Kurz využívá geometrický jazyk, složený ze zápisů a symbolů převzatých v kurzu matematiky (zejména v novém kurzu geometrie na střední škole).
Celou řadu označení a symbolů, stejně jako jejich spojení, lze rozdělit do dvou skupin:
skupina I - označení geometrických útvarů a vztahy mezi nimi;
skupina II označení logických operací, které tvoří syntaktický základ geometrického jazyka.
Níže je uveden úplný seznam matematických symbolů používaných v tomto kurzu. Zvláštní pozornost je věnována symbolům, které se používají k označení průmětů geometrických obrazců.
Skupina I
SYMBOLY OZNAČUJÍCÍ GEOMETRICKÉ OBRAZY A VZTAHY MEZI NIMI
A. Označení geometrických útvarů
1. Geometrický obrazec je označen - F.
2. Body jsou označeny velkými písmeny latinské abecedy nebo arabskými číslicemi:
A, B, C, D, ..., L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Přímky libovolně umístěné vzhledem k promítacím rovinám jsou označeny malými písmeny latinské abecedy:
a, b, c, d, ..., l, m, n, ...
Hladinové linie jsou označeny: h - horizontální; f-přední.
Pro rovné čáry se také používají následující zápisy:
(AB) - přímka procházející body A a B;
[AB) - paprsek se začátkem v bodě A;
[AB] - úsečka ohraničená body A a B.
4. Plochy jsou označeny malými písmeny řecké abecedy:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Aby se zdůraznil způsob, jakým je povrch definován, měly by být označeny geometrické prvky, kterými je definován, například:
α(a || b) - rovina α je určena rovnoběžnými přímkami a a b;
β(d 1 d 2 gα) - plocha β je určena vodítky d 1 a d 2, generátorem g a rovinou rovnoběžnosti α.
5. Úhly jsou vyznačeny:
∠ABC - úhel s vrcholem v bodě B, stejně jako ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Úhlová: hodnota (míra stupně) je označena znaménkem, které je umístěno nad úhlem:
Velikost úhlu ABC;
Velikost úhlu φ.
Pravý úhel je označen čtvercem s tečkou uvnitř
7. Vzdálenosti mezi geometrickými obrazci jsou označeny dvěma svislými segmenty - ||.
Například:
|AB| - vzdálenost mezi body A a B (délka segmentu AB);
|Aa| - vzdálenost od bodu A k přímce a;
|Aα| - vzdálenosti od bodu A k povrchu α;
|ab| - vzdálenost mezi přímkami a a b;
|αβ| vzdálenost mezi plochami α a β.
8. Pro promítací roviny jsou přijímána tato označení: π 1 a π 2, kde π 1 je vodorovná projekční rovina;
π 2 - rovina čelního průmětu.
Při výměně projekčních rovin nebo zavádění nových rovin jsou tyto roviny označeny π 3, π 4 atd.
9. Osy promítání jsou označeny: x, y, z, kde x je osa úsečky; y - pořadnice; z - osa aplikace.
Mongeův konstantní přímkový diagram je označen k.
10. Průměty bodů, linií, ploch, jakéhokoli geometrického útvaru jsou označeny stejnými písmeny (nebo čísly) jako originál, s přidáním horního indexu odpovídajícímu promítací rovině, na které byly získány:
A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontální průměty bodů; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... čelní průměty bodů; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - vodorovné průměty čar; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... čelní průměty čar; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontální průměty ploch; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... čelní průměty ploch.
11. Stopy rovin (ploch) se označují stejnými písmeny jako vodorovné nebo čelní s přidáním indexu 0α, zdůrazňujícího, že tyto přímky leží v promítací rovině a patří do roviny (plochy) α.
Tedy: h 0α - vodorovná stopa roviny (plochy) α;
f 0α - čelní stopa roviny (plochy) α.
12. Stopy přímek (čar) jsou označeny velkými písmeny, kterými začínají slova definující název (v latinském přepisu) promítací roviny, kterou přímka protíná, s dolním indexem označujícím příslušnost k přímce.
Například: H a - vodorovná stopa přímky (čáry) a;
F a - čelní stopa přímky (čáry) a.
13. Posloupnost bodů, čar (libovolný obrázek) je označena indexy 1,2,3,..., n:
Ai, A2, A3,..., An;
a 1, a 2, a 3,..., an;
a 1, α 2, α 3,..., α n;
Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n atd.
Pomocná projekce bodu, získaná jako výsledek transformace pro získání skutečné hodnoty geometrického útvaru, je označena stejným písmenem s dolním indexem 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
Axonometrické projekce
14. Axonometrické průměty bodů, čar, ploch se označují stejnými písmeny jako příroda s přidáním horního indexu 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Sekundární projekce jsou označeny přidáním horního indexu 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Pro snazší čtení kreseb v učebnici je při navrhování ilustračního materiálu použito více barev, z nichž každá má určitý sémantický význam: černé čáry (tečky) označují původní údaje; zelená barva se používá pro linie pomocných grafických konstrukcí; červené čáry (tečky) ukazují výsledky konstrukcí nebo těch geometrických prvků, kterým je třeba věnovat zvláštní pozornost.
| č. por. | Označení | Obsah | Příklad symbolického zápisu |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Zápas | (AB)≡(CD) - přímka procházející body A a B, se shoduje s přímkou procházející body C a D |
| 2 | ≅ | Shodný | ∠ABC≅∠MNK - úhel ABC je shodný s úhlem MNK |
| 3 | ∼ | Podobný | ΔАВС∼ΔMNK - trojúhelníky АВС a MNK jsou podobné |
| 4 | || | Paralelní | α||β - rovina α je rovnoběžná s rovinou β |
| 5 | ⊥ | Kolmý | a⊥b - přímky aab jsou kolmé |
| 6 | Kříženec | c d - přímky c a d se protínají | |
| 7 | Tangenty | t l - přímka t je tečnou k přímce l. βα - rovina β tečná k povrchu α |
|
| 8 | → | Zobrazeno | F 1 →F 2 - obrázek F 1 je mapován na obrázek F 2 |
| 9 | S | Projekční centrum. Pokud je střed projekce nesprávný bod, pak je jeho poloha označena šipkou, udávající směr projekce | - |
| 10 | s | Směr projekce | - |
| 11 | P | Paralelní projekce | р s α Rovnoběžné promítání - rovnoběžné promítání na rovinu α ve směru s |
| č. por. | Označení | Obsah | Příklad symbolického zápisu | Příklad symbolického zápisu v geometrii |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Sady | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Prvky sady | - | - |
| 3 | { ... } | Skládá se z... | Ф(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - obrazec Ф se skládá z bodů A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Prázdná sada | L - ∅ - množina L je prázdná (neobsahuje prvky) | - |
| 5 | ∈ | Patří k, je prvkem | 2∈N (kde N je množina přirozených čísel) - číslo 2 patří do množiny N | A ∈ a - bod A náleží přímce a (bod A leží na přímce a) |
| 6 | ⊂ | Obsahuje, obsahuje | N⊂M - množina N je součástí (podmnožinou) množiny M všech racionálních čísel | a⊂α - přímka a patří do roviny α (rozuměno ve smyslu: množina bodů přímky a je podmnožinou bodů roviny α) |
| 7 | ∪ | Sdružení | C = A U B - množina C je sjednocením množin A a B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5) | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - přerušovaná čára, ABCD je kombinování segmentů [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Průsečík mnoha | M=K∩L - množina M je průsečíkem množin K a L (obsahuje prvky patřící jak do množiny K, tak do množiny L). M ∩ N = ∅ - průsečík množin M a N je prázdná množina (množiny M a N nemají společné prvky) | a = α ∩ β - přímka a je průsečík roviny α a β a ∩ b = ∅ - přímky aab se neprotínají (nemají společné body) |
| č. por. | Označení | Obsah | Příklad symbolického zápisu |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Spojování vět; odpovídá spojce "a". Věta (p∧q) je pravdivá právě tehdy, když jsou obě pravdivé p a q | α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Průsečík ploch α a β je množina bodů (přímka), skládající se ze všech a pouze těch bodů K, které patří jak ploše α, tak ploše β |
| 2 | ∨ | Oddělování vět; odpovídá spojce "nebo". Věta (p∨q) pravda, když alespoň jedna z vět p nebo q je pravdivá (tj. buď p nebo q, nebo obě). | - |
| 3 | ⇒ | Implikace je logickým důsledkem. Věta p⇒q znamená: „jestliže p, pak q“ | (a||c∧b||c)⇒a||b. Pokud jsou dvě čáry rovnoběžné s třetí, pak jsou navzájem rovnoběžné |
| 4 | ⇔ | Věta (p⇔q) je chápána ve smyslu: „jestliže p, pak i q; jestliže q, pak i p“ | А∈α⇔А∈l⊂α. Bod patří do roviny, pokud patří k nějaké přímce patřící do této roviny. Platí i obrácené tvrzení: pokud bod patří k určité přímce, patřící k rovině, pak patří rovině samotné |
| 5 | ∀ | Obecný kvantifikátor zní: pro každého, pro každého, pro kohokoli. Výraz ∀(x)P(x) znamená: „pro každé x: platí vlastnost P(x)“ | ∀(ΔАВС)( = 180°) Pro libovolný (pro jakýkoli) trojúhelník součet hodnot jeho úhlů ve vrcholech se rovná 180° |
| 6 | ∃ | Existenciální kvantifikátor zní: existuje. Výraz ∃(x)P(x) znamená: „existuje x, které má vlastnost P(x)“ | (∀α)(∃a).Pro libovolnou rovinu α existuje přímka a, která nepatří do roviny α a rovnoběžné s rovinou α |
| 7 | ∃1 | Kvantifikátor jedinečnosti existence zní: existuje jen jedna (-i, -th)... Výraz ∃1(x)(Рх) znamená: „existuje pouze jeden (pouze jeden) x, mající vlastnost Px" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Pro libovolné dva různé body A a B existuje jedinečná přímka a, procházející těmito body. |
| 8 | (Px) | Negace výroku P(x) | ab(∃α)(α⊃a, b). Pokud se přímky a a b protínají, neexistuje žádná rovina a, která by je obsahovala |
| 9 | \ | Negace znamení | ≠ -segment [AB] se nerovná segmentu .a?b - přímka a není rovnoběžná s přímkou b |
Genetická symbolika
Symbolismus je seznam a vysvětlení konvenčních jmen a termínů používaných v jakémkoli oboru vědy.
Základy genetické symboliky položil Gregor Mendel, který k označení znaků používal abecední symboliku. Dominantní znaky byly označeny velkými písmeny latinské abecedy A, B, C atd., recesivní znaky - malými písmeny - a, b, c atd. Doslovná symbolika, navržená Mendelem, je v podstatě algebraická forma vyjádření zákonů dědičnosti vlastností.
K označení křížení se používá následující symbolika.
Rodiče jsou označeni latinským písmenem P (Rodiče - rodiče), vedle nich jsou zapsány jejich genotypy. Ženské pohlaví je označeno symbolem ♂ (zrcadlo Venuše), mužské ♀ (štít a kopí Marsu). Mezi rodiči je umístěno „x“, které označuje křížení. Na prvním místě je zapsán ženský genotyp a na druhém mužský.
První generace nese označení F 1 (Filli - děti), druhá generace - F 2 atd. Nedaleko jsou označení genotypů potomků.
Slovník základních pojmů a pojmů
Alely (alelické geny)- různé formy jednoho genu, které jsou výsledkem mutací a nacházejí se v identických bodech (lokusech) párových homologních chromozomů.
Alternativní znamení– vzájemně se vylučující, kontrastní rysy.
Gametes (z řeckého „gamety“ "- manžel) je reprodukční buňka rostlinného nebo živočišného organismu, která nese jeden gen z alelického páru. Gamety vždy nesou geny v „čisté“ formě, protože vznikají dělením meiotických buněk a obsahují jeden z páru homologních chromozomů.
Gen (z řeckého „genos“ "- narození) je úsek molekuly DNA, který nese informaci o primární struktuře jednoho konkrétního proteinu.
Alelické geny – párové geny umístěné v identických oblastech homologních chromozomů.
Genotyp - soubor dědičných sklonů (genů) organismu.
Heterozygot (z řeckého „heteros“ " - jiná a zygota) - zygota, která má dvě různé alely pro daný gen ( Aa, Bb).
Heterozygotníjsou jedinci, kteří dostali různé geny od svých rodičů. Heterozygotní jedinec ve svém potomstvu vytváří segregaci pro tuto vlastnost.
Homozygot (z řeckého „homos“ " - identická a zygota) - zygota, která má stejné alely daného genu (obě dominantní nebo obě recesivní).
Homozygotní se nazývají jedinci, kteří dostali od svých rodičů stejné dědičné sklony (geny) pro nějaký specifický rys. Homozygotní jedinec neprodukuje štěpení u svých potomků.
Homologní chromozomy(z řeckého „homos“ " - identické) - párové chromozomy, identické ve tvaru, velikosti, souboru genů. V diploidní buňce je sada chromozomů vždy párová: jeden chromozom je z páru mateřského původu, druhý je otcovského původu.
Heterozygotníjsou jedinci, kteří dostali různé geny od svých rodičů. Podle genotypu tedy mohou být jedinci homozygotní (AA nebo aa) nebo heterozygotní (Aa).
Dominantní vlastnost (gen) – převládající, projevující se - označeno velkými písmeny latinské abecedy: A, B, C atd.
recesivní vlastnost (gen) – potlačený znak je označen odpovídajícím malým písmenem latinské abecedy: a, b c atd.
Analýza křížení– křížení testovaného organismu s jiným, který je pro daný znak recesivním homozygotem, což umožňuje stanovit genotyp testované osoby.
Dihybridní křížení– křížení forem, které se od sebe liší dvěma dvojicemi alternativních charakteristik.
Monohybridní křížení– křížení forem, které se od sebe liší v jedné dvojici alternativních charakteristik.
Čisté linie - organismy, které jsou homozygotní pro jeden nebo více znaků a neprodukují projevy alternativního znaku u svých potomků.
Fén je znamení.
Fenotyp - souhrn všech vnějších znaků a vlastností organismu, které lze pozorovat a analyzovat.
Algoritmus pro řešení genetických problémů
- Pozorně si přečtěte úroveň úkolu.
- Stručně si poznamenejte stav problému.
- Zaznamenejte genotypy a fenotypy křížených jedinců.
- Identifikujte a zaznamenejte typy gamet, které jsou produkovány kříženými jedinci.
- Určete a zaznamenejte genotypy a fenotypy potomků získaných křížením.
- Analyzujte výsledky křížení. K tomu určete počet tříd potomků podle fenotypu a genotypu a zapište je jako číselný poměr.
- Zapište odpověď na otázku v problému.
(Při řešení problémů na určitá témata se může změnit pořadí fází a upravit jejich obsah.)
Úlohy formátování
- Je obvyklé zaznamenat nejprve ženský genotyp a poté mužský (správné zadání - ♀ААВВ x ♂аавв; neplatné zadání- ♂ aavv x ♀AABB).
- Geny jednoho alelického páru jsou psány vždy vedle sebe(správné zadání - ♀ААВВ; nesprávné zadání ♀ААВВ).
- Při zaznamenávání genotypu se písmena označující znaky vždy zapisují v abecedním pořadí, bez ohledu na to, který znak - dominantní nebo recesivní - označují (správné zadání - ♀ааВВ;nesprávné zadání -♀ VVaa).
- Pokud je znám pouze fenotyp jedince, pak se při záznamu jeho genotypu zapisují pouze ty geny, jejichž přítomnost je nesporná.Gen, který nelze určit podle fenotypu, je označen „_“(pokud jsou například žlutá barva (A) a hladký tvar (B) semen hrachu dominantními znaky a zelená barva (a) a vrásčitý tvar (c) jsou recesivní, pak genotyp jedince se žlutě vrásčitými semeny se píše takto: A_vv).
- Fenotyp je vždy zapsán pod genotypem.
- Gamety se zapisují jejich kroužením.(A).
- U jedinců se určují a zapisují typy gamet, nikoli jejich počet
Symbolika genetiky
Symbolismus je seznam a vysvětlení konvenčních jmen a termínů používaných v jakémkoli oboru vědy.
Základy genetické symboliky položil Gregor Mendel, který k označení znaků používal abecední symboliku. Dominantní vlastnosti byly označeny velkými latinskými písmeny abeceda A, B, C atd., recesivní- malými písmeny - a, b, c atd. Písmenná symbolika, navržená Mendelem, je v podstatě algebraická forma vyjádření zákonů dědičnosti vlastností.
K označení křížení se používá následující symbolika.
Rodiče jsou označeny latinským písmenem P (Rodiče - rodiče), vedle nich jsou zapsány jejich genotypy. ženský označeno symbolem ♂ (zrcadlo Venuše), mužský- ♀ (štít a kopí Marsu). Mezi rodiči je umístěno „x“, které označuje křížení. Na prvním místě je zapsán ženský genotyp a na druhém mužský.
Nejprve podlekoleno označena F1 (Filli - děti), druhá generace - F2 atd. Označení genotypů potomků jsou uvedena poblíž.
Slovník základních pojmů a pojmů
Alternativní znamení– vzájemně se vylučující, kontrastní rysy.
Gamety(z řečtiny" gamety"- manžel) je reprodukční buňka rostlinného nebo živočišného organismu, která nese jeden gen z alelického páru. Gamety vždy nesou geny v „čisté“ formě, protože jsou tvořeny dělením meiotických buněk a obsahují jeden z páru homologních chromozomů.
Gen(z řečtiny" genos"- narození) je úsek molekuly DNA, který nese informaci o primární struktuře jednoho konkrétního proteinu.
Alelické geny– párové geny umístěné v identických oblastech homologních chromozomů.
Genotyp- soubor dědičných sklonů (genů) organismu.
Heterozygot(z řečtiny" heteros" - jiná a zygota) - zygota, která má dvě různé alely pro daný gen ( Aa, Bb).
homozygot(z řečtiny" homos" - identická a zygota) - zygota, která má stejné alely daného genu (obě dominantní nebo obě recesivní).
Homologní chromozomy(z řečtiny" homos" - identické) - párové chromozomy, identické ve tvaru, velikosti, souboru genů. V diploidní buňce je sada chromozomů vždy párová: jeden chromozom je z páru mateřského původu, druhý je otcovského původu.
Dominantní vlastnost (gen) – převládající, projevující se - označeno velkými písmeny latinské abecedy: A, B, C atd.
recesivní vlastnost (gen) – potlačený znak je označen odpovídajícím malým písmenem latinské abecedy: A,bS atd
Analýza křížení– křížení testovaného organismu s jiným, který je pro daný znak recesivním homozygotem, což umožňuje stanovit genotyp testované osoby.
Dihybridní křížení– křížení forem, které se od sebe liší dvěma dvojicemi alternativních charakteristik.
Monohybridní křížení– křížení forem, které se od sebe liší v jedné dvojici alternativních charakteristik.
Fenotyp- souhrn všech vnějších znaků a vlastností organismu, které lze pozorovat a analyzovat.
ü Algoritmus pro řešení genetických problémů
1. Pozorně si přečtěte úroveň úkolu.
2. Stručně si poznamenejte stav problému.
3. Zaznamenejte genotypy a fenotypy křížených jedinců.
4. Identifikujte a zaznamenejte typy gamet, které jsou produkovány kříženými jedinci.
5. Určete a zaznamenejte genotypy a fenotypy potomků získaných křížením.
6. Analyzujte výsledky křížení. K tomu určete počet tříd potomků podle fenotypu a genotypu a zapište je jako číselný poměr.
7. Zapište si odpověď na problémovou otázku.
(Při řešení problémů na určitá témata se může změnit pořadí fází a upravit jejich obsah.)
ü Úlohy formátování
1. Je zvykem zaznamenat nejprve genotyp samice a poté samce ( správné zadání - ♀ААВВ x ♂аавв; neplatné zadání - ♂aavv x ♀AABB).
2. Geny jednoho alelického páru se píší vždy vedle sebe (správné zadání - ♀ААВВ; nesprávné zadání ♀ААВВ).
3. Při zaznamenávání genotypu se písmena označující znaky vždy zapisují v abecedním pořadí, bez ohledu na to, který znak - dominantní nebo recesivní - označují ( správné zadání - ♀ааВВ; nesprávné zadání -♀ VVaa).
4. Pokud je znám pouze fenotyp jedince, pak se při záznamu jeho genotypu zapisují pouze ty geny, jejichž přítomnost je nesporná. Gen, který nelze určit podle fenotypu, je označen „_“(pokud jsou například žlutá barva (A) a hladký tvar (B) semen hrachu dominantními znaky a zelená barva (a) a vrásčitý tvar (c) jsou recesivní, pak genotyp jedince se žlutě vrásčitými semeny se píše takto: A_vv).
5. Fenotyp je vždy zapsán pod genotypem.
6. Gamety se zapisují tak, že je zakroužkujeme (A).
7. U jedinců se určují a zapisují typy gamet, nikoli jejich počet
správné zadání nesprávné zadání
♀AA ♀AA
A A A
8. Fenotypy a typy gamet jsou psány přísně pod odpovídajícím genotypem.
9. Postup řešení problému se zaznamenává se zdůvodněním každého závěru a dosažených výsledků.
10. Výsledky křížení jsou vždy pravděpodobnostní povaha a jsou vyjádřeny buď jako procento, nebo jako zlomek jednotky (například pravděpodobnost produkce potomstva náchylného k sněti je 50 %, neboli ½. Poměr tříd potomstva se zapisuje jako segregační vzorec (například žlutá -semenné a zelenosemenné rostliny v poměru 1:1).
Příklad řešení a formátování problémů
Úkol. U vodního melounu dominuje zelená barva (A) nad pruhovanou. Určete genotypy a fenotypy F1 a F2 získané křížením homozygotních rostlin se zelenými a pruhovanými plody.