Apskatīsim trīs veidus, kā atrast vismazāko kopskaitu.
Meklēšana pēc faktorizācijas
Pirmā metode ir atrast mazāko kopējo reizni, faktorējot dotos skaitļus primārajos faktoros.
Pieņemsim, ka mums ir jāatrod skaitļu LCM: 99, 30 un 28. Lai to izdarītu, iekļausim katru no šiem skaitļiem galvenajos faktoros:
Lai vēlamais skaitlis dalītos ar 99, 30 un 28, ir nepieciešams un pietiekami, lai tajā būtu iekļauti visi šo dalītāju pirmfaktori. Lai to izdarītu, mums ir jāņem visi šo skaitļu galvenie koeficienti ar lielāko iespējamo jaudu un jāreizina kopā:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Tādējādi LCM (99, 30, 28) = 13 860. Neviens cits skaitlis, kas ir mazāks par 13 860, nedalās ar 99, 30 vai 28.
Lai atrastu doto skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu, tie jāieskaita to primārajos faktoros, pēc tam jāņem katrs galvenais koeficients ar lielāko eksponentu, kurā tas parādās, un šie faktori tiek reizināti kopā.
Tā kā relatīvi pirmskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu, to mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu. Piemēram, trīs skaitļi: 20, 49 un 33 ir relatīvi pirmskaitļi. Tāpēc
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Tas pats jādara, atrodot dažādu pirmskaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni. Piemēram, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Meklēšana pēc atlases
Otrā metode ir pēc atlases atrast mazāko kopējo daudzkārtni.
1. piemērs. Ja lielāko no dotajiem skaitļiem dala ar citu doto skaitli, tad šo skaitļu LCM ir vienāds ar lielāko no tiem. Piemēram, doti četri skaitļi: 60, 30, 10 un 6. Katrs no tiem dalās ar 60, tāpēc:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Citos gadījumos, lai atrastu vismazāko kopskaitu, tiek izmantota šāda procedūra:
- No dotajiem skaitļiem nosaki lielāko skaitli.
- Tālāk mēs atrodam skaitļus, kas ir lielākā skaitļa reizinātāji, reizinot to ar naturāliem skaitļiem augošā secībā un pārbaudot, vai iegūtais reizinājums dalās ar atlikušajiem dotajiem skaitļiem.
Piemērs 2. Doti trīs skaitļi 24, 3 un 18. Nosakām lielāko no tiem - tas ir skaitlis 24. Tālāk atrodam skaitļus, kas ir 24 reizinātāji, pārbaudot, vai katrs no tiem dalās ar 18 un 3:
24 · 1 = 24 - dalās ar 3, bet nedalās ar 18.
24 · 2 = 48 - dalās ar 3, bet nedalās ar 18.
24 · 3 = 72 — dalās ar 3 un 18.
Tādējādi LCM (24, 3, 18) = 72.
Meklēšana, secīgi atrodot LCM
Trešā metode ir atrast mazāko kopējo daudzkārtni, secīgi atrodot LCM.
Divu doto skaitļu LCM ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu, kas dalīts ar to lielāko kopīgo dalītāju.
1. piemērs. Atrodiet divu doto skaitļu LCM: 12 un 8. Nosakiet to lielāko kopīgo dalītāju: GCD (12, 8) = 4. Reiziniet šos skaitļus:
Mēs sadalām produktu ar to gcd:
Tādējādi LCM (12, 8) = 24.
Lai atrastu trīs vai vairāk skaitļu LCM, izmantojiet šādu procedūru:
- Vispirms atrodiet jebkuru divu no šiem skaitļiem LCM.
- Pēc tam LCM no atrastā mazākā kopīgā reizinājuma un trešā dotā skaitļa.
- Pēc tam iegūtā mazākā kopīgā reizinājuma un ceturtā skaitļa LCM utt.
- Līdz ar to LCM meklēšana turpinās tik ilgi, kamēr ir skaitļi.
2. piemērs. Atradīsim trīs doto skaitļu LCM: 12, 8 un 9. Mēs jau atradām skaitļu 12 un 8 LCM iepriekšējā piemērā (tas ir skaitlis 24). Atliek atrast skaitļa 24 un trešā dotā skaitļa mazāko kopīgo reizinātāju - 9. Nosakiet to lielāko kopīgo dalītāju: GCD (24, 9) = 3. Reiziniet LCM ar skaitli 9:
Mēs sadalām produktu ar to gcd:
Tādējādi LCM (12, 8, 9) = 72.
Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta ar nosaukumu LCM - mazākais kopīgs reizinājums, definīcija, piemēri, saikne starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par vismazāk kopīgā daudzkārtņa atrašana (LCM), un īpašu uzmanību pievērsīsim piemēru risināšanai. Pirmkārt, mēs parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts, izmantojot šo skaitļu GCD. Tālāk mēs aplūkosim vismazākā kopskaita atrašanu, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašanu, kā arī pievērsīsim uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķināšanai.
Lapas navigācija.
Vismazāko kopsavilkumu (LCM) aprēķināšana, izmantojot GCD
Viens no veidiem, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz saistību starp LCM un GCD. Esošais savienojums starp LCM un GCD ļauj mums aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošā formula ir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Apskatīsim piemērus LCM atrašanai, izmantojot doto formulu.
Piemērs.
Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo reizinājumu.
Risinājums.
Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim savienojumu starp LCM un GCD, kas izteikts ar formulu LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tas ir, vispirms ir jāatrod lielākais skaitļu 70 un 126 kopējais dalītājs, pēc kura mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM, izmantojot rakstīto formulu.
Atradīsim GCD(126, 70), izmantojot Eiklīda algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tātad GCD(126, 70)=14.
Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopējo reizni: GCD(126,70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Atbilde:
LCM(126, 70)=630 .
Piemērs.
Ar ko ir vienāds ar LCM(68, 34)?
Risinājums.
Jo 68 dalās ar 34, tad GCD(68, 34)=34. Tagad mēs aprēķinām mazāko kopīgo reizni: GCD(68,34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Atbilde:
LCM(68, 34)=68 .
Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a.
LCM atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktoros
Vēl viens veids, kā atrast vismazāko reizinātāju, ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja sastāda reizinājumu no visiem doto skaitļu pirmfaktoriem un pēc tam no šī reizinājuma izslēdz visus kopīgos pirmkoeficientus, kas ir doto skaitļu dekompozīcijās, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar doto skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni. .
No vienlīdzības izriet noteikums LCM atrašanai LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu faktoru reizinājumu, kas iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt GCD(a, b) ir vienāds ar visu pirmfaktoru reizinājumu, kas vienlaicīgi atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kā aprakstīts sadaļā par GCD atrašanu, izmantojot skaitļu izvēršanu pirmfaktoros).
Sniegsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Sastādīsim reizinājumu no visiem šo paplašinājumu faktoriem: 2·3·3·5·5·5·7 . Tagad no šī produkta mēs izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šie faktori ir 3 un 5), tad reizinājums būs 2·3·5·5·7. . Šī produkta vērtība ir vienāda ar 75 un 210 mazāko kopīgo reizinātāju, tas ir, NOC(75,210)= 2·3·5·5·7=1050.
Piemērs.
Sakārtojiet skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros un atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.
Risinājums.
Ieskaitīsim skaitļus 441 un 700 galvenajos faktoros:
Iegūstam 441=3·3·7·7 un 700=2·2·5·5·7.
Tagad izveidosim produktu no visiem faktoriem, kas ir iesaistīti šo skaitļu paplašināšanā: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds ir tikai viens faktors - tas ir skaitlis 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tādējādi LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Atbilde:
NOC(441; 700) = 44 100 .
Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu faktorizāciju primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja trūkstošos faktorus no skaitļa b izvērsuma pieskaita faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopējo daudzkārtni..
Piemēram, ņemsim tos pašus skaitļus 75 un 210, to sadalīšanās pirmfaktoros ir šāda: 75=3·5·5 un 210=2·3·5·7. Pie faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 7 no skaitļa 210 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2·3·5·5·7, kura vērtība ir vienāds ar LCM(75, 210).
Piemērs.
Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.
Risinājums.
Vispirms iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2·2·3·7 un 648=2·2·2·3·3·3·3. Pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 no skaitļa 84 izvērsuma pievienojam trūkstošos faktorus 2, 3, 3 un 3 no skaitļa 648 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7, kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.
Atbilde:
LCM(84,648)=4536.
Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana
Trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atcerēsimies atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāk skaitļu LCM.
Teorēma.
Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k, šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni m k atrod, secīgi aprēķinot m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Apskatīsim šīs teorēmas pielietojumu, izmantojot piemēru, kā atrast četru skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.
Piemērs.
Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.
Risinājums.
Šajā piemērā a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Vispirms atrodam m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām GCD(140, 9), mums ir 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, tāpēc GCD(140, 9)=1 , no kurienes GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140·9:1=1260. Tas ir, m 2 = 1 260.
Tagad mēs atrodam m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Aprēķināsim to caur GCD(1 260, 54), ko arī nosakām, izmantojot Eiklīda algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tad gcd(1,260, 54)=18, no kura gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Tas ir, m 3 = 3 780.
Atliek tikai atrast m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3,780, 250), izmantojot Eiklīda algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Tāpēc GCM(3780,250)=10, no kurienes GCM(3780,250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Tas ir, m 4 = 94 500.
Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.
Atbilde:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
Daudzos gadījumos ir ērti atrast trīs vai vairāk skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot doto skaitļu pirmfaktorizācijas. Šajā gadījumā jums jāievēro šāds noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. iegūtajiem faktoriem tiek pievienots trešais skaitlis utt.
Apskatīsim piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot primāro faktorizāciju.
Piemērs.
Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.
Risinājums.
Pirmkārt, mēs iegūstam šo skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ir pirmskaitlis, tas sakrīt ar tā sadalīšanos pirmfaktoros) un 143=11·13.
Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2, 2, 3 un 7), jums jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 paplašinājuma. Skaitļa 6 dekompozīcija nesatur trūkstošos faktorus, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 sadalīšanā. Tālāk pie faktoriem 2, 2, 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 izvērsuma, iegūstam faktoru 2, 2, 2, 2, 3 un 7 kopu. Nākamajā solī šai kopai nebūs jāpievieno reizinātāji, jo tajā jau ir ietverts 7. Visbeidzot, faktoriem 2, 2, 2, 2, 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Iegūstam reizinājumu 2·2·2·2·3·7·11·13, kas ir vienāds ar 48 048.
Lai saprastu, kā aprēķināt LCM, vispirms ir jānosaka termina "vairāki" nozīme.
A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma. Tādējādi skaitļus, kas ir 5 reizes, var uzskatīt par 15, 20, 25 utt.
Konkrēta skaitļa dalītāju skaits var būt ierobežots, taču ir bezgalīgs daudzkārtņu skaits.
Dabisku skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas dalās ar tiem, neatstājot atlikumu.
Kā atrast skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni
Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM) (divi, trīs vai vairāk) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar visiem šiem skaitļiem.
Lai atrastu LOC, varat izmantot vairākas metodes.
Maziem skaitļiem ir ērti pierakstīt visus šo skaitļu reizinājumus rindā, līdz atrodat kaut ko kopīgu starp tiem. Vairāki tiek apzīmēti ar lielo burtu K.
Piemēram, skaitļa 4 reizinājumus var uzrakstīt šādi:
K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Tādējādi var redzēt, ka skaitļu 4 un 6 mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis 24. Šo apzīmējumu veic šādi:
LCM(4, 6) = 24
Tagad pierakstiet abu skaitļu kopējos faktorus. Mūsu versijā tas ir divi un pieci. Tomēr citos gadījumos šis skaitlis var būt viens, divi vai trīs cipari vai pat vairāk. Tālāk jums jāstrādā ar grādiem. Katram faktoram izvēlieties mazāko jaudu. Piemērā tas ir divi pret otro pakāpi un pieci pret pirmo.
Visbeidzot, jums vienkārši jāreizina iegūtie skaitļi. Mūsu gadījumā viss ir ārkārtīgi vienkārši: divi kvadrāti, reizināti ar pieci, ir vienādi ar 20. Tādējādi skaitli 20 var saukt par lielāko kopējo dalītāju 60 un 80.
Video par tēmu
Piezīme
Atcerieties, ka galvenais koeficients ir skaitlis, kuram ir tikai 2 dalītāji: viens un pats skaitlis.
Noderīgs padoms
Papildus šai metodei varat izmantot arī Eiklīda algoritmu. Tās pilns apraksts, kas attēlots ģeometriskā formā, ir atrodams Eiklida grāmatā "Elementi".
Saistīts raksts
Dabisko daļu saskaitīšana un atņemšana iespējama tikai tad, ja tām ir vienāds saucējs. Lai nesarežģītu aprēķinus, apvienojot tos vienā saucējā, atrodiet saucēju mazāko kopīgo dalītāju un veiciet aprēķinu.
Jums būs nepieciešams
- - spēja skaitļus faktorēt pirmfaktoros;
- - spēja veikt darbības ar daļskaitļiem.
Instrukcijas
Pierakstiet daļskaitļu saskaitīšanu. Pēc tam atrodiet to mazāko kopīgo reizinājumu. Lai to izdarītu, veiciet šādu darbību secību: 1. Iedomājieties katru no saucējiem pirmskaitļos (pirmskaitlis, skaitlis, kas dalās tikai ar 1 un pats sevi bez atlikuma, piemēram, 2, 3, 5, 7, utt.).2. Grupējiet visas vienkāršās, kas ir izrakstītas, norādot to grādus. 3. Izvēlieties katra no šiem pirmfaktoriem lielākās pakāpes, kas parādās šajos skaitļos. 4. Reiziniet rakstiskās pilnvaras.
Piemēram, kopsaucējs daļām ar saucējiem 15, 24 un 36 būs skaitlis, ko var aprēķināt šādi: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Uzrakstiet visu šo skaitļu pirmskaitļu dalītāju lielākos pakāpjus: 2^3 3^2 5=360.
Sadaliet kopsaucēju ar katru un saskaitāmo daļu saucējus. Reiziniet to skaitītājus ar iegūto skaitli. Zem daļskaitļa kopējās līnijas ierakstiet mazāko kopējo dividendi, kas ir arī mazākais kopsaucējs. Skaitītājā pievienojiet skaitļus, kas iegūti, reizinot katru skaitītāju ar mazākā kopīgā faktora daļu, kas dalīta ar daļskaitļa saucēju. Visu skaitītāju summa, kas dalīta ar mazāko kopsaucēju, būs vēlamais skaitlis.
Piemēram, 4/15, 7/24 un 11/36 dariet to. Atrodiet mazāko kopsaucēju, kas ir 360. Pēc tam sadaliet 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Reiziniet skaitli 4, kas ir pirmās daļdaļas skaitītājs, ar 24 (4 24 = 96), skaitli 7 ar 15 (7 15 = 105), skaitli 11 ar 10 (11 10 = 110). Pēc tam pievienojiet šos skaitļus (96+105+110=301). Iegūstam rezultātu 4/15+7/24+11/36=301/360.
Avoti:
- kā atrast mazāko skaitli
Veseli skaitļi ir dažādi matemātiski skaitļi, kuriem ikdienas dzīvē ir daudz pielietojumu. Nenegatīvus veselus skaitļus izmanto, lai norādītu jebkuru objektu skaitu, negatīvus skaitļus - ziņojumos par laika prognozēm utt. GCD un LCM ir ar dalīšanas operācijām saistītie veselo skaitļu dabiskie raksturlielumi.
Instrukcijas
GCD ir viegli aprēķināt, izmantojot Eiklīda algoritmu vai bināro metodi. Saskaņā ar Eiklida algoritmu skaitļu a un b gcd noteikšanai, no kuriem viens nav nulle, ir skaitļu secība r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, kurā r_1 ir vienāds ar dalīšanas atlikumu. pirmo numuru pa otro. Un pārējie secības locekļi ir vienādi ar atlikumiem, kas rodas, dalot iepriekšējo locekli ar iepriekšējo, un priekšpēdējais elements tiek dalīts ar pēdējo bez atlikuma.
Matemātiski secību var attēlot šādi:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
kur k_i ir vesels skaitlis.
GCD (a, b) = r_n.
Piemērs.
Atrodiet GCD (36, 120). Saskaņā ar Eiklīda algoritmu no 120 atņemiet skaitli, kas ir reizināts ar 36, šajā gadījumā tas ir 120 – 36*3 = 12. Tagad atņemiet skaitli, kas ir reizināts ar 12 no 120, iegūstat 120 – 12*. 10 = 0. Tāpēc GCD (36, 120) = 12.
Binārais algoritms GCD atrašanai ir balstīts uz maiņu teoriju. Saskaņā ar šo metodi divu skaitļu gcd ir šādas īpašības:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) pāra a un b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) pāra a un nepāra b (pretējais ir GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) nepāra a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) nepāra b > a
Tādējādi gcd (36, 120) = 2 * gcd (18, 60) = 4 * gcd (9, 30) = 4 * gcd (9, 15) = 4 * gcd ((15 - 9) / 2 = 3 , 9) = 4*3 = 12.
Divu veselu skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis (LCM) ir mazākais veselais skaitlis, kas dalās ar abiem sākotnējiem skaitļiem, neatstājot atlikumu.
LCM var aprēķināt, izmantojot GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Otrs veids, kā aprēķināt LCM, ir skaitļu kanoniskā faktorizācija primārajos faktoros:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
kur r_i ir pirmskaitļi, un k_i un m_i ir veseli skaitļi ≥ 0.
LCM tiek attēlots tādu pašu pirmkoeficientu veidā, kur par pakāpēm tiek ņemti maksimāli divi skaitļi.
Piemērs.
Atrodiet LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM — mazākais kopīgs daudzkārtnis. Skaitlis, kas sadalīs visus dotos skaitļus bez atlikuma.
Piemēram, ja norādītie skaitļi ir 2, 3, 5, tad LCM=2*3*5=30
Un, ja dotie skaitļi ir 2,4,8, tad LCM =8
kas ir GCD?
GCD ir lielākais kopīgais dalītājs. Skaitlis, ar kuru var dalīt katru no dotajiem skaitļiem, neatstājot atlikumu.
Loģiski, ja dotie skaitļi ir pirmskaitļi, tad gcd ir vienāds ar vienu.
Un, ja dotie skaitļi ir 2, 4, 8, tad GCD ir vienāds ar 2.
Mēs to neaprakstīsim vispārīgi, bet vienkārši parādīsim risinājumu ar piemēru.
Doti divi skaitļi 126 un 44. Atrodiet GCD.
Tad, ja mums ir doti divi formas skaitļi
Tad GCD tiek aprēķināts kā
kur min ir skaitļa pn visu pakāpju minimālā vērtība
un NOC kā
kur max ir skaitļa pn visu pakāpju maksimālā vērtība
Aplūkojot iepriekš minētās formulas, jūs varat viegli pierādīt, ka divu vai vairāku skaitļu gcd būs vienāds ar vienu, ja starp vismaz vienu doto vērtību pāri ir relatīvi pirmskaitļi.
Tāpēc ir viegli atbildēt uz jautājumu, ar ko ir vienāds tādu skaitļu kā 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 gcd, neko nerēķinot.
skaitļi 3 un 7 ir pirmskaitļi, un tāpēc gcd = 1
Apskatīsim piemēru.
Doti trīs skaitļi 24654, 25473 un 954
Katrs skaitlis ir sadalīts šādos faktoros
Vai arī, ja mēs to rakstām alternatīvā formā
Tas ir, šo trīs skaitļu gcd ir vienāds ar trīs
Nu, mēs varam aprēķināt LCM līdzīgi, un tas ir vienāds ar
Mūsu robots palīdzēs jums aprēķināt GCD un LCM jebkuriem veseliem skaitļiem — divi, trīs vai desmit.
Turpināsim sarunu par vismazāko daudzkārtni, kuru sākām sadaļā “LCM - mazākais kopīgs daudzkārtnis, definīcija, piemēri”. Šajā tēmā mēs apskatīsim veidus, kā atrast LCM trim vai vairākiem skaitļiem, un mēs aplūkosim jautājumu par to, kā atrast negatīva skaitļa LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vismazāko kopsavilkumu (LCM) aprēķināšana, izmantojot GCD
Mēs jau esam izveidojuši attiecības starp mazāko kopējo daudzkārtni un lielāko kopīgo dalītāju. Tagad uzzināsim, kā noteikt LCM, izmantojot GCD. Vispirms izdomāsim, kā to izdarīt pozitīviem skaitļiem.
1. definīcija
Jūs varat atrast mazāko kopējo daudzkārtni, izmantojot lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot formulu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
1. piemērs
Jums jāatrod skaitļu 126 un 70 LCM.
Risinājums
Ņemsim a = 126, b = 70. Aizstāsim vērtības formulā, lai aprēķinātu mazāko kopējo daudzkārtni caur lielāko kopīgo dalītāju LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Atrod skaitļu 70 un 126 gcd. Šim nolūkam mums ir nepieciešams Eiklīda algoritms: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, tāpēc GCD (126 , 70) = 14 .
Aprēķināsim LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Atbilde: LCM(126, 70) = 630.
2. piemērs
Atrodiet numurus 68 un 34.
Risinājums
GCD šajā gadījumā nav grūti atrast, jo 68 dalās ar 34. Aprēķināsim mazāko kopējo reizinātāju, izmantojot formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Atbilde: LCM(68, 34) = 68.
Šajā piemērā mēs izmantojām noteikumu, lai atrastu pozitīvo veselo skaitļu a un b mazāko kopīgo daudzkārtni: ja pirmais skaitlis dalās ar otro, šo skaitļu LCM būs vienāds ar pirmo skaitli.
LCM atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktoros
Tagad apskatīsim LCM atrašanas metodi, kuras pamatā ir faktoringa skaitļu iekļaušana primārajos faktoros.
2. definīcija
Lai atrastu vismazāko kopskaitu, mums ir jāveic vairākas vienkāršas darbības:
- mēs veidojam visu to skaitļu pirmfaktoru reizinājumu, kuriem jāatrod LCM;
- mēs izslēdzam visus galvenos faktorus no to iegūtajiem produktiem;
- reizinājums, kas iegūts pēc kopējo pirmkoeficientu likvidēšanas, būs vienāds ar doto skaitļu LCM.
Šī metode mazākā kopīgā reizinājuma atrašanai ir balstīta uz vienādību LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ja paskatās uz formulu, kļūs skaidrs: skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu to faktoru reizinājumu, kas piedalās šo divu skaitļu sadalīšanā. Šajā gadījumā divu skaitļu gcd ir vienāds ar visu primāro faktoru reizinājumu, kas vienlaikus ir šo divu skaitļu faktorizācijā.
3. piemērs
Mums ir divi skaitļi 75 un 210. Mēs varam tos aprēķināt šādi: 75 = 3 5 5 Un 210 = 2 3 5 7. Ja jūs veidojat divu sākotnējo skaitļu visu faktoru reizinājumu, jūs iegūstat: 2 3 3 5 5 5 7.
Ja izslēdzam faktorus, kas ir kopīgi gan skaitļiem 3, gan 5, mēs iegūstam šādas formas reizinājumu: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produkts būs mūsu LCM numuriem 75 un 210.
4. piemērs
Atrodiet skaitļu LCM 441 Un 700 , ieskaitot abus skaitļus primārajos faktoros.
Risinājums
Atradīsim visus nosacījumā doto skaitļu primāros faktorus:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Mēs iegūstam divas skaitļu ķēdes: 441 = 3 3 7 7 un 700 = 2 2 5 5 7.
Visu faktoru reizinājumam, kas piedalījās šo skaitļu sadalīšanā, būs šāda forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Atradīsim kopīgus faktorus. Šis ir cipars 7. Izslēgsim to no kopējā produkta: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izrādās, ka NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atbilde: LOC(441; 700) = 44 100.
Sniegsim citu LCM atrašanas metodes formulējumu, sadalot skaitļus pirmfaktoros.
3. definīcija
Iepriekš mēs izslēdzām no kopējā faktoru skaita, kas ir kopīgi abiem skaitļiem. Tagad mēs to darīsim savādāk:
- Ieskaitīsim abus skaitļus galvenajos faktoros:
- pieskaita pirmā skaitļa pirmkoeficientu reizinājumam otrā skaitļa trūkstošos faktorus;
- iegūstam reizinājumu, kas būs vēlamais divu skaitļu LCM.
5. piemērs
Atgriezīsimies pie skaitļiem 75 un 210, kuriem LCM jau meklējām vienā no iepriekšējiem piemēriem. Sadalīsim tos vienkāršos faktoros: 75 = 3 5 5 Un 210 = 2 3 5 7. Uz koeficientu 3, 5 un reizinājumu 5 skaitļi 75 pievieno trūkstošos faktorus 2 Un 7 cipari 210. Mēs iegūstam: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Šis ir skaitļu 75 un 210 LCM.
6. piemērs
Ir jāaprēķina skaitļu 84 un 648 LCM.
Risinājums
Aprēķināsim nosacījumu skaitļus vienkāršos faktoros: 84 = 2 2 3 7 Un 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pievienosim reizinājumam koeficientus 2, 2, 3 un 7
skaitļi 84 trūkst faktoru 2, 3, 3 un
3
numuri 648. Mēs saņemam preci 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Šis ir 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums.
Atbilde: LCM(84,648) = 4536.
Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana
Neatkarīgi no tā, ar cik skaitļiem mums ir darīšana, mūsu darbību algoritms vienmēr būs vienāds: mēs secīgi atradīsim divu skaitļu LCM. Šim gadījumam ir teorēma.
1. teorēma
Pieņemsim, ka mums ir veseli skaitļi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kšos skaitļus atrod, secīgi aprēķinot m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Tagad apskatīsim, kā teorēmu var pielietot konkrētu problēmu risināšanai.
7. piemērs
Jums jāaprēķina četru skaitļu 140, 9, 54 un mazākais kopīgais reizinājums 250 .
Risinājums
Ieviesīsim apzīmējumu: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Sāksim, aprēķinot m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Izmantosim Eiklīda algoritmu, lai aprēķinātu skaitļu 140 un 9 GCD: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Mēs iegūstam: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Tāpēc m 2 = 1,260.
Tagad aprēķināsim, izmantojot to pašu algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Aprēķinu laikā iegūstam m 3 = 3 780.
Mums vienkārši jāaprēķina m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Mēs sekojam tam pašam algoritmam. Mēs iegūstam m 4 = 94 500.
Četru skaitļu LCM no piemēra nosacījuma ir 94500.
Atbilde: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kā redzat, aprēķini ir vienkārši, taču diezgan darbietilpīgi. Lai ietaupītu laiku, varat izvēlēties citu ceļu.
4. definīcija
Mēs piedāvājam jums šādu darbību algoritmu:
- visus skaitļus sadalām pirmfaktoros;
- pirmā skaitļa faktoru reizinājumam pievienojam trūkstošos faktorus no otrā skaitļa reizinājuma;
- iepriekšējā posmā iegūtajam reizinājumam pievienojam trūkstošos trešā skaitļa faktorus utt.;
- iegūtais reizinājums būs visu nosacījuma skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
8. piemērs
Jums jāatrod piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Risinājums
Sarēķināsim visus piecus skaitļus primārajos koeficientos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pirmskaitļus, kas ir skaitlis 7, nevar iekļaut pirmskaitļos. Šādi skaitļi sakrīt ar to sadalīšanos pirmfaktoros.
Tagad ņemsim skaitļa 84 pirmkoeficientu 2, 2, 3 un 7 reizinājumu un pievienosim tiem trūkstošos otrā skaitļa koeficientus. Mēs sadalījām skaitli 6 2 un 3. Šie faktori jau ir pirmā skaitļa reizinājumā. Tāpēc mēs tos izlaižam.
Mēs turpinām pievienot trūkstošos reizinātājus. Pārejam pie skaitļa 48, no kura pirmfaktoru reizinājuma ņemam 2 un 2. Tad no ceturtā skaitļa saskaitām primāro koeficientu 7 un piektā skaitļa koeficientus 11 un 13. Mēs iegūstam: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Šis ir sākotnējo piecu skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Atbilde: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Negatīvo skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma atrašana
Lai atrastu negatīvo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni, šie skaitļi vispirms jāaizstāj ar skaitļiem ar pretēju zīmi un pēc tam jāveic aprēķini, izmantojot iepriekš minētos algoritmus.
9. piemērs
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) un LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Šādas darbības ir pieļaujamas tāpēc, ka, ja mēs to pieņemam a Un − a- pretēji skaitļi,
tad skaitļa reizinātāju kopa a atbilst skaitļa reizinātāju kopai − a.
10. piemērs
Nepieciešams aprēķināt negatīvo skaitļu LCM − 145 Un − 45 .
Risinājums
Aizstāsim skaitļus − 145 Un − 45 to pretējiem skaitļiem 145 Un 45 . Tagad, izmantojot algoritmu, mēs aprēķinām LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, iepriekš nosakot GCD, izmantojot Eiklīda algoritmu.
Mēs iegūstam, ka skaitļu LCM ir − 145 un − 45 vienāds 1 305 .
Atbilde: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter