Абсолютну і відносну похибку використовують для оцінки неточності у розрахунках з високою складністю. Також вони використовуються у різних вимірах та для округлення результатів обчислень. Розглянемо, як визначити абсолютну та відносну похибку.
Абсолютна похибка
Абсолютною похибкою числаназивають різницю між цим числом та його точним значенням.
Розглянемо приклад
: у школі навчається 374 учні Якщо округлити це число до 400, то абсолютна похибка виміру дорівнює 400-374=26.
Для підрахунку абсолютної похибки необхідно з більшої кількості віднімати менше.
Існує формула абсолютної похибки. Позначимо точне число буквою А, а буквою а – наближення до точного числа. Наближене число – це число, яке трохи відрізняється від точного і зазвичай замінює їх у обчисленнях. Тоді формула буде виглядати так:
Δа=А-а. Як знайти абсолютну похибку за формулою, ми розглянули вище.
Насправді абсолютної похибки недостатньо для точної оцінки виміру. Рідко, коли можна точно знати значення вимірюваної величини, щоб розрахувати абсолютну похибку. Вимірюючи книгу в 20 см завдовжки і припустившись похибки в 1 см, можна вважати вимір з великою помилкою. Але якщо похибка в 1 см була допущена при вимірі стіни 20 метрів, цей вимір можна вважати максимально точним. Тому на практиці важливіше значення має визначення відносної похибки виміру.
Записують абсолютну похибку числа за допомогою знак ±. Наприклад , Довжина рулону шпалер становить 30 м ± 3 см. Кордон абсолютної похибки називають граничною абсолютною похибкою.
Відносна погрішність
Відносною похибкоюназивають ставлення абсолютної похибки числа до цього числа. Щоб розрахувати відносну похибку у прикладі з учнями, розділимо 26 на 374. Отримаємо число 0,0695, переведемо у відсотки та отримаємо 6%. Відносну похибку позначають відсотками, оскільки це безрозмірна величина. Відносна похибка – це точна оцінка помилки вимірів. Якщо взяти абсолютну похибку в 1 см при вимірі довжини відрізків 10 см і 10 м, то відносні похибки відповідно дорівнюють 10% і 0,1%. Для відрізка довжиною 10 см похибка 1см дуже велика, це помилка в 10%. А для десятиметрового відрізка 1 см не має значення лише 0,1%.
Розрізняють систематичні та випадкові похибки. Систематичною називають ту похибку, що залишається незмінною при повторних вимірах. Випадкова похибка виникає в результаті на процес вимірювання зовнішніх факторів і може змінювати своє значення.
Правила підрахунку похибок
Для номінальної оцінки похибок є кілька правил:
- при складанні та відніманні чисел необхідно складати їх абсолютні похибки;
- при розподілі та множенні чисел потрібно скласти відносні похибки;
- при зведенні в ступінь відносну похибку множать показник ступеня.
Наближені та точні числа записуються за допомогою десяткових дробів. Береться лише середнє значення, оскільки точне може бути нескінченно довгим. Щоб зрозуміти, як записувати ці числа, необхідно дізнатися про вірні та сумнівні цифри.
Вірними називаються такі цифри, розряд яких перевершує абсолютну похибку числа. Якщо ж розряд цифри менший за абсолютну похибку, вона називається сумнівною. Наприклад для дробу 3,6714 з похибкою 0,002 вірними будуть цифри 3,6,7, а сумнівними – 1 і 4. У записі наближеного числа залишають лише вірні цифри. Дроб у цьому випадку виглядатиме таким чином – 3,67.
Що ми дізналися?
Абсолютні та відносні похибки використовуються для оцінки точності вимірювань. Абсолютною похибкою називають різницю між точним та наближеним числом. Відносна похибка – це відношення абсолютної похибки числа до числа. Насправді використовують відносну похибку, оскільки є більш точної.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.2. Усього отримано оцінок: 603.
Здрастуйте, форумчани! Хочу запитати всіх щодо формули для визначення гранично допустимої похибки визначення площі ЗУ. Щодо похибки крапок багато написано, а ось з приводу похибки площі дуже мало.В даний момент, через те, що немає затверджених формул, у всіх програмах, в яких працюють кадастрові інженери, використовуються дві формули... - одна з "метод. рекомендацій щодо проведення межування" , виглядає як - ΔР= 3,5 Mt √Р
друга з "Інструкція з межування земель" (утв. Роскомземом 08.04.1996), ніяк не виходить коректно її написати, але Ви зрозуміли...хочу обговорити використання формули №1 з метод.рекомендацій. ΔР= 3,5 Mt √Р
Якщо чесно, на свій сором, я ніколи не вдивлялася і не розбирала ці формули досконально, залишаючи це на совісті розробників ПЗ, тобто. вважає похибку - програма ..... а ось зараз, після переїзду в інше місто, обставини змусили.Ви чудово знаєте, що бувають випадки (і часто) коли у розпорядженні, ухвалі тощо. стоїть одна площа, а фактично (через обставини) трохи відрізняється, прошу не плутати з 10% тощо збільшенням при уточненні.
Завжди, за замовчуванням використала першу формулу, і для мене стало несподіванкою зауваження місцевої КП – "а чому у Вас під знаком кореня стоїть фактична площа?". Я спочатку, звичайно, захотіла обуритися, але потім вирішила все-таки почитати теоретичну частину, з'ясувала - звідки ноги ростуть ... і як КП права ... У вихіднику, тобто. Метод.рекомендаціях дається цілком зрозуміле розшифрування допустимої похибки. І головне - те, що використовується під знаком кореня документальна площа з дозволів.
Я написала розробникам ПЗ, з проханням коментарів з цього моменту, так ось - їх позиція коротко - "під коренем має бути фактична площа, бо це випливає з 921 наказу..."
"Формули, застосовані для розрахунку граничної припустимої похибки визначення площі земельних ділянок (частин земельних ділянок) (), вказуються у межовому плані з підставленими у дані формули значеннями та результатами обчислень." І начебто теж логічно.Але не зовсім логічно, що в іншій формулі з інструкції використовується фактична площа. Ну не може ж бути такого... Я звичайно не математик, але якщо хочеш отримати результат обчислень, формули можуть бути різними, але вихідники то ні...
Так ось панове і дами - я чудово знаю, поки немає НПА, єдиної думки бути не може, але все-таки! у кого вважається ця формула в ПО??? я вже навіть не заїкаюся про те, як правильно... використанням під коренем фактичної чи дозвільної площі?
Я вже в колег, які працюють в іншому програмному питанні поцікавилася, з'ясувалося, що вони вважають формула точно по метод.рекомендациям, тобто. виходячи з їхньої дозвільної площі, значить хто в ліс - хто по дрова...
А то у мене зараз невелика вилка - кадастрова махає пальцем і загрожує "не приймемо", у програмі я змінити нічого не можу, розробники відстоюють свою позицію.. а у мене щось з аргументацією туго.
Я звичайно спробую зробити межове з використанням другої формули, ось тільки боюся, що КП за аналогією не почне вимагати і там площу з дозвільних.
Невід'ємною частиною будь-якого виміру є похибка вимірів. З розвитком приладобудування та методик вимірювань людство прагнутиме знизити вплив даного явища на кінцевий результат вимірювань. Пропоную детальніше розібратися в питанні, що це таке похибка вимірювань.
Похибка вимірювання– це відхилення результату виміру від справжнього значення вимірюваної величини. Похибка вимірів є сумою похибок, кожна з яких має свою причину.
За формою числового виразу похибки вимірювань поділяються на абсолютніі відносні
- Це похибка, виражена в одиницях вимірюваної величини. Вона визначається виразом.
(1.2), де X - результат виміру; Х 0 - Справжнє значення цієї величини.
Оскільки справжнє значення вимірюваної величини залишається невідомим, на практиці користуються лише наближеною оцінкою абсолютної похибки вимірювання, що визначається виразом
(1.3), де Х д - дійсне значення цієї вимірюваної величини, яке з похибкою її визначення приймають за справжнє значення.
- Це відношення абсолютної похибки вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини:
За закономірністю появи похибки вимірювання поділяються на систематичні, прогресуючі,і випадкові.
Систематична похибка– це похибка вимірювання, що залишається постійною чи закономірно змінюється при повторних вимірах однієї й тієї величини.
Прогресуюча похибка- Це непередбачувана похибка, що повільно змінюється в часі.
Систематичніі прогресуючіпохибки засобів вимірювань викликаються:
- перші – похибкою градуювання шкали або її невеликим зрушенням;
- другі - старінням елементів засобу виміру.
Систематична похибка залишається постійною чи закономірно змінюється при багаторазових вимірах однієї й тієї величини. Особливість систематичної похибки у тому, що може бути повністю усунуто запровадженням поправок. Особливістю прогресуючих похибок є те, що вони можуть бути скориговані лише зараз. Вони потребують безперервної корекції.
Випадкова похибка– це похибка виміру змінюється випадковим чином. При повторних вимірах однієї й тієї величини. Випадкові похибки можна виявити лише за багаторазових вимірах. На відміну від систематичних похибок, випадкові не можна усунути з результатів вимірювань.
За походженням розрізняють інструментальніі методичніпохибки засобів вимірів.
Інструментальні похибки- це похибки, викликані особливостями властивостей засобів вимірів. Вони виникають унаслідок недостатньо високої якості елементів засобів вимірів. До цих похибок можна віднести виготовлення та збирання елементів засобів вимірювань; похибки через тертя в механізмі приладу, недостатню жорсткість його елементів і деталей та ін. Підкреслимо, що інструментальна похибка індивідуальна для кожного засобу вимірювань.
Методична похибка- це похибка засобу виміру, що виникає через недосконалість методу виміру, неточності співвідношення, що використовується для оцінки величини, що вимірюється.
Похибки засобів вимірів.
– це різницю між номінальним її значенням і істинним (дійсним) значенням відтворюваної нею величини:
(1.5), де X н – номінальне значення міри; Х д – дійсне значення міри
– це різниця між показанням приладу та істинним (дійсним) значенням вимірюваної величини:
(1.6), де X п – показання приладу; Х д – дійсне значення вимірюваної величини.
– це відношення абсолютної похибки міри чи вимірювального приладу до істинного
(дійсному) значення відтворюваної або вимірюваної величини. Відносна похибка міри або вимірювального приладу може бути виражена (%).
(1.7)
- Відношення похибки вимірювального приладу до нормуючого значення. Нормують значення XN – це умовно прийняте значення, що дорівнює або верхній межі вимірювань, або діапазону вимірювань, або довжині шкали. Наведена похибка зазвичай виявляється у (%).
(1.8)
Межа допустимої похибки засобів вимірювань- Найбільша без урахування знака похибка засобу вимірювань, при якій вона може бути визнана та допущена до застосування. Дане визначення застосовують до основної та додаткової похибки, а також до варіації показань. Оскільки властивості засобів вимірювань залежать від зовнішніх умов, їх похибки також залежать від цих умов, тому похибки засобів вимірювань прийнято поділяти на основніі додаткові.
Основна– це похибка засобу вимірювань, що використовується в нормальних умовах, які зазвичай визначені в нормативно-технічних документах на засіб вимірювання.
Додаткова- Це зміна похибки засобу вимірювань внаслідок відхилення величин, що впливають від нормальних значень.
Похибки засобів вимірювань поділяються також на статичніі динамічні.
Статична– це похибка засобу вимірів, використовуваного вимірювання постійної величини. Якщо величина, що вимірюється, є функцією часу, то внаслідок інерційності засобів вимірювань виникає складова загальної похибки, називається динамічноїпохибкою засобів вимірів.
Також існують систематичніі випадковіпохибки засобів вимірів вони аналогічні з такими ж похибками вимірів.
Чинники, що впливають на похибку вимірювань.
Похибки виникають з різних причин: це можуть бути помилки експериментатора або помилки через застосування приладу за призначенням і т.д. Існує ряд понять, які визначають фактори, що впливають на похибку вимірювань
Варіація показань приладу- це найбільша різниця показань отриманих при прямому і зворотному ході при тому самому дійсному значенні вимірюваної величини і незмінних зовнішніх умовах.
Клас точності приладу– це узагальнена характеристика засобів вимірювань (приладу), яка визначається межами основних і додаткових похибок, що допускаються, а також іншими властивостями засобів вимірювань, що впливають на точність, значення якої встановлюються на окремі види засобів вимірювань.
Класи точності приладу встановлюють під час випуску, градуюючи його за зразковим приладом у нормальних умовах.
Прецизійність— показує, наскільки точно чи чітко можна зробити відлік. Вона визначається, наскільки близькі один до одного результати двох ідентичних вимірювань.
Дозвіл приладу- Це найменша зміна вимірюваного значення, на яке прилад реагуватиме.
Діапазон приладу- Визначається мінімальним і максимальним значенням вхідного сигналу, для якого він призначений.
Смуга пропускання приладу- це різниця між мінімальною та максимальною частотою, для яких він призначений.
Чутливість приладу- Визначається, як відношення вихідного сигналу або показання приладу до вхідного сигналу або вимірюваної величини.
Шуми- Будь-який сигнал не несе корисної інформації.
Похибка є однією з найважливіших метрологічних характеристик засобу вимірювання (технічного засобу, призначеного для вимірювання). Вона відповідає різниці між показаннями засобу вимірювань та істинним значенням вимірюваної величини. Чим менша похибка, тим більш точним вважається засіб вимірювань, тим вища його якість. Найбільше можливе значення похибки для певного типу засобів вимірювань за певних умов (наприклад, у заданому діапазоні значень вимірюваної величини) називається межею похибки, що допускається. Зазвичай встановлюють межі похибки, що допускається, тобто. нижню та верхню межі інтервалу, за які не повинна виходити похибка.
Як самі похибки, і їх межі, прийнято висловлювати у вигляді абсолютних, відносних чи наведених похибок. Конкретна форма вибирається залежно від характеру зміни похибок в межах діапазону вимірювань, а також умов застосування та призначення засобів вимірювань. Абсолютну похибку вказують на одиницях вимірюваної величини, а відносну і наведену - зазвичай у відсотках. Відносна похибка може характеризувати якість засобу виміру набагато точніше, ніж наведена, про що буде розказано далі докладніше.
Зв'язок між абсолютною (Δ), відносною (δ) і наведеною (γ) похибками визначається за формулами:
де X - значення вимірюваної величини, X N - нормує значення, виражене в тих самих одиницях, що і Δ. Критерії вибору нормуючого значення X N встановлюються ГОСТ 8.401-80 залежно від властивостей засобу вимірювань, і зазвичай воно має дорівнювати межі вимірювань (X K), тобто.
Межі похибок, що допускаються, рекомендується виражати у формі наведених у випадку, якщо межі похибок можна вважати практично незмінними в межах діапазону вимірювань (наприклад, для стрілочних аналогових вольтметрів, коли межі похибки визначаються в залежності від ціни поділу шкали, незалежно від значення вимірюваної напруги). В іншому випадку рекомендується виражати межі похибок, що допускаються у формі відносних згідно з ГОСТ 8.401-80.
Однак на практиці вираз меж допусканих похибок у формі наведених похибок помилково використовується у випадках, коли межі похибок ніяк не можна вважати незмінними в межах діапазону вимірів. Це або вводить користувачів в оману (коли вони не розуміють, що задана таким чином у відсотках похибка вважається не від вимірюваної величини), або істотно обмежує сферу застосування засобу вимірювань, т.к. формально в цьому випадку похибка по відношенню до вимірюваної величини зростає, наприклад, десять разів, якщо вимірювана величина становить 0,1 від межі вимірювань.
Вираз меж допусканих похибок у формі відносних похибок дозволяє досить точно врахувати реальну залежність меж похибок від значення вимірюваної величини під час використання формули виду
δ = ±
де з і d – коефіцієнти, d При цьому в точці X=X k межі допустимої відносної похибки, розраховані за формулою (4), збігатимуться з межами допустимої наведеної похибки У точках X Δ 1 =δ·X=·X Δ 2 =γ·Х K = c·X k Тобто. у великому діапазоні значень вимірюваної величини може бути забезпечена набагато більш висока точність вимірювань, якщо нормувати не межі приведеної похибки, що допускається за формулою (5), а межі допускається відносної похибки за формулою (4). Це означає, наприклад, що для вимірювального перетворювача на основі АЦП з великою розрядністю і великим динамічним діапазоном сигналу вираз межі похибки у формі відносної адекватніше описує реальні межі похибки перетворювача, порівняно з наведеною формою. Ця термінологія широко використовується при описі метрологічних характеристик різних засобів вимірювання, наприклад, перелічених нижче виробництва ТОВ "Л Кард": Модуль АЦП/ЦАП Вибір вимірювальних засобів за допустимою При виборі вимірювальних засобів та методів контролю виробів враховують сукупність метрологічних, експлуатаційних та економічних показників. До метрологічних показників належать: допустима похибка вимірювального приладу-інструменту; ціна розподілу шкали; поріг чутливості; межі вимірювання та ін. До експлуатаційних та економічних показників відносяться: вартість та надійність вимірювальних засобів; тривалість роботи (до ремонту); час, що витрачається на налаштування та процес вимірювання; маса, габаритні розміри та робоче навантаження. 3.6.3.1. Вибір вимірювальних засобів контролю розмірів На рис. 3.3 показані криві розподілу розмірів деталей (у тих) та похибок вимірювання (у мет) з центрами, що збігаються з межами допуску. В результаті накладання кривих у мет і у тих відбувається спотворення кривої розподілу у(s тих, s мет), з'являються області ймовірностей ті п,що обумовлюють вихід розміру за кордон допуску на величину з. Отже, що точніше технологічний процес (менше ставлення IT/D мет), то менше неправильно прийнятих деталей проти неправильно забракованими. Вирішальним фактором є допустима похибка вимірювального засобу, що випливає зі стандартизованого визначення дійсного розміру як і розміру, одержуваного в результаті вимірювання з допустимою похибкою. Похибки вимірювання, що допускаються d ізм при приймальному контролі на лінійні розміри до 500 мм встановлюються ГОСТом 8.051, які становлять 35-20% від допуску виготовлення деталі IT. За цим стандартом передбачені найбільші похибки вимірювання, що допускаються, що включають похибки від засобів вимірювань, настановних заходів, температурних деформацій, вимірювального зусилля, базування деталі. Допустима похибка вимірювання d ізм складається з випадкової і неврахованої систематичної складових похибки. При цьому випадкова складова похибки приймається рівною 2s і не повинна перевищувати 0,6 від похибки вимірювання dзм. У ГОСТ 8.051 похибка задана для одноразового спостереження. Випадкова складова похибки може бути значно зменшена рахунок багаторазових спостережень, у яких вона зменшується у раз, де n - число спостережень. При цьому за дійсний розмір приймається середньоарифметичне із серії проведених спостережень. При арбітражної повторної перевірки деталей похибка вимірювання не повинна перевищувати 30% межі похибки, що допускається при прийманні. можна припустити при вимірі: вони включають випадкові і невраховані систематичні похибки вимірювання, всі складові, що залежать від вимірювальних засобів, настановних заходів, температурних деформацій, базування і т. д. Випадкова похибка вимірювання не повинна перевищувати 0,6 від допустимої похибки вимірювання та приймається рівною 2s, де s-значення середнього квадратичного відхилення похибки вимірювання. При допусках, що не відповідають значенням, зазначеним у ГОСТі 8.051 – 81 та ГОСТі 8.050 - 73, допустиму похибку вибирають за найближчим меншим значенням допуску для відповідного розміру. Вплив похибок виміру при приймальному контролі за лінійними розмірами оцінюється параметрами: т-частина виміряних деталей, що мають розміри, що виходять за граничні розміри, прийнята в числі придатних (неправильно прийняті); п -частина деталей, що мають розміри, що не перевищують граничних розмірів, забраковані (неправильно забраковані); з-імовірнісна гранична величина виходу розміру за граничні розміри у неправильно прийнятих деталей. Значення параметрів т, п, спри розподілі контрольованих розмірів за законом наведено на рис. 3.4, 3.5 та 3.6. Мал. 3.4. Графік визначення параметра m
Для визначення тз іншою довірчою ймовірністю необхідно змістити початок координат по осі ординат. Криві графіків (суцільні та пунктирні) відповідають певному значенню відносної похибки вимірювання, що дорівнює де s – середнє квадратичне відхилення похибки вимірювання; ІТ-допуск контрольованого розміру. При визначенні параметрів т, пі зрекомендується приймати А мет(s) = 16% для квалітетів 2-7, А мет(s) =12% - для квалітетів 8, 9, А мет(s) = 10% - для кваліфіків 10 і грубіше. для одного кордону, а для іншої - , де a Т -систематична похибка виготовлення. При визначенні параметрів mі nкожної кордону береться половина одержуваних значень. Можливі граничні значення параметрів т, пі з/ІТ, що відповідають екстремальним значенням кривих (на рис. 3.4 - 3.6), наведено в табл.3.5. Таблиця 3.5 Перші значення ті пвідповідають розподілу похибок вимірювання за нормальним законом, другі-за законом рівної ймовірності. Граничні значення параметрів т, пі з/ІТ враховують вплив лише випадкової складової похибки виміру. ГОСТ 8.051-81 передбачає два способи встановлення приймальних кордонів. Перший спосіб. Приймальні межі встановлюють збігаються з граничними розмірами (рис. 3.7, а
). приклад.При проектуванні валу діаметром 100 мм оцінено, що відхилення його розмірів умов експлуатації повинні відповідати h6(100- 0,022). Відповідно до ГОСТу 8.051 - 81 встановлюють, що для розміру валу 100 мм і допуску IТ=0,022 мм допускається похибка вимірювання d ізм = 0,006 мм. Відповідно до табл. 3.5 встановлюють, що для A мет (s) = 16% та невідомої точності технологічного процесу m= 5,0 та з= 0,25IТ, т. е. серед придатних деталей може бути до 5,0 % неправильно прийнятих деталей з граничними відхиленнями +0,0055 і -0,0275 мм.
Використання термінології
16/32 каналів, 16 біт, 2 МГц, USB, Ethernetу тих
n
6s тих
c
c
IT
y мет
2D мет
2D мет
у(s тих; s мет)
n
m
m
Параметри т, пі знаведено на графіках залежно від значення IT/s тих, де s тих - середнє відхилення похибки виготовлення. Параметри m, nі здано при симетричному розташуванні поля допуску щодо центру групування контрольованих деталей. Для визначається m, nі зпри спільному впливі систематичної та випадкової похибок виготовлення користуються тими ж графіками, але замість значення IT/s тих приймається A мет (s) m
n
c/IT A мет (s) m
n
c/IT
1,60
0,37-0,39
0,70-0,75
0,01
10,0
3,10-3,50
4,50-4,75
0,14
3,0
0,87-0,90
1,20-1,30
0,03
12,0
3,75-4,11
5,40-5,80
0,17
5,0
1,60-1,70
2,00-2,25
0,06
16,0
5,00-5,40
7,80-8,25
0,25
8,0
2,60-2,80
3,40-3,70
0,10
+d змін
-d змін
+d змін
-d змін
+d змін
-d змін
+d змін
-d змін
+d змін
-d змін
+d змін
d змін /2 з
-d змін