Podívejme se na tři způsoby, jak najít nejmenší společný násobek.
Zjištění faktorizací
První metodou je najít nejmenší společný násobek rozkladem daných čísel na prvočinitele.
Řekněme, že potřebujeme najít LCM čísel: 99, 30 a 28. Abychom to udělali, rozložme každé z těchto čísel do prvočísel:
Aby bylo požadované číslo dělitelné 99, 30 a 28, je nutné a postačující, aby zahrnovalo všechny prvočinitele těchto dělitelů. Abychom to udělali, musíme vzít všechny prvočinitele těchto čísel na největší možnou moc a vynásobit je dohromady:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žádné jiné číslo menší než 13 860 není dělitelné 99, 30 nebo 28.
Chcete-li najít nejmenší společný násobek daných čísel, započítáte je do jejich prvočinitelů, pak vezmete každý prvočinitel s největším exponentem, ve kterém se vyskytuje, a tyto faktory vynásobíte dohromady.
Protože relativně prvočísla nemají společné prvočinitele, jejich nejmenší společný násobek se rovná součinu těchto čísel. Například tři čísla: 20, 49 a 33 jsou relativně prvočísla. Proto
LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.
Totéž je třeba udělat při hledání nejmenšího společného násobku různých prvočísel. Například LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Hledání výběrem
Druhou metodou je nalezení nejmenšího společného násobku výběrem.
Příklad 1. Když je největší z daných čísel děleno jiným daným číslem, pak se LCM těchto čísel rovná největšímu z nich. Například zadaná čtyři čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je dělitelné 60, proto:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
V ostatních případech se k nalezení nejmenšího společného násobku používá následující postup:
- Určete největší číslo z uvedených čísel.
- Dále najdeme čísla, která jsou násobky největšího čísla tak, že ho vynásobíme přirozenými čísly v rostoucím pořadí a zkontrolujeme, zda je výsledný součin dělitelný zbývajícími danými čísly.
Příklad 2. Jsou dána tři čísla 24, 3 a 18. Určíme největší z nich - toto je číslo 24. Dále najdeme čísla, která jsou násobky 24, přičemž zkontrolujeme, zda je každé z nich dělitelné 18 a 3:
24 · 1 = 24 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.
24 · 2 = 48 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.
24 · 3 = 72 – dělitelné 3 a 18.
LCM (24, 3, 18) = 72.
Hledání postupným hledáním LCM
Třetí metodou je nalezení nejmenšího společného násobku postupným hledáním LCM.
LCM dvou daných čísel se rovná součinu těchto čísel dělenému jejich největším společným dělitelem.
Příklad 1. Najděte LCM dvou daných čísel: 12 a 8. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tato čísla:
Produkt dělíme podle jejich gcd:
LCM (12, 8) = 24.
Chcete-li najít LCM tří nebo více čísel, použijte následující postup:
- Nejprve najděte LCM libovolných dvou z těchto čísel.
- Potom LCM nalezeného nejmenšího společného násobku a třetího daného čísla.
- Potom LCM výsledného nejmenšího společného násobku a čtvrtého čísla atd.
- Hledání LCM tedy pokračuje, dokud existují čísla.
Příklad 2. Nalezneme LCM tří daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 jsme již našli v předchozím příkladu (toto je číslo 24). Zbývá najít nejmenší společný násobek čísla 24 a třetího daného čísla - 9. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslem 9:
Produkt dělíme podle jejich gcd:
LCM (12, 8, 9) = 72.
Níže uvedený materiál je logickým pokračováním teorie z článku s názvem LCM - nejmenší společný násobek, definice, příklady, spojení mezi LCM a GCD. Zde budeme mluvit o nalezení nejmenšího společného násobku (LCM), a zvláštní pozornost budeme věnovat řešení příkladů. Nejprve si ukážeme, jak se počítá LCM dvou čísel pomocí GCD těchto čísel. Dále se podíváme na nalezení nejmenšího společného násobku rozkladem čísel na prvočinitele. Poté se zaměříme na nalezení LCM tří nebo více čísel a také věnujeme pozornost výpočtu LCM záporných čísel.
Navigace na stránce.
Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí GCD
Jeden způsob, jak najít nejmenší společný násobek, je založen na vztahu mezi LCM a GCD. Stávající spojení mezi LCM a GCD nám umožňuje vypočítat nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel prostřednictvím známého největšího společného dělitele. Odpovídající vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Podívejme se na příklady nalezení LCM pomocí daného vzorce.
Příklad.
Najděte nejmenší společný násobek dvou čísel 126 a 70.
Řešení.
V tomto příkladu a=126, b=70. Použijme spojení mezi LCM a GCD, vyjádřené vzorcem LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). To znamená, že nejprve musíme najít největšího společného dělitele čísel 70 a 126, poté můžeme pomocí napsaného vzorce vypočítat LCM těchto čísel.
Najděte GCD(126, 70) pomocí euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tedy GCD(126, 70)=14.
Nyní najdeme požadovaný nejmenší společný násobek: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126-70:14=630.
Odpovědět:
LCM(126,70)=630.
Příklad.
Čemu se rovná LCM(68, 34)?
Řešení.
Protože 68 je dělitelné 34, pak GCD(68, 34)=34. Nyní vypočítáme nejmenší společný násobek: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68-34:34=68.
Odpovědět:
LCM(68,34)=68.
Všimněte si, že předchozí příklad odpovídá následujícímu pravidlu pro nalezení LCM pro kladná celá čísla a a b: je-li číslo a dělitelné b, pak nejmenší společný násobek těchto čísel je a.
Hledání LCM rozdělením čísel na prvočinitele
Dalším způsobem, jak najít nejmenší společný násobek, je rozklad čísel na prvočinitele. Pokud poskládáte součin ze všech prvočísel daných čísel a poté z tohoto součinu vyloučíte všechny společné prvočísla přítomné v rozkladech daných čísel, bude výsledný součin roven nejmenšímu společnému násobku daných čísel. .
Uvedené pravidlo pro nalezení LCM vyplývá z rovnosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Ve skutečnosti se součin čísel a a b rovná součinu všech faktorů podílejících se na expanzi čísel a a b. GCD(a, b) se zase rovná součinu všech prvočinitelů současně přítomných v rozšířeních čísel a a b (jak je popsáno v části o nalezení GCD pomocí rozšíření čísel na prvočinitele).
Uveďme příklad. Dejte nám vědět, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Sestavme součin ze všech faktorů těchto rozšíření: 2·3·3·5·5·5·7 . Nyní z tohoto součinu vyloučíme všechny faktory přítomné jak v rozšíření čísla 75, tak v rozšíření čísla 210 (tyto faktory jsou 3 a 5), pak bude mít součin tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohoto součinu se rovná nejmenšímu společnému násobku 75 a 210, tj. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Příklad.
Rozložte čísla 441 a 700 na prvočinitele a najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.
Řešení.
Rozložme čísla 441 a 700 na prvočinitele:
Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.
Nyní vytvoříme součin ze všech faktorů podílejících se na rozšíření těchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylučme z tohoto součinu všechny faktory, které jsou současně přítomny v obou expanzích (existuje pouze jeden takový faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tím pádem, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Odpovědět:
NOC(441,700)= 44100.
Pravidlo pro nalezení LCM pomocí rozkladu čísel na prvočinitele lze formulovat trochu jinak. Pokud se chybějící faktory z rozvoje čísla b sečtou k faktorům z rozvoje čísla a, bude hodnota výsledného součinu rovna nejmenšímu společnému násobku čísel a a b.
Vezměme například stejná čísla 75 a 210, jejich rozklady na prvočinitele jsou následující: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K činitelům 3, 5 a 5 z rozšíření čísla 75 přičteme chybějící činitele 2 a 7 z rozšíření čísla 210, získáme součin 2·3·5·5·7, jehož hodnota je rovno LCM(75, 210).
Příklad.
Najděte nejmenší společný násobek 84 a 648.
Řešení.
Nejprve získáme rozklady čísel 84 a 648 na prvočinitele. Vypadají jako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K činitelům 2, 2, 3 a 7 z rozšíření čísla 84 přičteme chybějící činitele 2, 3, 3 a 3 z rozšíření čísla 648, získáme součin 2 2 2 3 3 3 3 7, což se rovná 4 536 . Požadovaný nejmenší společný násobek 84 a 648 je tedy 4 536.
Odpovědět:
LCM(84,648)=4,536.
Nalezení LCM tří nebo více čísel
Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel lze najít postupným hledáním LCM dvou čísel. Připomeňme si odpovídající větu, která umožňuje najít LCM tří nebo více čísel.
Teorém.
Nechť jsou dána kladná celá čísla a 1 , a 2 , …, a k, nejmenší společný násobek m k těchto čísel najdeme sekvenčním výpočtem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3) , …, mk = LCM(mk−1, ak) .
Uvažujme aplikaci této věty na příkladu hledání nejmenšího společného násobku čtyř čísel.
Příklad.
Najděte LCM čtyř čísel 140, 9, 54 a 250.
Řešení.
V tomto příkladu a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Nejprve najdeme m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140; 9). Abychom to udělali, pomocí euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, tedy GCD(140, 9)=1 , odkud GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140-9:1 = 1260. To znamená, m2 = 1 260.
Nyní najdeme m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Vypočítejme to pomocí GCD(1 260, 54), které také určíme pomocí euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z toho gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.
Zbývá jen najít m4 = LOC(m3, a4) = LOC(3 780, 250). K tomu najdeme GCD(3,780, 250) pomocí euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Proto GCM(3,780, 250)=10, odkud GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3 780 · 250 : 10 = 94 500. To znamená, m4 = 94 500.
Nejmenší společný násobek původních čtyř čísel je tedy 94 500.
Odpovědět:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
V mnoha případech je vhodné najít nejmenší společný násobek tří a více čísel pomocí prvočíselných rozkladů daných čísel. V tomto případě byste měli dodržovat následující pravidlo. Nejmenší společný násobek několika čísel se rovná součinu, který se skládá takto: chybějící činitele z rozšíření druhého čísla se přičtou ke všem činitelům z rozšíření prvního čísla, chybějící činitele z rozšíření prvního čísla třetí číslo se přičte k výsledným faktorům a tak dále.
Podívejme se na příklad nalezení nejmenšího společného násobku pomocí prvočíselného rozkladu.
Příklad.
Najděte nejmenší společný násobek pěti čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Řešení.
Nejprve získáme rozklady těchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, shoduje se s jeho rozkladem na prvočinitele) a 143=11·13.
Chcete-li najít LCM těchto čísel, k faktorům prvního čísla 84 (jsou to 2, 2, 3 a 7), musíte přidat chybějící faktory z rozšíření druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chybějící faktory, protože jak 2, tak 3 jsou již přítomny v rozkladu prvního čísla 84. Dále k faktorům 2, 2, 3 a 7 přidáme chybějící faktory 2 a 2 z rozšíření třetího čísla 48, dostaneme množinu faktorů 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V dalším kroku nebude nutné do této sady přidávat násobiče, protože 7 je v ní již obsažena. Nakonec k faktorům 2, 2, 2, 2, 3 a 7 přidáme chybějící faktory 11 a 13 z rozšíření čísla 143. Dostaneme součin 2·2·2·2·3·7·11·13, který se rovná 48 048.
Abyste pochopili, jak vypočítat LCM, musíte nejprve určit význam termínu „násobek“.
Násobek A je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné A. Tedy čísla, která jsou násobky 5, lze považovat za 15, 20, 25 a tak dále.
Dělitelů určitého čísla může být omezený počet, ale násobků je nekonečný počet.
Společný násobek přirozených čísel je číslo, které je jimi dělitelné bez zanechání zbytku.
Jak najít nejmenší společný násobek čísel
Nejmenší společný násobek (LCM) čísel (dvě, tři nebo více) je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné všemi těmito čísly.
Chcete-li najít LOC, můžete použít několik metod.
U malých čísel je vhodné zapisovat všechny násobky těchto čísel na řádek, dokud mezi nimi nenajdete něco společného. Násobky se označují velkým písmenem K.
Například násobky 4 lze zapsat takto:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Můžete tedy vidět, že nejmenší společný násobek čísel 4 a 6 je číslo 24. Tento zápis se provádí následovně:
LCM(4,6) = 24
Nyní zapište společné faktory pro obě čísla. V naší verzi je to dvě a pět. V jiných případech však toto číslo může být jedno, dvě nebo tři číslice nebo dokonce více. Dále musíte pracovat s tituly. Vyberte nejmenší výkon pro každý faktor. V příkladu je to dvě na druhou mocninu a pět na první.
Nakonec stačí výsledná čísla vynásobit. V našem případě je vše velmi jednoduché: dvě druhé mocniny násobené pěti se rovnají 20. Číslo 20 lze tedy nazvat největším společným dělitelem pro 60 a 80.
Video k tématu
Poznámka
Pamatujte, že prvočíslo je číslo, které má pouze 2 dělitele: jedničku a samotné číslo.
Užitečná rada
Kromě této metody můžete použít také euklidovský algoritmus. Jeho úplný popis, prezentovaný v geometrické formě, lze nalézt v Euklidově knize „Elements“.
Související článek
Sčítání a odčítání přirozených zlomků je možné pouze v případě, že mají stejného jmenovatele. Abyste nekomplikovali výpočty při jejich převodu na jednoho jmenovatele, najděte nejmenšího společného dělitele jmenovatelů a proveďte výpočet.
Budete potřebovat
- - schopnost rozdělit čísla na prvočinitele;
- - schopnost provádět operace se zlomky.
Instrukce
Zapište sčítání zlomků. Poté najděte jejich nejmenší společný násobek. Chcete-li to provést, proveďte následující posloupnost akcí: 1. Představte si každý ze jmenovatelů v prvočíslech (prvočíslo, číslo, které je dělitelné pouze 1 a samo sebou beze zbytku, například 2, 3, 5, 7, atd.).2. Seskupte všechny jednoduché, které jsou napsány, a uveďte jejich stupně. 3. Vyberte největší mocniny každého z těchto prvočísel, které se objevují v těchto číslech. 4. Vynásobte zapsané mocniny.
Například společným jmenovatelem zlomků se jmenovateli 15, 24 a 36 bude číslo, které lze vypočítat následovně: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Napište největší mocniny všech prvočíselných dělitelů těchto čísel: 2^3 3^2 5=360.
Vydělte společného jmenovatele každým a jmenovateli sčítaných zlomků. Vynásobte jejich čitatele výsledným číslem. Pod společnou čáru zlomku napište nejmenší společný dělenec, který je zároveň nejnižším společným jmenovatelem. V čitateli sečtěte čísla, která jsou výsledkem vynásobení každého čitatele podílem nejmenšího společného faktoru děleného jmenovatelem zlomku. Součet všech čitatelů a vydělený nejnižším společným jmenovatelem bude požadované číslo.
Udělejte to například pro 4/15, 7/24 a 11/36. Najděte nejnižšího společného jmenovatele, což je 360. Poté vydělte 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Vynásobte číslo 4, které je čitatelem prvního zlomku, 24 (4 24=96), číslo 7 15 (7 15=105), číslo 11 10 (11 10=110). Poté sečtěte tato čísla (96+105+110=301). Dostaneme výsledek 4/15+7/24+11/36=301/360.
Prameny:
- jak najít nejmenší číslo
Celá čísla jsou různá matematická čísla, která mají mnoho aplikací v každodenním životě. Nezáporná celá čísla se používají při označování počtu libovolných objektů, záporná čísla - ve zprávách o předpovědi počasí atd. GCD a LCM jsou přirozené vlastnosti celých čísel spojených s operacemi dělení.
Instrukce
GCD lze snadno vypočítat pomocí Euklidova algoritmu nebo binární metody. Podle Euklidova algoritmu pro určení gcd čísel a a b, z nichž jedno není nula, existuje posloupnost čísel r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, ve které se r_1 rovná zbytku dělení. první číslo za druhým. A ostatní členy posloupnosti se rovnají zbytkům z dělení předchozího členem předchozím a předposlední prvek se beze zbytku vydělí posledním.
Matematicky lze sekvenci reprezentovat jako:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
kde k_i je celočíselný faktor.
GCD (a, b) = r_n.
Příklad.
Najděte GCD (36, 120). Podle euklidovského algoritmu odečtěte od 120 číslo, které je násobkem 36, v tomto případě je to 120 – 36*3 = 12. Nyní odečtěte číslo, které je násobkem 12 od 120, dostanete 120 – 12* 10 = 0. Proto GCD (36, 120) = 12.
Binární algoritmus pro nalezení GCD je založen na teorii posunu. Podle této metody má gcd dvou čísel následující vlastnosti:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) pro sudé a a b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) pro sudé a a liché b (opak platí pro GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) pro liché a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) pro liché b > a
Tedy gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3, 9) = 4*3 = 12.
Nejmenší společný násobek (LCM) dvou celých čísel je nejmenší celé číslo, které je dělitelné oběma původními čísly bez zanechání zbytku.
LCM lze vypočítat pomocí GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Druhým způsobem výpočtu LCM je kanonická rozklad čísel na prvočinitele:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
kde r_i jsou prvočísla a k_i a m_i jsou celá čísla ≥ 0.
LCM je reprezentován ve formě stejných prvočísel, kde maximálně dvě čísla jsou brána jako mocniny.
Příklad.
Najděte LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - nejmenší společný násobek. Číslo, které vydělí všechna daná čísla beze zbytku.
Pokud jsou například daná čísla 2, 3, 5, pak LCM=2*3*5=30
A pokud jsou daná čísla 2,4,8, pak LCM =8
co je GCD?
GCD je největší společný dělitel. Číslo, které lze použít k dělení každého z daných čísel bez zanechání zbytku.
Je logické, že pokud jsou daná čísla prvočísla, pak je gcd rovno jedné.
A pokud jsou daná čísla 2, 4, 8, pak se GCD rovná 2.
Nebudeme to popisovat obecně, ale jednoduše ukážeme řešení na příkladu.
Jsou dána dvě čísla 126 a 44. Najděte GCD.
Pak pokud dostaneme dvě čísla formuláře
Potom se GCD vypočítá jako
kde min je minimální hodnota všech mocnin čísla pn
a NOC as
kde max je maximální hodnota všech mocnin čísla pn
Při pohledu na výše uvedené vzorce můžete snadno dokázat, že gcd dvou nebo více čísel se bude rovnat jedné, když mezi alespoň jednou dvojicí daných hodnot jsou relativně prvočísla.
Proto je snadné odpovědět na otázku, čemu se rovná gcd takových čísel jako 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7, aniž bychom něco vypočítali.
čísla 3 a 7 jsou coprime, a proto gcd = 1
Podívejme se na příklad.
Jsou dána tři čísla 24654, 25473 a 954
Každé číslo je rozloženo na následující faktory
Nebo, když to napíšeme v alternativní podobě
To znamená, že gcd těchto tří čísel se rovná třem
No, LCM můžeme vypočítat podobným způsobem a rovná se
Náš bot vám pomůže vypočítat GCD a LCM jakýchkoli celých čísel, dvou, tří nebo deseti.
Pokračujme v rozhovoru o nejmenším společném násobku, který jsme začali v sekci „LCM - nejmenší společný násobek, definice, příklady“. V tomto tématu se podíváme na způsoby, jak najít LCM pro tři nebo více čísel, a podíváme se na otázku, jak najít LCM záporného čísla.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí GCD
Vztah mezi nejmenším společným násobkem a největším společným dělitelem jsme již stanovili. Nyní se naučíme, jak určit LCM pomocí GCD. Nejprve zjistíme, jak to udělat pro kladná čísla.
Definice 1
Nejmenší společný násobek můžete najít pomocí největšího společného dělitele pomocí vzorce LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Příklad 1
Musíte najít LCM čísel 126 a 70.
Řešení
Vezměme a = 126, b = 70. Dosadíme hodnoty do vzorce pro výpočet nejmenšího společného násobku přes největšího společného dělitele LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Najde gcd čísel 70 a 126. K tomu potřebujeme euklidovský algoritmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, tedy GCD (126 , 70) = 14 .
Pojďme vypočítat LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Odpovědět: LCM(126, 70) = 630.
Příklad 2
Najděte číslo 68 a 34.
Řešení
GCD v tomto případě není těžké najít, protože 68 je dělitelné 34. Vypočítejme nejmenší společný násobek pomocí vzorce: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Odpovědět: LCM(68,34) = 68.
V tomto příkladu jsme použili pravidlo pro nalezení nejmenšího společného násobku kladných celých čísel aab: pokud je první číslo dělitelné druhým, LCM těchto čísel se bude rovnat prvnímu číslu.
Hledání LCM rozdělením čísel na prvočinitele
Nyní se podívejme na metodu hledání LCM, která je založena na rozkladu čísel na prvočinitele.
Definice 2
Abychom našli nejmenší společný násobek, musíme provést několik jednoduchých kroků:
- skládáme součin všech prvočísel čísel, pro která potřebujeme najít LCM;
- z jejich výsledných produktů vylučujeme všechny prvočinitele;
- součin získaný po vyloučení společných prvočísel se bude rovnat LCM daných čísel.
Tato metoda hledání nejmenšího společného násobku je založena na rovnosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Když se podíváte na vzorec, bude vám to jasné: součin čísel a a b se rovná součinu všech faktorů, které se podílejí na rozkladu těchto dvou čísel. V tomto případě se gcd dvou čísel rovná součinu všech prvočísel, které jsou současně přítomny v rozkladech těchto dvou čísel.
Příklad 3
Máme dvě čísla 75 a 210. Můžeme je zohlednit následovně: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Pokud složíte součin všech faktorů dvou původních čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.
Pokud vyloučíme faktory společné pro čísla 3 a 5, dostaneme součin následujícího tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pro čísla 75 a 210.
Příklad 4
Najděte LCM čísel 441 A 700 , rozklad obou čísel na prvočinitele.
Řešení
Pojďme najít všechny prvočinitele čísel uvedených v podmínce:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dostaneme dva řetězce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7.
Součin všech faktorů, které se podílely na rozkladu těchto čísel, bude mít tvar: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Pojďme najít společné faktory. Toto je číslo 7. Vyloučíme to z celkového produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje se, že NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Odpovědět: LOC(441, 700) = 44 100.
Uveďme jinou formulaci metody pro nalezení LCM rozkladem čísel na prvočinitele.
Definice 3
Dříve jsme z celkového počtu vylučovali faktory společné oběma číslům. Nyní to uděláme jinak:
- Rozložme obě čísla na prvočinitele:
- doplňte k součinu prvočinitelů prvního čísla chybějící činitele druhého čísla;
- získáme součin, kterým bude požadovaná LCM dvou čísel.
Příklad 5
Vraťme se k číslům 75 a 210, pro které jsme již LCM hledali v jednom z předchozích příkladů. Rozdělme je na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Na součin faktorů 3, 5 a 5 čísla 75 doplňte chybějící faktory 2 A 7 čísla 210. Dostaneme: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.
Příklad 6
Je nutné vypočítat LCM čísel 84 a 648.
Řešení
Rozdělme čísla z podmínky do jednoduchých faktorů: 84 = 2 2 3 7 A 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Přidejme k součinu faktory 2, 2, 3 a 7
čísla 84 chybějící faktory 2, 3, 3 a
3
čísla 648. Dostáváme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je nejmenší společný násobek 84 a 648.
Odpovědět: LCM(84, 648) = 4,536.
Nalezení LCM tří nebo více čísel
Bez ohledu na to, kolik čísel máme co do činění, algoritmus našich akcí bude vždy stejný: postupně najdeme LCM dvou čísel. Pro tento případ existuje věta.
Věta 1
Předpokládejme, že máme celá čísla a 1, a 2, …, a k. NOC m k tato čísla zjistíme postupným výpočtem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Nyní se podívejme na to, jak lze větu aplikovat na řešení konkrétních problémů.
Příklad 7
Musíte vypočítat nejmenší společný násobek čtyř čísel 140, 9, 54 a 250 .
Řešení
Zavedeme zápis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Začněme výpočtem m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Aplikujme euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Získáme: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Proto m 2 = 1 260.
Nyní vypočítejme pomocí stejného algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Při výpočtech dostaneme m 3 = 3 780.
Musíme jen vypočítat m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Postupujeme podle stejného algoritmu. Dostaneme m 4 = 94 500.
LCM čtyř čísel z příkladu podmínky je 94500.
Odpovědět: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Jak vidíte, výpočty jsou jednoduché, ale poměrně pracné. Chcete-li ušetřit čas, můžete jít jinou cestou.
Definice 4
Nabízíme vám následující algoritmus akcí:
- všechna čísla rozložíme na prvočinitele;
- k součinu faktorů prvního čísla přidáme chybějící faktory ze součinu druhého čísla;
- k produktu získanému v předchozí fázi přidáme chybějící faktory třetího čísla atd.;
- výsledný součin bude nejmenší společný násobek všech čísel z podmínky.
Příklad 8
Musíte najít LCM pěti čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Řešení
Rozložme všech pět čísel na prvočinitele: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prvočísla, což je číslo 7, nelze započítat do prvočísel. Taková čísla se shodují s jejich rozkladem na prvočinitele.
Nyní vezmeme součin prvočinitelů 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a přidáme k nim chybějící činitele druhého čísla. Rozložili jsme číslo 6 na 2 a 3. Tyto faktory jsou již v součinu prvního čísla. Proto je vynecháváme.
Pokračujeme v doplňování chybějících násobičů. Přejděme k číslu 48, ze součinu jeho prvočinitelů vezmeme 2 a 2. Potom sečteme prvočinitel 7 ze čtvrtého čísla a činitele 11 a 13 pátého. Dostaneme: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je nejmenší společný násobek původních pěti čísel.
Odpovědět: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Hledání nejmenšího společného násobku záporných čísel
Abychom našli nejmenší společný násobek záporných čísel, musí být tato čísla nejprve nahrazena čísly s opačným znaménkem a poté musí být provedeny výpočty pomocí výše uvedených algoritmů.
Příklad 9
LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) a LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Takové akce jsou přípustné vzhledem k tomu, že pokud to přijmeme A A − a- opačná čísla,
pak množina násobků čísla A odpovídá množině násobků čísla − a.
Příklad 10
Je nutné vypočítat LCM záporných čísel − 145 A − 45 .
Řešení
Nahradíme čísla − 145 A − 45 k jejich opačným číslům 145 A 45 . Nyní pomocí algoritmu vypočítáme LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1 305, když jsme předtím určili GCD pomocí euklidovského algoritmu.
Dostaneme, že LCM čísel je − 145 a − 45 rovná se 1 305 .
Odpovědět: LCM (− 145, − 45) = 1 305.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter