negacija.

Inverz Booleove varijable je istinit ako je varijabla lažna i obrnuto: inverz je lažan ako je varijabla istinita.

Tablica istinitosti za operaciju "Inverzija":

Tablica br. 5

Ekvivalencija "I onda B i samo tada" je označena sa A ~ B

Tablica br. 6

Prilikom izračunavanja vrijednosti logičkog izraza (formule), logičke operacije se izračunavaju određenim redoslijedom, prema prioritetu:

inverzija;

veznik;

disjunkcija;

implikacija i ekvivalencija;

Operacije istog prioriteta izvode se s lijeva na desno. Zagrade se koriste za promjenu redoslijeda radnji.

Formalizacija iskaza

Prirodni jezici koriste se za stvaranje deskriptivnih informacijskih modela. U povijesti znanosti poznati su brojni deskriptivni informacijski modeli; na primjer, heliocentrični model svijeta koji je predložio Kopernik formuliran je na sljedeći način:

Zemlja se okreće oko svoje osi i oko Sunca;

svi planeti kruže oko Sunca;

Uz pomoć formalnih jezika grade se formalni informacijski modeli (matematički, logički itd.). Jedan od najčešće korištenih formalnih jezika je matematika. Modeli izgrađeni pomoću matematičkih koncepata i formula nazivaju se matematički modeli. Jezik matematike je zbirka formalnih jezika.

Jezik algebre omogućuje formaliziranje funkcionalnih ovisnosti između veličina. Tako je Newton formalizirao heliocentrični sustav svijeta, otkrivši zakone mehanike i zakon univerzalne gravitacije i zapisavši ih u obliku algebarskih funkcionalnih ovisnosti. Na primjer, u školskom tečaju fizike razmatraju se mnoge različite funkcionalne ovisnosti, izražene jezikom algebre, koje su matematički modeli fenomena ili procesa koji se proučavaju.

Jezik logičke algebre (propozicijska algebra) omogućuje vam izgradnju formalnih logičkih modela. Koristeći iskaznu algebru, možete formalizirati (pisati u obliku logičkih izraza) jednostavne i složene izjave izražene prirodnim jezikom. Izgradnja logičkih modela omogućuje vam rješavanje logičkih problema, izgradnju logičkih modela računalnih uređaja (zbrajalo, okidač) i tako dalje.

Proces izgradnje informacijskih modela korištenjem formalnih jezika naziva se formalizacija.

U procesu razumijevanja svijeta koji nas okružuje, čovječanstvo se stalno koristi modeliranjem i formalizacijom. Prilikom proučavanja novog objekta, prvo se njegov opisni informacijski model obično gradi na prirodnom jeziku, zatim se formalizira, odnosno izražava korištenjem formalnih jezika (matematika, logika, itd.).

Algebra logike i logičke osnove računala

Algebra logike (Booleova algebra) je grana matematike koja je nastala u 19. stoljeću zahvaljujući naporima engleskog matematičara J. Boulya. U početku Booleova algebra nije imala praktičan značaj. Međutim, već u 20. stoljeću njegove su odredbe našle primjenu u opisivanju funkcioniranja i razvoja raznih elektroničkih sklopova. Zakoni i aparatura logičke algebre počeli su se koristiti u projektiranju raznih dijelova računala (memorija, procesor). Iako ovo nije jedino područje primjene ove znanosti.

Što je? algebra logike? Prvo, proučava metode za utvrđivanje istinitosti ili lažnosti složenih logičkih iskaza korištenjem algebarskih metoda. Drugo, Booleova algebra to čini na takav način da je složena logička izjava opisana funkcijom, čiji rezultat može biti istinit ili netočan (1 ili 0). U ovom slučaju, argumenti funkcije (jednostavne izjave) također mogu imati samo dvije vrijednosti: 0 ili 1.

Što je jednostavno logična izjava? To su fraze poput "dva su više od jedan", "5,8 je cijeli broj". U prvom slučaju imamo istinu, au drugom laž. Algebra logike ne tiče se suštine ovih izjava. Ako netko odluči da je izjava "Zemlja je kvadratna" točna, onda će algebra logike to prihvatiti kao činjenicu. Činjenica je da se Booleova algebra bavi izračunavanjem rezultata složenih logičkih izjava na temelju prethodno poznatih vrijednosti jednostavnih izjava.

Logičke operacije. Disjunkcija, konjunkcija i negacija

Kako odlučujemo je li ono što nam je rečeno istina ili ne? Nekako logično, čak negdje i nesvjesno, na temelju dosadašnjeg životnog iskustva, shvaćamo da se istina sa spojem “i” javlja u slučaju istinitosti obje jednostavne tvrdnje. Jednom kada jedna postane laž, čitava složena izjava bit će lažna. Ali, s veznikom "ili" samo jedna jednostavna izjava mora biti istinita, a onda će cijeli izraz postati istinit.

Logička algebra uključuje mnoge logičke operacije. Ipak, tri od njih zaslužuju posebnu pažnju, jer... uz njihovu pomoć možete opisati sve ostale, i stoga koristiti manje različitih uređaja pri projektiranju sklopova. Takve operacije su konjunkcija (I), disjunkcija (ILI) i negacija (NE). Često se konjunkcija označava &, disjunkcija ||, a negacija crticom iznad varijable koja označava izjavu.

Na veznik@/a> istinit sa lažni izraz nastaje samo ako su svi jednostavni izrazi koji čine složeni istiniti. U svim ostalim slučajevima složeni izraz bit će lažan.

Na disjunkcije istina složen izraz se javlja kada je barem jedan jednostavan izraz uključen u njega istinit, ili dva odjednom. Dešava se da se složeni izraz sastoji od više od dva jednostavna. U ovom slučaju dovoljno je da jedna jednostavna bude istinita i tada će cijela izjava biti istinita.

Negacija- ovo je unarna operacija, jer se izvodi u odnosu na jedan jednostavan izraz ili u odnosu na rezultat složenog. Kao rezultat negacije dobiva se novi iskaz koji je suprotan izvornom.

Za logičke vrijednosti obično se koriste tri operacije:

Konjunkcija - logičko množenje (AND) - i, &, ∧.

Disjunkcija - logičko zbrajanje (ILI) - ili, |, v.

Logička negacija (NE) - ne,.

Prikladno je opisati logičke operacije s takozvanim tablicama istine, koje odražavaju rezultate izračuna složenih izjava za različite vrijednosti izvornih jednostavnih izjava. Jednostavni iskazi se označavaju varijablama (na primjer, A i B).

Logičke osnove računala

Računala koriste različite uređaje, čiji je rad savršeno opisan algebrom logike. Takvi uređaji uključuju skupine prekidača, okidača, zbrajala.

Prekidački sklopovi

Gates, flip-flops i zbrajalice

Okidači I zbrajalice- to su relativno složeni uređaji koji se sastoje od jednostavnijih elemenata - ventila.

Trigger je sposoban pohraniti jednu binarnu znamenku, zbog činjenice da može biti u dva stabilna stanja. Okidači se uglavnom koriste u registrima procesora.

Zbrajači se široko koriste u procesorskim aritmetičko-logičkim jedinicama (ALU) i izvode zbrajanje binarnih bitova.

Informacije i informacijski procesi. Vrste informacija, njihovo binarno kodiranje. Količina informacija, pristupi definiranju pojma "količina informacija", mjerne jedinice informacija. Binarno kodiranje numeričkih, tekstualnih, grafičkih, audio informacija

Informacija(od latinskog informatio - "objašnjenje, prezentacija, svijest") - informacija o nečemu, bez obzira na oblik njezine prezentacije.

Trenutno ne postoji jedinstvena definicija informacije kao znanstvenog pojma. Sa stajališta različitih područja znanja, ovaj koncept je opisan svojim specifičnim skupom karakteristika. Pojam “informacija” je osnovni u kolegiju informatike, gdje ga je nemoguće definirati kroz druge, “jednostavnije” pojmove.

Svojstva informacija:

Objektivnost (informacija je objektivna ako ne ovisi ni o čijem mišljenju ili prosudbi);

Pouzdanost (informacija je pouzdana ako odražava pravo stanje stvari);

Cjelovitost (informacija je potpuna ako je dovoljna za razumijevanje i donošenje odluke);

Relevantnost (informacija je relevantna, pravovremena, ako je važna, značajna za sadašnje vrijeme);

Korisnost (ocjenjuje se prema zadacima koje uz njegovu pomoć možemo riješiti);

Razumljivost (informacija je razumljiva ako je izražena na jeziku pristupačnom primatelju);

Dostupnost (informacije su dostupne ako ih možemo dobiti).

Informacijski proces- skup uzastopnih radnji (operacija) koje se izvode nad informacijama (u obliku podataka, informacija, činjenica, ideja, hipoteze, teorije itd.) za postizanje bilo kakvog rezultata (postizanje cilja).

Informacija se očituje upravo u informacijskim procesima. Informacijski procesi uvijek se odvijaju u nekoj vrsti sustava (društvenom, sociotehničkom, biološkom itd.).

Najopćenitiji informacijski procesi su prikupljanje, transformacija i korištenje informacija.

Glavni informacijski procesi koji se proučavaju u kolegiju informatike uključuju: pretraživanje, odabir, pohranu, prijenos, kodiranje, obradu i zaštitu informacija.

Informacijski procesi koji se provode pomoću određenih informacijskih tehnologija temelj su ljudskog informacijskog djelovanja.

Računalo je univerzalni uređaj za automatizirano izvršavanje informacijskih procesa.

Ljudi barataju mnogim vrstama informacija. Komunikacija ljudi među sobom kod kuće iu školi, na poslu i na ulici je prijenos informacija. Učiteljeva priča ili priča prijatelja, televizijski program, telegram, pismo, usmena poruka itd. - sve su to primjeri prijenosa informacija.

I o tome smo već razgovarali da se iste informacije mogu prenositi i primati na različite načine. Dakle, da biste pronašli put do muzeja u nepoznatom gradu, možete pitati prolaznika, dobiti pomoć od informacijskog pulta, pokušati to sami shvatiti koristeći kartu grada ili pogledati vodič. Kada slušamo učiteljevo objašnjenje, čitamo knjige ili novine, gledamo TV vijesti, posjećujemo muzeje i izložbe - u ovo vrijeme primamo informacije.

Osoba pohranjuje primljene informacije u svojoj glavi. Ljudski mozak je ogromno skladište informacija. Bilježnica ili bilježnica, vaš dnevnik, školske bilježnice, knjižnica, muzej, kazeta sa snimkama vaših omiljenih pjesama, videovrpce - sve su to primjeri pohranjivanja informacija.

Informacije se mogu obraditi: prevođenje teksta s engleskog na ruski i obrnuto, izračunavanje zbroja zadanih pojmova, rješavanje problema, bojanje slika ili konturnih karata - sve su to primjeri obrade informacija. Svi ste nekada voljeli bojanje u bojankama. Ispostavilo se da ste u to vrijeme bili angažirani u važnom procesu - obradi informacija, pretvaranju crno-bijelog crteža u crtež u boji.

Informacije se čak mogu izgubiti. Recimo, Dima Ivanov je zaboravio svoj dnevnik kod kuće i zato je svoju zadaću zapisao na komad papira. No, igrajući se na odmoru, napravio je od njega avion i lansirao ga. Došavši kući, Dima nije mogao napraviti zadaću, izgubio je informacije. Sada treba ili pokušati zapamtiti ono što su ga pitali, ili nazvati kolegu iz razreda da dobije potrebne informacije, ili otići u školu s nedovršenom zadaćom.

Binarno kodiranje - jedan od najčešćih načina prezentiranja informacija. U računalima, robotima i numerički upravljanim strojevima u pravilu su sve informacije s kojima uređaj barata kodirane u obliku riječi binarne abecede.

Binarna abeceda sastoji se od dvije znamenke 0 i 1.

Digitalna računala (osobna računala pripadaju digitalnoj klasi) koriste binarno kodiranje bilo koje informacije. To se uglavnom objašnjava činjenicom da je tehnički lakše izgraditi tehnički uređaj koji točno razlikuje 2 različita stanja signala nego onaj koji točno razlikuje 5 ili 10 različitih stanja.

Nedostaci binarnog kodiranja uključuju vrlo duge zapise binarnog koda, što otežava rad s njima.