Розглянемо три способи знаходження найменшого загального кратного.
Знаходження шляхом розкладання на множники
Перший спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.
Допустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:
Щоб число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб до нього входили всі прості множники цих дільників. Для цього нам необхідно взяти всі прості множники цих чисел найбільшою мірою, що зустрічається, і перемножити їх між собою:
2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13860. Ніяке інше число менше 13860 не ділиться націло на 99, на 30 і на 28.
Щоб знайти найменше загальне кратне даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник із найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, та перемножити ці множники між собою.
Оскільки взаємно прості числа немає загальних простих множників, їх найменше загальне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 та 33 – взаємно прості. Тому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32340.
Так само треба робити, коли знаходиться найменше загальне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Знаходження шляхом підбору
Другий спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом підбору.
Приклад 1. Коли найбільше з цих чисел ділиться націло інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому їх. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 та 6. Кожне з них ділиться націло на 60, отже:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В інших випадках, щоб знайти найменше загальне кратне, використовується наступний порядок дій:
- Визначаємо найбільше з даних чисел.
- Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його на натуральні числа в порядку їх зростання і перевіряючи чи діляться на отриманий твір інші дані числа.
Приклад 2. Дано три числа 24, 3 і 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 і 3:
24 · 1 = 24 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 2 = 48 – ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 3 = 72 - ділиться на 3 та на 18.
Отже, НОК (24, 3, 18) = 72.
Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК
Третій спосіб полягає у знаходженні найменшого загального кратного шляхом послідовного знаходження НОК.
НОК двох цих чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного з їхньої найбільший спільний дільник.
Приклад 1. Знайдемо НОК двох даних чисел: 12 та 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:
Ділимо твір на їхній НОД:
Отже, НОК (12, 8) = 24.
Щоб знайти НОК трьох чи більше чисел використовується наступний порядок дій:
- Спочатку знаходять НОК якихось двох із цих чисел.
- Потім НОК знайденого найменшого загального кратного і третього даного числа.
- Потім НОК отриманого найменшого загального кратного і четвертого числа і т.д.
- Таким чином, пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.
Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 та 9. НОК чисел 12 та 8 ми вже знайшли у попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше загальне кратне числа 24 та третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НОД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:
Ділимо твір на їхній НОД:
Отже, НОК (12, 8, 9) = 72.
Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК та НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), та особливу увагу приділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на звичайні множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількості чисел, а також приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.
Навігація на сторінці.
Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД
Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) . Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.
приклад.
Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .
Рішення.
У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто спочатку нам належить знайти найбільший спільний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.
Знайдемо НОД (126, 70), використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56, 70 = 56 · 1 +14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126, 70) = 14 .
Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК(126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .
Відповідь:
НОК (126, 70) = 630 .
приклад.
Чому дорівнює НОК(68, 34)?
Рішення.
Так як 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34:34 = 68 .
Відповідь:
НОК(68, 34) = 68 .
Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b, то найменше загальне кратне цих чисел дорівнює a.
Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники
Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий добуток дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .
Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладах чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).
Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо добуток із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладі числа 75 і в розкладі числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7. Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто, НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050.
приклад.
Розклавши числа 441 і 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.
Рішення.
Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:
Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладах даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладах (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Відповідь:
НОК(441, 700) = 44100 .
Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b.
Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2 · 3 · 5 · 5 · 7 , значення якого дорівнює НОК (75, 210) .
приклад.
Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .
Рішення.
Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2 , 2 , 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо множники 2 , 3 , 3 і 3 з розкладання числа 648 , що відсутні , отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7 , який дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .
Відповідь:
НОК(84, 648) = 4536 .
Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел
Найменше загальне кратне трьох чи більшої кількості чисел може бути знайдено через послідовне перебування НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.
Теорема.
Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … , m k =НОК(m k−1 , a k) .
Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.
приклад.
Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .
Рішення.
У цьому прикладі a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Спочатку знаходимо m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9). Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .
Тепер знаходимо m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54). Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3 . Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .
Залишилось знайти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250). Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500 . Тобто, m 4 = 94500 .
Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .
Відповідь:
НОК(140, 9, 54, 250) = 94500.
У багатьох випадках найменша загальна кратність трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне кількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються відсутні множники з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі.
Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного із використанням розкладання чисел на прості множники.
приклад.
Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Рішення.
Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 (7 - просте число , воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .
Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2, 2, 3 і 7) потрібно додати відсутні множники з розкладання другого числа 6. Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 , що відсутні , з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 міститься в ньому. Нарешті, до множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 11 і 13 з розкладання числа 143 . Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .
Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".
Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.
Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.
Загальне кратне натуральних чисел – число, яке ділиться на них без залишку.
Як знайти найменше загальне кратне чисел
Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на ці цифри націло.
Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.
Для невеликих чисел зручно виписати в рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають у записі великою літерою До.
Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:
До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
До (6) = (12, 18, 24, ...)
Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:
НОК (4, 6) = 24
Тепер випишіть спільні для обох чисел множники. У нашому варіанті – це два та п'ять. Однак в інших випадках це число може бути одне, два або три цифри і навіть більше. Далі потрібно попрацювати зі ступенями. Виберіть найменший рівень у кожного з множників. У прикладі це два у другому ступені та п'ять у першому.
На завершення просто потрібно перемножити цифри. У нашому випадку все дуже просто: два в квадраті, помножене на п'ять, дорівнює 20. Таким чином, число 20 можна назвати найбільшим спільним дільником для 60 і 80.
Відео на тему
Зверніть увагу
Пам'ятайте, що простим множником є число, яке має лише 2 дільники: одиниця і саме це число.
Корисна порада
Крім цього методу можна також користуватися алгоритмом Евкліда. Повний його опис, представлений у геометричній формі, можна знайти у книзі Евкліда "Початку".
Пов'язана стаття
Додавання та віднімання натуральних дробів можливе тільки в тому випадку, коли вони мають однаковий знаменник. Щоб не ускладнювати розрахунки при наведенні їх єдиному знаменнику, знайдіть найменший спільний дільник знаменників і робіть розрахунок.
Вам знадобиться
- - Вміння розкладати число на прості множники;
- - Вміння робити дії з дробами.
Інструкція
Запишіть по додаванню дробів. Потім знайдіть їх найменше загальне кратне. Для цього зробіть наступну послідовність дій: 1. Уявіть кожен із знаменників у простих чисел (просте число, число, яке без залишку ділиться тільки на 1 і саме себе, наприклад 2, 3, 5, 7 і т.д.).2. Згрупуйте всі прості , які виписані, вказавши їх ступеня. 3. Виберіть найбільший ступінь кожного з цих простих множників, які зустрічаються в цих числах. 4. Перемножте виписані ступені.
Наприклад, загальним знаменником для дробів із знаменниками 15, 24 та 36 буде число, яке розрахуйте таким чином: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2.Впишіть найбільші ступені всіх простих дільників цих чисел: 2^3 3^2 5=360.
Поділіть спільний знаменник на кожен і знаменників дробів, що складаються. На число, що вийшло, помножте їх чисельники. Під загальною рисою дробу напишіть найменше спільне ділене, яке є найменшим загальним знаменником. У чисельнику складіть числа, які вийшли в результаті множення кожного чисельника на приватне найменшого загального поділюваного на знаменник дробу. Сума всіх чисельників і поділена на найменший спільний знаменник і буде потрібним числом.
Наприклад, щоб 4/15, 7/24 та 11/36 зробите так. Знайдіть найменший загальний знаменник, який дорівнює 360. Потім поділіть 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Число 4, яке є чисельником першого дробу, помножте на 24 (4 24 = 96), число 7 на 15 (7 15 = 105), число 11 на 10 (11 10 = 110). Потім складіть ці числа (96+105+110=301). Отримаємо результат 4/15+7/24+11/36=301/360.
Джерела:
- як знайти найменше число
Цілі числа – безліч математичних чисел, що мають велике застосування у повсякденному житті. Невід'ємні цілі числа використовуються при вказівці кількості будь-яких об'єктів, негативні числа - у повідомленнях про прогноз погоди та ін. НОД та НОК – це натуральні характеристики цілих чисел, пов'язані з операціями поділу.
Інструкція
НОД легко обчислити за алгоритмом Евкліда чи бінарним методом. За алгоритмом Евкліда визначення НОД чисел a та b, одне з яких не нулю, існує така послідовність чисел r_1 > r_2 > r_3 > … > r_n, в якій r_1 дорівнює залишку від розподілу першого числа на друге. Інші члени послідовності рівні залишкам від поділу попереднього члена на попередній, а передостанній елемент ділиться на останній без залишку.
Математично послідовність можна представити у вигляді:
a = b * k_0 + r_1
b = r_1 * k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
де k_i - цілочисельний множник.
НОД (a, b) = r_n.
приклад.
Знайдіть НОД (36, 120). За алгоритмом Евкліда відніміть від 120 число, кратне 36, у разі це 120 – 36*3 = 12. Тепер відніміть від 120 число, кратне 12, вийде 120 – 12*10 = 0. Отже, НОД (36, 120) = 12.
Бінарний алгоритм знаходження НОД заснований на теорії зсуву. Відповідно до цього методу НОД двох чисел має такі властивості:
НОД (a, b) = 2*НОД (a/2, b/2) для парних a і b
НОД (a, b) = НОД (a/2, b) для парного a і непарного b (навпаки правильно НОД (a, b) = НОД (a, b/2))
НОД (a, b) = НОД ((a - b)/2, b) для непарних a > b
НОД (a, b) = НОД ((b - a)/2, a) для непарних b > a
Таким чином, НОД (36, 120) = 2 * НОД (18, 60) = 4 * НОД (9, 30) = 4 * НОД (9, 15) = 4 * НОД ((15 - 9)/2 = 3 , 9) = 4 * 3 = 12.
Найменше загальне кратне (НОК) двох цілих чисел - це найменше ціле число, яке ділиться на обидва вихідні числа без залишку.
НОК можна визначити через НОД: НОК (a, b) = |a*b|/НОД (a, b).
Другий спосіб обчислення НОК - канонічне розкладання чисел на прості множники:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
де r_i – прості числа, а k_i та m_i – цілі числа ≥ 0.
НОК представляється у вигляді тих самих простих множників, де в якості ступенів беруться максимальні з двох чисел.
приклад.
Знайдіть НОК (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
НОК (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
НОК – найменше загальне кратне. Таке число, яке без залишку буде ділиться всі задані числа.
Наприклад, якщо задані числа 2, 3, 5, то НОК = 2 * 3 * 5 = 30
Якщо задані числа 2,4,8, то НОК =8
що таке НОД?
НОД – найбільший спільний дільник. Таке число, яким можна поділити кожне із заданих чисел, без залишку.
Логічно що якщо задані числа будуть простими, то НОД дорівнює одиниці.
А якщо задані числа 2, 4, 8, то НОД дорівнює 2.
Розписувати його загалом не будемо, а просто покажемо рішення на прикладі.
Задано два числа 126 і 44. Знайти НОД.
Тоді якщо нам дано два числа виду
То НОД вираховується як
де min - мінімальне значення всіх значень ступенів числа pn
а НОК як
де max - максимальне значення зі всіх значень ступенів числа pn
Дивлячись на наведені вище формули, можна легко довести що НОД двох і більше чисел дорівнюватиме одиниці, тоді коли серед хоча б однієї пари заданих значень, виявляться взаємно прості числа.
Тому легко відповісти на запитання чому дорівнює НОД таких чисел 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 нічого не обчислюючи.
числа 3 і 7 взаємно прості, отже НОД=1
Розглянемо приклад.
Дано три числа 24654, 25473 та 954
Кожне число розкладається у наступні множники
Або якщо ми запишемо в альтернативному вигляді
Тобто НОД цих трьох чисел дорівнює трьом
Ну а НОК можемо вирахувати аналогічно, і він дорівнює
Наш бот допоможе Вам обчислити НОД і НОК будь-яких цілих чисел, двох, трьох або десяти.
Продовжимо розмову про найменше спільне кратне, яке ми розпочали у розділі «НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади». У цій темі ми розглянемо способи знаходження НОК для трьох чисел і більше, розберемо питання, як знайти НОК негативного числа.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД
Ми вже встановили зв'язок найменшого загального кратного із найбільшим спільним дільником. Тепер навчимося визначати НОК через НОД. Спочатку розберемося, як це робити для позитивних чисел.
Визначення 1
Знайти найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник можна за формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Приклад 1
Необхідно знайти НОК чисел 126 та 70 .
Рішення
Приймемо a = 126, b = 70. Підставимо значення у формулу обчислення найменшого загального кратного через найбільший спільний дільник НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Знайде НОД чисел 70 та 126 . Для цього нам знадобиться алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56, 70 = 56 · 1 + 14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126 , 70) = 14 .
Обчислимо НОК: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.
Відповідь:НОК (126, 70) = 630 .
Приклад 2
Знайдіть число 68 і 34 .
Рішення
НОД у разі нейти нескладно, оскільки 68 ділиться на 34 . Обчислимо найменше загальне кратне за формулою: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.
Відповідь:НОК (68, 34) = 68 .
У цьому прикладі ми використовували правило знаходження найменшого загального кратного для цілих позитивних чисел a і b: якщо перше число ділиться на друге, що НОК цих чисел дорівнюватиме першому числу.
Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники
Тепер давайте розглянемо спосіб знаходження НОК, який ґрунтується на розкладанні чисел на прості множники.
Визначення 2
Для знаходження найменшого загального кратного нам знадобиться виконати низку нескладних дій:
- складаємо добуток всіх простих множників чисел, для яких нам потрібно знайти НОК;
- виключаємо їх отриманих творів усі прості множники;
- отриманий після виключення загальних простих множників твір дорівнюватиме НОК даних чисел.
Цей спосіб знаходження найменшого загального кратного заснований на рівні НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Якщо подивитися на формулу, то стане зрозуміло: добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, які беруть участь у розкладанні цих двох чисел. При цьому НОД двох чисел дорівнює добутку всіх простих множників, які одночасно присутні в розкладах на множники цих двох чисел.
Приклад 3
У нас є два числа 75 та 210 . Ми можемо розкласти їх на множники так: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Якщо скласти добуток всіх множників двох вихідних чисел, то вийде: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.
Якщо виключити загальні для обох чисел множники 3 і 5 ми отримаємо твір наступного виду: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050. Цей твір буде нашим НОК для чисел 75 і 210 .
Приклад 4
Знайдіть НОК чисел 441 і 700 , розклавши обидва числа на прості множники
Рішення
Знайдемо всі прості множники чисел, даних за умови:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Отримуємо два ланцюжки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Добуток усіх множників, які брали участь у розкладанні даних чисел, матиме вигляд: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Знайдемо спільні множники. Це число 7. Виключимо його із загального твору: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Виходить, що НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Відповідь:НОК (441, 700) = 44 100 .
Дамо ще одне формулювання методу знаходження НОК шляхом розкладання чисел на прості множники.
Визначення 3
Раніше ми виключали з усієї кількості множників спільні для обох чисел. Тепер ми зробимо інакше:
- розкладемо обидва числа на прості множники:
- додамо до твору простих множників першого числа відсутні множники другого числа;
- отримаємо твір, який і буде шуканий НОК двох чисел.
Приклад 5
Повернемося до числа 75 і 210, для яких ми вже шукали НОК в одному з попередніх прикладів. Розкладемо їх на прості множники: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До твору множників 3 , 5 5 числа 75 додамо відсутні множники 2 і 7 числа 210 . Отримуємо: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Це і є НОК чисел 75 та 210 .
Приклад 6
Необхідно обчислити НОК чисел 84 та 648 .
Рішення
Розкладемо числа із умови на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Додамо до твору множників 2 , 2 , 3 7
числа 84 множники 2 , 3 , 3 і
3
числа 648 . Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .Це і є найменше загальне кратне чисел 84 і 648.
Відповідь:НОК (84, 648) = 4536.
Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел
Незалежно від того, з якою кількістю чисел ми маємо справу, алгоритм наших дій завжди буде однаковим: ми будемо послідовно знаходити НОК двох чисел. На цей випадок є теорема.
Теорема 1
Припустимо, що ми маємо цілі числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kцих чисел перебуває при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .
Тепер розглянемо, як можна застосовувати теорему на вирішення конкретних завдань.
Приклад 7
Необхідно обчислити найменше загальне кратне чотирьох чисел 140, 9, 54 та 250 .
Рішення
Введемо позначення: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .
Почнемо з того, що обчислимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Застосуємо алгоритм Евкліда для обчислення НОД чисел 140 і 9: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Отримуємо: НОД (140, 9) = 1, НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Отже, m 2 = 1260 .
Тепер обчислимо за тим алгоритмом m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . У результаті обчислень отримуємо m 3 = 3 780 .
Нам залишилося обчислити m4 = НОК (m3, a4) = НОК (3780, 250). Діємо за тим самим алгоритмом. Отримуємо m 4 = 94500 .
НОК чотирьох чисел із умови прикладу дорівнює 94500 .
Відповідь:НОК (140, 9, 54, 250) = 94500.
Як бачите, обчислення виходять нескладними, але досить трудомісткими. Щоб заощадити час, можна йти іншим шляхом.
Визначення 4
Пропонуємо вам наступний алгоритм дій:
- розкладаємо всі числа на прості множники;
- до твору множників першого числа додаємо множники, що відсутні, з твору другого числа;
- до отриманого на попередньому етапі твору додаємо множники третього числа, що бракують, і т.д.;
- отриманий твір буде найменшим загальним кратним усіх чисел з умови.
Приклад 8
Необхідно знайти НОК п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Рішення
Розкладемо всі п'ять чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13 . Прості числа, яким є число 7 на прості множники не розкладаються. Такі числа збігаються зі своїми розкладанням на прості множники.
Тепер візьмемо добуток простих множників 2 , 2 , 3 і 7 числа 84 і додамо до них множники другого числа. Ми розклали число 6 на 2 та 3 . Ці множники вже є у творі першого числа. Отже, їх опускаємо.
Продовжуємо додавати відсутні множники. Переходимо до 48 , з добутку простих множників якого беремо 2 і 2 . Потім додаємо простий множник 7 від четвертого числа та множники 11 і 13 п'ятого. Отримуємо: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Це і є найменша загальна кратність п'яти вихідних чисел.
Відповідь:НОК (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел
Для того, щоб знайти найменше загальне кратне негативних чисел, ці числа необхідно спочатку замінити на числа з протилежним знаком, а потім провести обчислення за наведеними вище алгоритмами.
Приклад 9
НОК (54, -34) = НОК (54, 34), а НОК (-622, -46, -54, -888) = НОК (622, 46, 54, 888).
Такі дії допустимі у зв'язку з тим, що якщо прийняти, що aі − a- Протилежні числа,
то безліч кратних числа aзбігається з безліччю кратних числа − a.
Приклад 10
Необхідно обчислити НОК негативних чисел − 145 і − 45 .
Рішення
Зробимо заміну чисел − 145 і − 45 на протилежні їм числа 145 і 45 . Тепер за алгоритмом обчислимо НОК (145, 45) = 145 · 45: НОД (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1305, попередньо визначивши НОД за алгоритмом Евкліда.
Отримаємо, що НОК чисел – 145 та − 45 одно 1 305 .
Відповідь:НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter