Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün üç üsula baxaq.
Faktorlara ayırma yolu ilə tapma
Birinci üsul verilmiş ədədləri sadə amillərə ayırmaqla ən kiçik ortaq qatı tapmaqdır.
Tutaq ki, 99, 30 və 28 ədədlərinin LCM-ni tapmalıyıq. Bunun üçün gəlin bu ədədlərin hər birini sadə amillərə ayıraq:
İstənilən ədədin 99, 30 və 28-ə bölünməsi üçün bu bölənlərin bütün sadə amillərinin daxil olması zəruri və kifayətdir. Bunu etmək üçün, bu ədədlərin bütün əsas amillərini mümkün olan ən böyük gücə götürməli və onları birlikdə vurmalıyıq:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Beləliklə, LCM (99, 30, 28) = 13.860. 13.860-dan kiçik başqa heç bir ədəd 99, 30 və ya 28-ə bölünə bilməz.
Verilmiş ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün onları əsas faktorlara ayırırsınız, sonra göründüyü ən böyük eksponentlə hər bir sadə amili götürün və bu amilləri birlikdə çoxaldın.
Nisbətən sadə ədədlərin ümumi sadə amilləri olmadığı üçün onların ən kiçik ümumi çoxluğu bu ədədlərin hasilinə bərabərdir. Məsələn, üç ədəd: 20, 49 və 33 nisbətən sadədir. Buna görə də
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Müxtəlif sadə ədədlərin ən kiçik ortaq qatını taparkən də eyni şeyi etmək lazımdır. Məsələn, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Seçim yolu ilə tapmaq
İkinci üsul seçim yolu ilə ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaqdır.
Misal 1. Verilmiş ədədlərin ən böyüyü başqa verilmiş ədədə bölündükdə, bu ədədlərin LCM-i onların ən böyüyünə bərabər olur. Məsələn, dörd ədəd verilmişdir: 60, 30, 10 və 6. Onların hər biri 60-a bölünür, buna görə də:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Digər hallarda, ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün aşağıdakı prosedurdan istifadə olunur:
- Verilmiş ədədlərdən ən böyük ədədi təyin edin.
- Sonra, artan qaydada natural ədədlərə vuraraq və nəticədə hasil edilən qalan verilmiş ədədlərə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayaraq ən böyük ədədin qatları olan ədədləri tapırıq.
Nümunə 2. Üç ədəd 24, 3 və 18 verilmişdir. Onlardan ən böyüyünü müəyyən edirik - bu, 24 rəqəmidir. Sonra, onların hər birinin 18 və 3-ə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayaraq, 24-ə çoxlu olan ədədləri tapırıq:
24 · 1 = 24 - 3-ə bölünür, lakin 18-ə bölünmür.
24 · 2 = 48 - 3-ə bölünür, lakin 18-ə bölünmür.
24 · 3 = 72 - 3 və 18-ə bölünür.
Beləliklə, LCM (24, 3, 18) = 72.
LCM-i ardıcıl olaraq tapmaqla tapma
Üçüncü üsul LCM-i ardıcıl olaraq tapmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaqdır.
Verilmiş iki ədədin LCM-i bu ədədlərin hasilinin onların ən böyük ortaq böləninə bölünməsinə bərabərdir.
Misal 1. Verilmiş iki ədədin LCM-ni tapın: 12 və 8. Onların ən böyük ortaq bölənini təyin edin: GCD (12, 8) = 4. Bu ədədləri çoxaltın:
Məhsulu gcd-yə bölürük:
Beləliklə, LCM (12, 8) = 24.
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-ni tapmaq üçün aşağıdakı prosedurdan istifadə edin:
- Əvvəlcə bu nömrələrdən hər ikisinin LCM-ni tapın.
- Sonra tapılan ən kiçik ümumi çoxluğun və üçüncü verilmiş ədədin LCM-i.
- Sonra, nəticədə ən az ümumi çoxluğun və dördüncü ədədin LCM-i və s.
- Beləliklə, LCM-nin axtarışı rəqəmlər olduğu müddətdə davam edir.
Misal 2. Verilmiş üç ədədin LCM-ni tapaq: 12, 8 və 9. Biz artıq əvvəlki misalda 12 və 8 rəqəmlərinin LCM-ni tapdıq (bu, 24 rəqəmidir). 24 rəqəminin ən kiçik ortaq qatını və verilmiş üçüncü ədədi tapmaq qalır - 9. Onların ən böyük ortaq bölənini təyin edin: GCD (24, 9) = 3. LCM-i 9 rəqəminə vurun:
Məhsulu gcd-yə bölürük:
Beləliklə, LCM (12, 8, 9) = 72.
Aşağıda təqdim olunan material LCM - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr, LCM və GCD arasındakı əlaqə adlı məqalədən nəzəriyyənin məntiqi davamıdır. Burada biz danışacağıq ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq (LCM), və biz misalların həllinə xüsusi diqqət yetirəcəyik. Birincisi, bu nömrələrin GCD-dən istifadə edərək iki ədədin LCM-nin necə hesablandığını göstərəcəyik. Sonra, ədədləri əsas amillərə ayırmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağa baxacağıq. Bundan sonra biz üç və ya daha çox ədədin LCM-nin tapılmasına, həmçinin mənfi ədədlərin LCM-nin hesablanmasına diqqət yetirəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
GCD vasitəsilə Ən Az Ümumi Çoxluğun (LCM) Hesablanması
Ən az ümumi çoxluğu tapmağın bir yolu LCM və GCD arasındakı əlaqəyə əsaslanır. LCM və GCD arasındakı mövcud əlaqə bizə məlum ən böyük ümumi bölən vasitəsilə iki müsbət tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu hesablamağa imkan verir. Müvafiq düstur belədir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Verilmiş düsturdan istifadə edərək LCM-nin tapılması nümunələrinə baxaq.
Misal.
126 və 70 iki ədədinin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Həll.
Bu misalda a=126 , b=70 . Düsturla ifadə olunan LCM və GCD arasındakı əlaqədən istifadə edək LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Yəni əvvəlcə 70 və 126 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmalıyıq, bundan sonra yazılı düsturdan istifadə edərək bu ədədlərin LCM-ni hesablaya bilərik.
Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(126, 70) tapaq: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, buna görə də GCD(126, 70)=14.
İndi tələb olunan ən kiçik ümumi çoxluğu tapırıq: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Cavab:
LCM(126, 70)=630 .
Misal.
LCM(68, 34) nəyə bərabərdir?
Həll.
Çünki 68 34-ə bölünür, onda GCD(68, 34)=34. İndi ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayırıq: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Cavab:
LCM(68, 34)=68 .
Qeyd edək ki, əvvəlki nümunə a və b müsbət tam ədədləri üçün LCM-i tapmaq üçün aşağıdakı qaydaya uyğundur: əgər a sayı b-yə bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı a-dır.
Ədədləri əsas amillərə ayırmaqla LCM-nin tapılması
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağın başqa bir yolu ədədləri sadə amillərə ayırmağa əsaslanır. Əgər verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərindən məhsul tərtib etsəniz və sonra verilmiş ədədlərin parçalanmasında mövcud olan bütün ümumi sadə amilləri bu məhsuldan xaric etsəniz, nəticədə alınan məhsul verilmiş ədədlərin ən kiçik ümumi qatına bərabər olacaqdır. .
LCM-i tapmaq üçün göstərilən qayda bərabərlikdən irəli gəlir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Həqiqətən, a və b ədədlərinin hasili a və b ədədlərinin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Öz növbəsində, GCD(a, b) a və b ədədlərinin genişlənmələrində eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir (ədədlərin əsas amillərə genişlənməsindən istifadə edərək GCD-nin tapılması bölməsində təsvir edildiyi kimi).
Bir misal verək. Bilək ki, 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. Bu genişlənmələrin bütün amillərindən hasilini tərtib edək: 2·3·3·5·5·5·7 . İndi bu məhsuldan həm 75 rəqəminin genişlənməsində, həm də 210 rəqəminin genişlənməsində mövcud olan bütün amilləri istisna edirik (bu amillər 3 və 5-dir), onda məhsul 2·3·5·5·7 formasını alacaq. . Bu məhsulun dəyəri 75 və 210-un ən kiçik ümumi qatına bərabərdir, yəni, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Misal.
441 və 700 ədədlərini sadə çarpanlara ayırın və bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapın.
Həll.
441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayıraq:
441=3·3·7·7 və 700=2·2·5·5·7 alırıq.
İndi bu ədədlərin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərdən hasil yaradaq: 2·2·3·3·5·7·7·7. Gəlin bu məhsuldan hər iki genişlənmədə eyni vaxtda mövcud olan bütün amilləri istisna edək (yalnız belə bir amil var - bu 7 rəqəmidir): 2·2·3·3·5·5·7·7. Beləliklə, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Cavab:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Ədədlərin əsas amillərə bölünməsindən istifadə edərək LCM-nin tapılması qaydası bir az fərqli formalaşdırıla bilər. Əgər b ədədinin genişlənməsinin çatışmayan amilləri a ədədinin genişlənməsinin amillərinə əlavə olunarsa, nəticədə alınan məhsulun dəyəri a və b ədədlərinin ən kiçik ortaq qatına bərabər olacaqdır..
Məsələn, eyni 75 və 210 ədədlərini götürək, onların sadə amillərə parçalanmaları aşağıdakı kimidir: 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. 75 rəqəminin genişlənməsindən 3, 5 və 5 faktorlarına 210 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 7 əmsallarını əlavə edirik, qiyməti 2·3·5·5·7 hasilini alırıq. LCM-ə bərabərdir(75, 210).
Misal.
84 və 648-in ən kiçik ortaq qatını tapın.
Həll.
Əvvəlcə 84 və 648 ədədlərinin sadə amillərə parçalanmalarını alırıq. Onlar 84=2·2·3·7 və 648=2·2·2·3·3·3·3 kimi görünürlər. 84 rəqəminin genişlənməsindən 2, 2, 3 və 7 faktorlarına 648 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2, 3, 3 və 3 əmsallarını əlavə edərək 2 2 2 3 3 3 3 3 7 hasilini alırıq, bu da 4 536-ya bərabərdir. Beləliklə, 84 və 648-in arzu olunan ən kiçik ümumi çoxluğu 4,536-dır.
Cavab:
LCM(84,648)=4,536 .
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması
Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu iki ədədin LCM-ni ardıcıl olaraq tapmaqla tapmaq olar. Üç və ya daha çox ədədin LCM-ni tapmağa imkan verən müvafiq teoremi xatırlayaq.
Teorem.
a 1 , a 2 , …, a k müsbət tam ədədləri verilsin, m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ardıcıllıqla hesablanmaqla bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu m k tapılır. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Dörd ədədin ən kiçik ortaq qatını tapmaq nümunəsindən istifadə edərək bu teoremin tətbiqini nəzərdən keçirək.
Misal.
Dörd ədədin LCM-ni tapın 140, 9, 54 və 250.
Həll.
Bu misalda a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Əvvəlcə tapırıq m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(140, 9) təyin edirik, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, buna görə də GCD(140, 9)=1 , haradan GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Yəni m 2 =1 260.
İndi tapırıq m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Onu GCD(1 260, 54) vasitəsilə hesablayaq, onu da Evklid alqoritmi ilə müəyyən edirik: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Onda gcd(1,260, 54)=18, ondan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yəni m 3 =3 780.
Qalan tək şey tapmaqdır m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(3,780, 250) tapırıq: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Beləliklə, GCM(3,780, 250)=10, buradan GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yəni m 4 =94.500.
Beləliklə, orijinal dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu 94.500-dür.
Cavab:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Bir çox hallarda verilmiş ədədlərin sadə faktorlara bölünməsindən istifadə etməklə üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapmaq rahatdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı qaydaya əməl etməlisiniz. Bir neçə ədədin ən kiçik ortaq qatı hasilinə bərabərdir ki, o, aşağıdakı kimi tərtib edilir: ikinci ədədin genişlənməsinin çatışmayan amilləri birinci nömrənin genişlənməsindən bütün amillərə, genişlənməsindən çatışmayan amillərə əlavə olunur. nəticədə çıxan amillərə üçüncü ədəd əlavə edilir və s.
Baş faktorlara ayırma üsulu ilə ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması nümunəsinə baxaq.
Misal.
Beş ədəd 84, 6, 48, 7, 143-ün ən kiçik ortaq qatını tapın.
Həll.
Əvvəlcə bu ədədlərin sadə amillərə parçalanmasını alırıq: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 sadə ədəddir, üst-üstə düşür. onun əsas amillərə parçalanması ilə) və 143=11·13.
Bu ədədlərin LCM-ni tapmaq üçün birinci 84 rəqəminin (onlar 2, 2, 3 və 7-dir) amillərinə ikinci 6 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə etmək lazımdır. 6 rəqəminin parçalanmasında çatışmayan amillər yoxdur, çünki həm 2, həm də 3 ilk 84 rəqəminin parçalanmasında artıq mövcuddur. Sonra, 2, 2, 3 və 7 amillərinə üçüncü 48 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 faktorlarını əlavə edirik, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillər toplusunu alırıq. Növbəti addımda bu çoxluğa çarpanları əlavə etməyə ehtiyac olmayacaq, çünki 7 artıq onun tərkibindədir. Nəhayət, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillərinə 143 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 11 və 13 əmsallarını əlavə edirik. 2·2·2·2·3·7·11·13 hasilini alırıq ki, bu da 48,048-ə bərabərdir.
LCM-nin necə hesablanacağını başa düşmək üçün əvvəlcə "çoxluq" termininin mənasını müəyyənləşdirməlisiniz.
A-nın qatı A-ya qalıqsız bölünən natural ədəddir.Beləliklə, 5-in qatları olan ədədlər 15, 20, 25 və s. hesab edilə bilər.
Müəyyən bir ədədin məhdud sayda bölənləri ola bilər, lakin sonsuz sayda çoxalmalar var.
Natural ədədlərin ümumi çoxluğu, qalıq qoymadan onlara bölünən ədəddir.
Ən kiçik ümumi çoxluğu necə tapmaq olar
Ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) (iki, üç və ya daha çox) bütün bu ədədlərə bölünən ən kiçik natural ədəddir.
LOC tapmaq üçün bir neçə üsuldan istifadə edə bilərsiniz.
Kiçik ədədlər üçün, onların arasında ümumi bir şey tapana qədər bu ədədlərin bütün qatlarını bir sətirdə yazmaq rahatdır. Çoxluqlar böyük K hərfi ilə işarələnir.
Məsələn, 4-ün qatları belə yazıla bilər:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Beləliklə, 4 və 6 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatının 24 rəqəmi olduğunu görə bilərsiniz. Bu qeyd aşağıdakı kimi aparılır:
LCM(4, 6) = 24
İndi hər iki ədəd üçün ümumi amilləri yazın. Bizim versiyamızda iki və beşdir. Ancaq digər hallarda bu rəqəm bir, iki və ya üç rəqəm və ya daha çox ola bilər. Sonra dərəcələrlə işləmək lazımdır. Hər bir amil üçün ən kiçik gücü seçin. Nümunədə ikinci gücə iki, birinciyə beşdir.
Nəhayət, yalnız əldə edilən rəqəmləri çoxaltmaq lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə hər şey son dərəcə sadədir: iki kvadratın beşə vurulması 20-yə bərabərdir. Beləliklə, 20 rəqəmini 60 və 80 üçün ən böyük ümumi bölən adlandırmaq olar.
Mövzu ilə bağlı video
Qeyd
Unutmayın ki, baş amil yalnız 2 bölücü olan bir ədəddir: bir və ədədin özü.
Faydalı məsləhət
Bu üsula əlavə olaraq, Evklid alqoritmindən də istifadə edə bilərsiniz. Onun həndəsi formada təqdim olunan tam təsviri Evklidin “Elementlər” kitabında tapıla bilər.
Əlaqədar məqalə
Təbii kəsrlərin toplanması və çıxılması yalnız onların məxrəci eyni olduqda mümkündür. Onları bir məxrəcə gətirərkən hesablamaları çətinləşdirməmək üçün məxrəclərin ən kiçik ortaq bölənini tapın və hesablamanı aparın.
Sizə lazım olacaq
- - ədədləri sadə amillərə çevirmək bacarığı;
- - kəsrlərlə əməliyyatları yerinə yetirmək bacarığı.
Təlimatlar
Kəsrlərin əlavəsini yazın. Sonra onların ən kiçik ümumi çoxluğunu tapın. Bunun üçün aşağıdakı hərəkətlər ardıcıllığını yerinə yetirin: 1. Sadə ədədlərdəki məxrəclərin hər birini təsəvvür edin (sadə ədəd, yalnız 1-ə və özünə qalıqsız bölünən ədəd, məsələn, 2, 3, 5, 7, s.).2. Dərəcələrini göstərən bütün sadələri qruplaşdırın. 3. Bu ədədlərdə görünən bu sadə amillərin hər birinin ən böyük səlahiyyətlərini seçin. 4. Yazılı səlahiyyətləri çoxaldın.
Məsələn, məxrəci 15, 24 və 36 olan kəsrlərin ortaq məxrəci aşağıdakı kimi hesablana bilən ədəd olacaqdır: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2.Bu ədədlərin bütün sadə bölənlərinin ən böyük dərəcələrini yazın: 2^3 3^2 5=360.
Ümumi məxrəci hər birinə və toplanan kəsrlərin məxrəclərinə bölün. Onların saylarını nəticədə çıxan ədədə vurun. Kəsrin ümumi xəttinin altına ən az ümumi dividend yazın ki, bu da ən aşağı ortaq məxrəcdir. Numeratorda, hər bir payı kəsrin məxrəcinə bölünən ən kiçik ümumi amilin bölünməsi ilə vurmaq nəticəsində yaranan ədədləri əlavə edin. Bütün sayların cəmi və ən aşağı ortaq məxrəcə bölünməsi istədiyiniz ədəd olacaqdır.
Məsələn, 4/15, 7/24 və 11/36 üçün bunu edin. 360 olan ən kiçik ortaq məxrəci tapın. Sonra 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10-u bölün. Birinci kəsrin payı olan 4 rəqəmini 24-ə (4 24=96), 7 rəqəmini 15-ə (7 15=105), 11 rəqəmini 10-a (11 10=110) vurun. Sonra bu ədədləri əlavə edin (96+105+110=301). Nəticəni 4/15+7/24+11/36=301/360 alırıq.
Mənbələr:
- ən kiçik ədədi necə tapmaq olar
Tam ədədlər gündəlik həyatda bir çox tətbiqi olan müxtəlif riyazi ədədlərdir. Qeyri-mənfi tam ədədlər istənilən obyektin sayını, mənfi ədədləri - hava proqnozları haqqında mesajlarda və s. göstərərkən istifadə olunur. GCD və LCM bölmə əməliyyatları ilə əlaqəli tam ədədlərin təbii xüsusiyyətləridir.
Təlimatlar
GCD-ni Evklid alqoritmi və ya ikili metoddan istifadə edərək hesablamaq asandır. Biri sıfır olmayan a və b ədədlərinin gcd-ni təyin etmək üçün Evklid alqoritminə əsasən r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n ədədləri ardıcıllığı mövcuddur ki, burada r_1 bölünmənin qalığına bərabərdir. birinci nömrə ikinci ilə. Ardıcıllığın digər üzvləri isə əvvəlki üzvün əvvəlki birinə bölünməsindən qalanlara bərabərdir və sondan əvvəlki element qalıqsız sonuncuya bölünür.
Riyazi olaraq, ardıcıllıq aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
burada k_i tam ədəddir.
GCD (a, b) = r_n.
Misal.
GCD tapın (36, 120). Evklid alqoritminə görə, 120-dən 36-ya qat olan ədədi çıxarın, bu halda 120 – 36*3 = 12 olur. İndi 120-dən 12-yə qat olan ədədi çıxarın, 120 – 12* alırsınız. 10 = 0. Buna görə də GCD (36, 120) = 12.
GCD tapmaq üçün ikili alqoritm sürüşmə nəzəriyyəsinə əsaslanır. Bu üsula görə, iki ədədin gcd-si aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) hətta a və b üçün
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) cüt a və tək b üçün (əksi GCD (a, b) = GCD (a, b/2) üçün doğrudur)
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) tək a > b üçün
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) tək b > a üçün
Beləliklə, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
İki tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) qalıq qoymadan hər iki orijinal ədədə bölünən ən kiçik tam ədəddir.
LCM GCD istifadə edərək hesablana bilər: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
LCM-i hesablamağın ikinci yolu ədədlərin əsas amillərə kanonik faktorlaşdırılmasıdır:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
burada r_i sadə ədədlər, k_i və m_i isə ≥ 0 tam ədədlərdir.
LCM eyni əsas amillər şəklində təmsil olunur, burada maksimum iki ədəd güc kimi qəbul edilir.
Misal.
LCM-i tapın (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - ən az ümumi çoxluq. Bütün verilmiş ədədləri qalıqsız bölən ədəd.
Məsələn, verilmiş ədədlər 2, 3, 5 olarsa, LCM=2*3*5=30 olar.
Əgər verilmiş ədədlər 2,4,8-dirsə, LCM =8
GCD nədir?
GCD ən böyük ümumi böləndir. Verilmiş ədədlərin hər birini qalıq qoymadan bölmək üçün istifadə edilə bilən ədəd.
Məntiqlidir ki, verilmiş ədədlər sadədirsə, onda gcd birə bərabərdir.
Əgər verilmiş ədədlər 2, 4, 8-dirsə, GCD 2-yə bərabərdir.
Biz bunu ümumi şəkildə təsvir etməyəcəyik, sadəcə olaraq bir nümunə ilə həllini göstərəcəyik.
İki ədəd 126 və 44 verilmişdir. GCD-ni tapın.
Sonra bizə formanın iki ədədi verilərsə
Sonra GCD kimi hesablanır
burada min pn ədədinin bütün səlahiyyətlərinin minimum qiymətidir
və NOC kimi
burada max pn ədədinin bütün güclərinin maksimum dəyəridir
Yuxarıdakı düsturlara baxaraq, verilmiş qiymətlərin ən azı bir cütü arasında nisbətən sadə ədədlər olduqda iki və ya daha çox ədədin gcd-nin birinə bərabər olacağını asanlıqla sübut edə bilərsiniz.
Buna görə də 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 kimi rəqəmlərin gcd-nin nəyə bərabər olması sualına heç nə hesablamadan cavab vermək asandır.
3 və 7 ədədləri kobuddur və buna görə də gcd = 1
Bir nümunəyə baxaq.
24654, 25473 və 954 üç rəqəmi verilmişdir
Hər bir nömrə aşağıdakı amillərə bölünür
Yaxud alternativ formada yazsaq
Yəni bu üç ədədin gcd-si üçə bərabərdir
Yaxşı, LCM-i oxşar şəkildə hesablaya bilərik və bu, bərabərdir
Bizim bot sizə iki, üç və ya on tam ədədlərin GCD və LCM-ni hesablamağa kömək edəcək.
“LCM - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr” bölməsində başladığımız ən kiçik ümumi çoxluq haqqında söhbətə davam edək. Bu mövzuda biz üç və ya daha çox ədəd üçün LCM-ni tapmağın yollarına baxacağıq və mənfi ədədin LCM-ni necə tapmaq sualına baxacağıq.
Yandex.RTB R-A-339285-1
GCD vasitəsilə Ən Az Ümumi Çoxluğun (LCM) Hesablanması
Biz artıq ən kiçik ortaq çoxluq və ən böyük ortaq bölən arasında əlaqə qurmuşuq. İndi gəlin GCD vasitəsilə LCM-i necə təyin edəcəyimizi öyrənək. Əvvəlcə müsbət ədədlər üçün bunu necə edəcəyimizi anlayaq.
Tərif 1
LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) düsturundan istifadə edərək ən böyük ümumi bölən vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğu tapa bilərsiniz.
Misal 1
126 və 70 rəqəmlərinin LCM-ni tapmalısınız.
Həll
a = 126, b = 70 götürək. Ən böyük ümumi bölən LCM (a, b) = a · b vasitəsilə ən kiçik ortaq çoxluğu hesablamaq üçün dəyərləri düsturla əvəz edək: GCD (a, b) .
70 və 126 rəqəmlərinin gcd-sini tapır. Bunun üçün bizə Evklid alqoritmi lazımdır: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, buna görə də GCD (126 , 70) = 14 .
LCM-i hesablayaq: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Cavab: LCM(126, 70) = 630.
Misal 2
68 və 34 rəqəmlərini tapın.
Həll
Bu vəziyyətdə GCD tapmaq çətin deyil, çünki 68 34-ə bölünür. Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayaq: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Cavab: LCM(68, 34) = 68.
Bu misalda a və b müsbət tam ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün qaydadan istifadə etdik: əgər birinci ədəd ikinciyə bölünürsə, həmin ədədlərin LCM-i birinci ədədə bərabər olacaqdır.
Ədədləri əsas amillərə ayırmaqla LCM-nin tapılması
İndi isə nömrələri əsas amillərə ayırmağa əsaslanan LCM-nin tapılma üsuluna baxaq.
Tərif 2
Ən az ümumi çoxluğu tapmaq üçün bir sıra sadə addımları yerinə yetirməliyik:
- LCM-i tapmalı olduğumuz ədədlərin bütün sadə amillərinin hasilini tərtib edirik;
- biz bütün əsas amilləri onların yaranan məhsullarından xaric edirik;
- ümumi sadə amilləri aradan qaldırdıqdan sonra alınan məhsul verilmiş ədədlərin LCM-ə bərabər olacaqdır.
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün bu üsul LCM (a, b) = a · b bərabərliyinə əsaslanır: GCD (a, b). Formula baxsanız, aydın olacaq: a və b ədədlərinin hasili bu iki ədədin parçalanmasında iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Bu halda, iki ədədin gcd-si bu iki ədədin faktorizasiyasında eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir.
Misal 3
Bizdə iki ədəd 75 və 210 var. Onları aşağıdakı kimi faktorlara ayıra bilərik: 75 = 3 5 5 Və 210 = 2 3 5 7. İki orijinal ədədin bütün amillərinin hasilini tərtib etsəniz, alırsınız: 2 3 3 5 5 5 7.
Həm 3, həm də 5 rəqəmləri üçün ümumi olan amilləri istisna etsək, aşağıdakı formanın hasilini alırıq: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu məhsul 75 və 210 nömrələri üçün LCM olacaq.
Misal 4
Rəqəmlərin LCM-ni tapın 441 Və 700 , hər iki ədədi əsas amillərə ayırın.
Həll
Şərtdə verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərini tapaq:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
İki ədəd zəncirini alırıq: 441 = 3 3 7 7 və 700 = 2 2 5 5 7.
Bu ədədlərin parçalanmasında iştirak edən bütün amillərin məhsulu aşağıdakı formada olacaq: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ümumi amilləri tapaq. Bu 7 rəqəmidir. Onu ümumi məhsuldan xaric edək: 2 2 3 3 5 5 7 7. Belə çıxır ki, MOK (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Cavab: LOC(441, 700) = 44,100.
Ədədləri sadə amillərə parçalayaraq LCM-nin tapılması metodunun başqa bir düsturunu verək.
Tərif 3
Əvvəllər biz hər iki rəqəm üçün ümumi olan faktorların ümumi sayından xaric etdik. İndi biz bunu fərqli edəcəyik:
- Gəlin hər iki rəqəmi əsas amillərə ayıraq:
- birinci ədədin sadə amillərinin hasilinə ikinci ədədin çatışmayan amillərini əlavə edin;
- iki ədəddən ibarət istənilən LCM olacaq məhsulu əldə edirik.
Misal 5
Əvvəlki nümunələrdən birində LCM-i axtardığımız 75 və 210 nömrələrinə qayıdaq. Gəlin onları sadə amillərə ayıraq: 75 = 3 5 5 Və 210 = 2 3 5 7. 3, 5 və amillərinin hasilinə 5 75 ədədi çatışmayan amilləri əlavə edir 2 Və 7 nömrə 210. Biz əldə edirik: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Bu, 75 və 210 rəqəmlərinin LCM-idir.
Misal 6
84 və 648 rəqəmlərinin LCM-ni hesablamaq lazımdır.
Həll
Şərtdəki rəqəmləri sadə amillərə ayıraq: 84 = 2 2 3 7 Və 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Məhsula 2, 2, 3 və amillərini əlavə edək 7
ədəd 84 çatışmayan amillər 2, 3, 3 və
3
648 nömrə. Məhsulu alırıq 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu, 84 və 648-in ən kiçik ümumi qatıdır.
Cavab: LCM(84, 648) = 4,536.
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması
Neçə ədədlə məşğul olmağımızdan asılı olmayaraq, hərəkətlərimizin alqoritmi həmişə eyni olacaq: ardıcıl olaraq iki ədədin LCM-ni tapacağıq. Bu hal üçün bir teorem var.
Teorem 1
Tutaq ki, bizdə tam ədədlər var a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu ədədlər ardıcıl olaraq m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesablanmaqla tapılır.
İndi teoremin konkret məsələləri həll etmək üçün necə tətbiq oluna biləcəyinə baxaq.
Misal 7
140, 9, 54 və dörd ədədin ən kiçik ortaq qatını hesablamalısınız 250 .
Həll
Qeydi təqdim edək: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) hesablamaqla başlayaq. 140 və 9 ədədlərinin GCD-sini hesablamaq üçün Evklid alqoritmini tətbiq edək: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Alırıq: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Beləliklə, m 2 = 1,260.
İndi eyni alqoritmdən istifadə edərək hesablayaq m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Hesablamalar zamanı m 3 = 3 780 alırıq.
Sadəcə m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) hesablamalıyıq. Eyni alqoritmə əməl edirik. m 4 = 94 500 alırıq.
Nümunə şərtindən dörd ədədin LCM-i 94500-dir.
Cavab: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Gördüyünüz kimi, hesablamalar sadədir, lakin kifayət qədər əmək tələb edir. Vaxta qənaət etmək üçün başqa yolla gedə bilərsiniz.
Tərif 4
Sizə aşağıdakı hərəkət alqoritmini təklif edirik:
- bütün ədədləri sadə amillərə parçalayırıq;
- birinci ədədin amillərinin hasilinə ikinci ədədin hasilindən çatışmayan amilləri əlavə edirik;
- əvvəlki mərhələdə alınan məhsula üçüncü nömrənin çatışmayan amillərini əlavə edirik və s.;
- nəticədə alınan məhsul şərtdən bütün ədədlərin ən kiçik ümumi qatı olacaqdır.
Misal 8
84, 6, 48, 7, 143 beş rəqəminin LCM-ni tapmalısınız.
Həll
Gəlin bütün beş ədədi sadə çarpanlara ayıraq: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Sadə ədədlər, yəni 7 rəqəmi sadə amillərə aid edilə bilməz. Belə ədədlər onların əsas amillərə parçalanması ilə üst-üstə düşür.
İndi 84 ədədinin 2, 2, 3 və 7 sadə amillərinin hasilini götürək və onlara ikinci ədədin çatışmayan çarpanlarını əlavə edək. 6 rəqəmini 2 və 3-ə böldük. Bu amillər artıq birinci nömrənin hasilindədir. Buna görə də biz onları buraxırıq.
Çatışmayan çarpanları əlavə etməyə davam edirik. Baş amillərinin hasilindən 2 və 2-ni aldığımız 48 rəqəminə keçək. Sonra dördüncü ədəddən 7-nin sadə amilini və beşinci ədədin 11 və 13-ün amillərini əlavə edirik. Alırıq: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Bu, ilkin beş ədədin ən kiçik ümumi çoxluğudur.
Cavab: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatının tapılması
Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün əvvəlcə bu ədədlər əks işarəli ədədlərlə əvəz edilməli, sonra isə yuxarıda göstərilən alqoritmlərdən istifadə etməklə hesablamalar aparılmalıdır.
Misal 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) və LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Əgər biz bunu qəbul etsək, belə hərəkətlərə icazə verilir a Və − a- əks nömrələr,
sonra ədədin qatlarının çoxluğu aədədin qatlarının çoxluğuna uyğun gəlir − a.
Misal 10
Mənfi ədədlərin LCM-ni hesablamaq lazımdır − 145 Və − 45 .
Həll
Nömrələri əvəz edək − 145 Və − 45 onların əks nömrələrinə 145 Və 45 . İndi alqoritmdən istifadə edərək, əvvəllər Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD-ni təyin edərək LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 hesablayırıq.
Alırıq ki, ədədlərin LCM-i - 145 və − 45 bərabərdir 1 305 .
Cavab: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın