Le të shohim tre mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët.
Gjetja me faktorizim
Metoda e parë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë.
Le të themi se duhet të gjejmë LCM-në e numrave: 99, 30 dhe 28. Për ta bërë këtë, le të faktorizojmë secilin nga këta numra në faktorë të thjeshtë:
Që numri i dëshiruar të jetë i pjesëtueshëm me 99, 30 dhe 28, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të përfshijë të gjithë faktorët kryesorë të këtyre pjesëtuesve. Për ta bërë këtë, ne duhet t'i marrim të gjithë faktorët kryesorë të këtyre numrave në fuqinë më të madhe të mundshme dhe t'i shumëzojmë së bashku:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
Kështu, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Asnjë numër tjetër më i vogël se 13,860 nuk është i pjesëtueshëm me 99, 30 ose 28.
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë, i faktorizoni në faktorët e tyre të thjeshtë, më pas merrni secilin faktor kryesor me eksponentin më të madh në të cilin shfaqet dhe shumëzoni këta faktorë së bashku.
Meqenëse numrat relativisht të thjeshtë nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave. Për shembull, tre numra: 20, 49 dhe 33 janë relativisht të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
E njëjta gjë duhet bërë kur të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të ndryshëm të thjeshtë. Për shembull, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Gjetja me përzgjedhje
Metoda e dytë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët me përzgjedhje.
Shembulli 1. Kur më i madhi i numrave të dhënë pjesëtohet me një numër tjetër të dhënë, atëherë LCM e këtyre numrave është e barabartë me më të madhin prej tyre. Për shembull, jepen katër numra: 60, 30, 10 dhe 6. Secili prej tyre pjesëtohet me 60, pra:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Në raste të tjera, për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, përdoret procedura e mëposhtme:
- Përcaktoni numrin më të madh nga numrat e dhënë.
- Më pas, gjejmë numrat që janë shumëfisha të numrit më të madh duke e shumëzuar atë me numra natyrorë në rend rritës dhe duke kontrolluar nëse produkti që rezulton është i pjesëtueshëm me numrat e dhënë të mbetur.
Shembulli 2. Jepen tre numra 24, 3 dhe 18. Ne përcaktojmë më të madhin prej tyre - ky është numri 24. Më pas, gjejmë numrat që janë shumëfish të 24, duke kontrolluar nëse secili prej tyre është i pjesëtueshëm me 18 dhe 3:
24 · 1 = 24 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.
24 · 2 = 48 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.
24 · 3 = 72 - ndahet me 3 dhe 18.
Kështu, LCM (24, 3, 18) = 72.
Gjetja duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM
Metoda e tretë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM.
LCM e dy numrave të dhënë është e barabartë me produktin e këtyre numrave të pjesëtuar me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët.
Shembulli 1. Gjeni LCM-në e dy numrave të dhënë: 12 dhe 8. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (12, 8) = 4. Shumëzoni këta numra:
Ne e ndajmë produktin me gcd-në e tyre:
Kështu, LCM (12, 8) = 24.
Për të gjetur LCM-në e tre ose më shumë numrave, përdorni procedurën e mëposhtme:
- Së pari, gjeni LCM-në e çdo dy prej këtyre numrave.
- Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët të gjetur dhe numrit të tretë të dhënë.
- Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët që rezulton dhe numri i katërt, etj.
- Kështu, kërkimi për LCM vazhdon për aq kohë sa ka numra.
Shembulli 2. Le të gjejmë LCM-në e tre numrave të dhënë: 12, 8 dhe 9. Ne kemi gjetur tashmë LCM-në e numrave 12 dhe 8 në shembullin e mëparshëm (ky është numri 24). Mbetet për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrit 24 dhe numrit të tretë të dhënë - 9. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (24, 9) = 3. Shumëzoni LCM me numrin 9:
Ne e ndajmë produktin me gcd-në e tyre:
Kështu, LCM (12, 8, 9) = 72.
Materiali i paraqitur më poshtë është një vazhdim logjik i teorisë nga artikulli me titull LCM - shumëfishi më pak i zakonshëm, përkufizimi, shembuj, lidhja midis LCM dhe GCD. Këtu do të flasim për gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM), dhe vëmendje të veçantë do t'i kushtojmë zgjidhjes së shembujve. Së pari, ne do të tregojmë se si llogaritet LCM e dy numrave duke përdorur GCD të këtyre numrave. Më pas, do të shqyrtojmë gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në gjetjen e LCM të tre ose më shumë numrave, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje llogaritjes së LCM të numrave negativë.
Navigimi i faqes.
Llogaritja e shumëfishit më të vogël të zakonshëm (LCM) nëpërmjet GCD
Një mënyrë për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në marrëdhënien midis LCM dhe GCD. Lidhja ekzistuese midis LCM dhe GCD na lejon të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të plotë pozitivë përmes një pjesëtuesi të përbashkët më të madh të njohur. Formula përkatëse është LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Le të shohim shembuj të gjetjes së LCM duke përdorur formulën e dhënë.
Shembull.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave 126 dhe 70.
Zgjidhje.
Në këtë shembull a=126 , b=70 . Le të përdorim lidhjen midis LCM dhe GCD, të shprehur me formulë LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Kjo do të thotë, së pari duhet të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 70 dhe 126, pas së cilës mund të llogarisim LCM-në e këtyre numrave duke përdorur formulën e shkruar.
Le të gjejmë GCD(126, 70) duke përdorur algoritmin Euklidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, pra, GCD(126, 70)=14.
Tani gjejmë shumëfishin më të vogël të zakonshëm të kërkuar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Përgjigje:
LCM(126, 70)=630 .
Shembull.
Me çfarë është e barabartë LCM(68, 34)?
Zgjidhje.
Sepse 68 pjesëtohet me 34, pastaj GCD(68, 34)=34. Tani ne llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Përgjigje:
LCM(68, 34)=68 .
Vini re se shembulli i mëparshëm i përshtatet rregullit të mëposhtëm për gjetjen e LCM për numrat e plotë pozitivë a dhe b: nëse numri a është i pjesëtueshëm me b, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është a.
Gjetja e LCM duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë
Një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë. Nëse kompozoni një produkt nga të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë, dhe më pas përjashtoni nga ky produkt të gjithë faktorët e thjeshtë të zakonshëm të pranishëm në zbërthimin e numrave të dhënë, atëherë produkti që rezulton do të jetë i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë. .
Rregulli i deklaruar për gjetjen e LCM rrjedh nga barazia LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Në të vërtetë, prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të përfshirë në zgjerimin e numrave a dhe b. Nga ana tjetër, GCD(a, b) është e barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të pranishëm në të njëjtën kohë në zgjerimet e numrave a dhe b (siç përshkruhet në seksionin për gjetjen e GCD duke përdorur zgjerimin e numrave në faktorë të thjeshtë).
Le të japim një shembull. Na tregoni se 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Të përpilojmë prodhimin nga të gjithë faktorët e këtyre zgjerimeve: 2·3·3·5·5·5·7 . Tani nga ky produkt përjashtojmë të gjithë faktorët e pranishëm si në zgjerimin e numrit 75 ashtu edhe në zgjerimin e numrit 210 (këta faktorë janë 3 dhe 5), atëherë prodhimi do të marrë formën 2·3·5·5·7. . Vlera e këtij produkti është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të 75 dhe 210, d.m.th. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Shembull.
Faktoroni numrat 441 dhe 700 në faktorë të thjeshtë dhe gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.
Zgjidhje.
Le të faktorizojmë numrat 441 dhe 700 në faktorët kryesorë:
Marrim 441=3·3·7·7 dhe 700=2·2·5·5·7.
Tani le të krijojmë një produkt nga të gjithë faktorët e përfshirë në zgjerimin e këtyre numrave: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Le të përjashtojmë nga ky produkt të gjithë faktorët që janë njëkohësisht të pranishëm në të dy zgjerimet (ka vetëm një faktor i tillë - ky është numri 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Kështu, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Përgjigje:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Rregulli për gjetjen e LCM duke përdorur faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë mund të formulohet pak më ndryshe. Nëse faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit b u shtohen faktorëve nga zgjerimi i numrit a, atëherë vlera e produktit që rezulton do të jetë e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave a dhe b..
Për shembull, le të marrim të njëjtët numra 75 dhe 210, zbërthimet e tyre në faktorë të thjeshtë janë si më poshtë: 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Faktorëve 3, 5 dhe 5 nga zgjerimi i numrit 75 u shtojmë faktorët 2 dhe 7 që mungojnë nga zgjerimi i numrit 210, fitojmë prodhimin 2·3·5·5·7, vlera e të cilit është e barabartë me LCM(75, 210).
Shembull.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 84 dhe 648.
Zgjidhje.
Fillimisht marrim zbërthimin e numrave 84 dhe 648 në faktorë të thjeshtë. Ato duken si 84=2·2·3·7 dhe 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 nga zgjerimi i numrit 84 u shtojmë faktorët që mungojnë 2, 3, 3 dhe 3 nga zgjerimi i numrit 648, fitojmë prodhimin 2 2 2 3 3 3 3 7, që është e barabartë me 4 536 . Kështu, shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar i 84 dhe 648 është 4,536.
Përgjigje:
LCM(84, 648)=4,536.
Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave
Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave mund të gjendet duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Le të kujtojmë teoremën përkatëse, e cila jep një mënyrë për të gjetur LCM të tre ose më shumë numrave.
Teorema.
Le të jepen numrat e plotë pozitiv a 1 , a 2 , …, a k, shumëfishi më i vogël i përbashkët m k i këtyre numrave gjendet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2, a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Le të shqyrtojmë zbatimin e kësaj teoreme duke përdorur shembullin e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët të katër numrave.
Shembull.
Gjeni LCM-në e katër numrave 140, 9, 54 dhe 250.
Zgjidhje.
Në këtë shembull, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Së pari ne gjejmë m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Për ta bërë këtë, duke përdorur algoritmin Euklidian, përcaktojmë GCD(140, 9), kemi 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prandaj, GCD(140, 9)=1, nga ku GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Kjo është, m 2 = 1 260.
Tani ne gjejmë m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Le ta llogarisim atë përmes GCD(1 260, 54), të cilin e përcaktojmë gjithashtu duke përdorur algoritmin Euklidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Pastaj gcd(1,260, 54)=18, nga e cila gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Kjo do të thotë, m 3 = 3 780.
Gjithçka që mbetet është të gjendet m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Për ta bërë këtë, gjejmë GCD(3,780, 250) duke përdorur algoritmin Euklidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prandaj, GCM(3,780, 250)=10, prej nga GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Domethënë m 4 =94.500.
Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave origjinalë është 94,500.
Përgjigje:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Në shumë raste, është e përshtatshme të gjesh shumëfishin më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave duke përdorur faktorizimin e thjeshtë të numrave të dhënë. Në këtë rast, duhet t'i përmbaheni rregullit të mëposhtëm. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave është i barabartë me produktin, i cili përbëhet si më poshtë: faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë u shtohen të gjithë faktorëve nga zgjerimi i numrit të parë, faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numri i tretë u shtohet faktorëve që rezultojnë, e kështu me radhë.
Le të shohim një shembull të gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përdorur faktorizimin e thjeshtë.
Shembull.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të pesë numrave 84, 6, 48, 7, 143.
Zgjidhje.
Së pari, marrim zbërthimin e këtyre numrave në faktorë të thjeshtë: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 është numër i thjeshtë, përkon me zbërthimin e tij në faktorë të thjeshtë) dhe 143=11·13.
Për të gjetur LCM-në e këtyre numrave, në faktorët e numrit të parë 84 (ata janë 2, 2, 3 dhe 7), duhet të shtoni faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë 6. Zbërthimi i numrit 6 nuk përmban faktorë që mungojnë, pasi edhe 2 edhe 3 janë tashmë të pranishëm në zbërthimin e numrit të parë 84. Më tej, faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 shtojmë faktorët 2 dhe 2 që mungojnë nga zgjerimi i numrit të tretë 48, marrim një grup faktorësh 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7. Nuk do të ketë nevojë të shtoni shumëzues në këtë grup në hapin tjetër, pasi 7 është tashmë i përfshirë në të. Së fundi, faktorëve 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7 u shtojmë faktorët që mungojnë 11 dhe 13 nga zgjerimi i numrit 143. Marrim produktin 2·2·2·2·3·7·11·13, i cili është i barabartë me 48,048.
Për të kuptuar se si të llogaritni LCM, së pari duhet të përcaktoni kuptimin e termit "shumë".
Një shumëfish i A është një numër natyror që plotpjesëtohet me A pa mbetje. Kështu, numrat që janë shumëfish të 5 mund të konsiderohen 15, 20, 25, etj.
Mund të ketë një numër të kufizuar pjesëtuesish të një numri të caktuar, por ka një numër të pafund shumëfishësh.
Një shumëfish i përbashkët i numrave natyrorë është një numër që pjesëtohet me ta pa lënë mbetje.
Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave
Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave (dy, tre ose më shumë) është numri natyror më i vogël që është i pjesëtueshëm me të gjithë këta numra.
Për të gjetur LOC, mund të përdorni disa metoda.
Për numrat e vegjël, është e përshtatshme të shkruani të gjithë shumëfishat e këtyre numrave në një rresht derisa të gjeni diçka të përbashkët midis tyre. Shumëfishat shënohen me shkronjën e madhe K.
Për shembull, shumëfishat e 4 mund të shkruhen si kjo:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Kështu, mund të shihni se shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 4 dhe 6 është numri 24. Ky shënim bëhet si më poshtë:
LCM(4, 6) = 24
Tani shkruani faktorët e përbashkët për të dy numrat. Në versionin tonë është dy dhe pesë. Megjithatë, në raste të tjera ky numër mund të jetë një, dy ose tre shifror ose edhe më shumë. Më pas duhet të punoni me diploma. Zgjidhni fuqinë më të vogël për secilin faktor. Në shembull është dy për fuqinë e dytë dhe pesë për të parën.
Më në fund, ju vetëm duhet të shumëzoni numrat që rezultojnë. Në rastin tonë, gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë: dy në katror të shumëzuar me pesë janë të barabartë me 20. Kështu, numri 20 mund të quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët për 60 dhe 80.
Video mbi temën
shënim
Mos harroni se një faktor i thjeshtë është një numër që ka vetëm 2 pjesëtues: një dhe vetë numrin.
Këshilla të dobishme
Përveç kësaj metode, mund të përdorni edhe algoritmin Euklidian. Përshkrimi i plotë i tij, i paraqitur në formë gjeometrike, gjendet në librin e Euklidit "Elementet".
Artikull i lidhur
Mbledhja dhe zbritja e thyesave natyrore është e mundur vetëm nëse kanë të njëjtin emërues. Për të mos i ndërlikuar llogaritjet kur i sjellni në një emërues të vetëm, gjeni pjesëtuesin më të vogël të përbashkët të emëruesve dhe kryeni llogaritjen.
Do t'ju duhet
- - aftësia për të faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë;
- - aftësia për të kryer veprime me thyesa.
Udhëzimet
Shkruani mbledhjen e thyesave. Pastaj, gjeni shumëfishin e tyre më të vogël të përbashkët. Për ta bërë këtë, kryeni sekuencën e mëposhtme të veprimeve: 1. Imagjinoni secilin prej emërtuesve në numrat e thjeshtë (një numër i thjeshtë, një numër që pjesëtohet vetëm me 1 dhe me veten pa mbetje, për shembull 2, 3, 5, 7, etj).2. Gruponi të gjitha të thjeshtat që janë shkruar, duke treguar shkallët e tyre. 3. Zgjidhni fuqitë më të mëdha të secilit prej këtyre faktorëve kryesorë që shfaqen në këta numra. 4. Shumëzoni fuqitë e shkruara.
Për shembull, emëruesi i përbashkët për thyesat me emërues 15, 24 dhe 36 do të jetë një numër që mund të llogaritet si më poshtë: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Shkruani fuqitë më të mëdha të të gjithë pjesëtuesve të thjeshtë të këtyre numrave: 2^3 3^2 5=360.
Ndani emëruesin e përbashkët me secilin dhe emëruesit e thyesave që mblidhen. Shumëzoni numëruesit e tyre me numrin që rezulton. Nën vijën e përbashkët të thyesës, shkruani dividentin më të vogël të përbashkët, i cili është edhe emëruesi më i ulët i përbashkët. Në numërues, shtoni numrat që rezultojnë nga shumëzimi i secilit numërues me herësin e faktorit më të vogël të përbashkët të pjesëtuar me emëruesin e thyesës. Shuma e të gjithë numëruesve dhe pjesëtuar me emëruesin më të ulët të përbashkët do të jetë numri i dëshiruar.
Për shembull, për 4/15, 7/24 dhe 11/36 bëni këtë. Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët, që është 360. Më pas pjesëtoni 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Shumëzojmë numrin 4, që është numëruesi i thyesës së parë, me 24 (4 24=96), numrin 7 me 15 (7 15=105), numrin 11 me 10 (11 10=110). Pastaj shtoni këta numra (96+105+110=301). Marrim rezultatin 4/15+7/24+11/36=301/360.
Burimet:
- si të gjeni numrin më të vogël
Numrat e plotë janë një shumëllojshmëri numrash matematikorë që kanë shumë zbatime në jetën e përditshme. Numrat e plotë jo-negativë përdoren kur tregojnë numrin e çdo objekti, numrat negativ - në mesazhet për parashikimet e motit, etj. GCD dhe LCM janë karakteristika natyrore të numrave të plotë që lidhen me operacionet e ndarjes.
Udhëzimet
GCD është e lehtë për t'u llogaritur duke përdorur algoritmin Euklidian ose metodën binare. Sipas algoritmit të Euklidit për përcaktimin e gcd të numrave a dhe b, njëri prej të cilëve nuk është zero, ekziston një sekuencë numrash r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, në të cilën r_1 është e barabartë me pjesën e mbetur të pjesëtimit. numri i parë nga i dyti. Dhe anëtarët e tjerë të sekuencës janë të barabartë me mbetjet nga pjesëtimi i anëtarit të mëparshëm me atë të mëparshëm, dhe elementi i parafundit ndahet me atë të fundit pa mbetje.
Matematikisht, sekuenca mund të përfaqësohet si:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
ku k_i është një faktor numër i plotë.
GCD (a, b) = r_n.
Shembull.
Gjeni GCD (36, 120). Sipas algoritmit Euklidian, zbrisni nga 120 një numër që është shumëfish i 36, në këtë rast është 120 – 36*3 = 12. Tani zbrisni një numër që është shumëfish i 12 nga 120, merrni 120 – 12* 10 = 0. Prandaj, GCD (36, 120) = 12.
Algoritmi binar për gjetjen e GCD bazohet në teorinë e ndërrimit. Sipas kësaj metode, gcd e dy numrave ka vetitë e mëposhtme:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) për çift a dhe b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) për a çift dhe tek b (e kundërta është e vërtetë për GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) për tek a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) për tek b > a
Kështu, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3, 9) = 4*3 = 12.
Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i dy numrave të plotë është numri i plotë më i vogël që pjesëtohet me të dy numrat origjinalë pa lënë mbetje.
LCM mund të llogaritet duke përdorur GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Mënyra e dytë për të llogaritur LCM është faktorizimi kanonik i numrave në faktorë të thjeshtë:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
ku r_i janë numra të thjeshtë, dhe k_i dhe m_i janë numra të plotë ≥ 0.
LCM përfaqësohet në formën e të njëjtëve faktorë të thjeshtë, ku maksimumi i dy numrave merret si fuqi.
Shembull.
Gjeni LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - shumëfishi më pak i zakonshëm. Një numër që do të ndajë të gjithë numrat e dhënë pa mbetje.
Për shembull, nëse numrat e dhënë janë 2, 3, 5, atëherë LCM=2*3*5=30
Dhe nëse numrat e dhënë janë 2,4,8, atëherë LCM =8
çfarë është GCD?
GCD është pjesëtuesi më i madh i përbashkët. Një numër që mund të përdoret për të pjesëtuar secilin nga numrat e dhënë pa lënë mbetje.
Është logjike që nëse numrat e dhënë janë të thjeshtë, atëherë gcd është e barabartë me një.
Dhe nëse numrat e dhënë janë 2, 4, 8, atëherë GCD është e barabartë me 2.
Ne nuk do ta përshkruajmë atë në terma të përgjithshëm, por thjesht do të tregojmë zgjidhjen me një shembull.
Jepen dy numra 126 dhe 44. Gjeni GCD.
Atëherë nëse na jepen dy numra të formularit
Pastaj GCD llogaritet si
ku min është vlera minimale e të gjitha fuqive të numrit pn
dhe NOC si
ku max është vlera maksimale e të gjitha fuqive të numrit pn
Duke parë formulat e mësipërme, mund të vërtetoni lehtësisht se gcd e dy ose më shumë numrave do të jetë e barabartë me një, kur midis të paktën një çifti vlerash të dhëna ka numra relativisht të thjeshtë.
Prandaj, është e lehtë t'i përgjigjemi pyetjes se çfarë është e barabartë gcd e numrave të tillë si 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 pa llogaritur asgjë.
numrat 3 dhe 7 janë të dyfishtë, dhe për këtë arsye gcd = 1
Le të shohim një shembull.
Jepen tre numra 24654, 25473 dhe 954
Çdo numër zbërthehet në faktorët e mëposhtëm
Ose, nëse e shkruajmë në një formë alternative
Kjo do të thotë, gcd e këtyre tre numrave është e barabartë me tre
Epo, ne mund të llogarisim LCM në një mënyrë të ngjashme, dhe është e barabartë me
Boti ynë do t'ju ndihmojë të llogaritni GCD dhe LCM të çdo numri të plotë, dy, tre ose dhjetë.
Le të vazhdojmë bisedën për shumëfishin më të vogël të përbashkët, të cilin e filluam në seksionin "LCM - shumëfishi më i vogël i zakonshëm, përkufizimi, shembuj". Në këtë temë, ne do të shqyrtojmë mënyrat për të gjetur LCM për tre ose më shumë numra dhe do të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë LCM të një numri negativ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Llogaritja e shumëfishit më të vogël të zakonshëm (LCM) nëpërmjet GCD
Ne kemi vendosur tashmë marrëdhënien midis shumëfishit më të vogël të përbashkët dhe pjesëtuesit më të madh të përbashkët. Tani le të mësojmë se si të përcaktojmë LCM përmes GCD. Së pari, le të kuptojmë se si ta bëjmë këtë për numrat pozitivë.
Përkufizimi 1
Mund të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët duke përdorur formulën LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Shembulli 1
Duhet të gjeni LCM-në e numrave 126 dhe 70.
Zgjidhje
Le të marrim a = 126, b = 70. Le t'i zëvendësojmë vlerat në formulën për llogaritjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Gjen gcd-në e numrave 70 dhe 126. Për këtë na duhet algoritmi Euklidian: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, pra GCD (126 , 70) = 14 .
Le të llogarisim LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Përgjigje: LCM(126, 70) = 630.
Shembulli 2
Gjeni numrin 68 dhe 34.
Zgjidhje
GCD në këtë rast nuk është e vështirë për t'u gjetur, pasi 68 është i pjesëtueshëm me 34. Le të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët duke përdorur formulën: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Përgjigje: LCM(68, 34) = 68.
Në këtë shembull, kemi përdorur rregullin për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave të plotë pozitiv a dhe b: nëse numri i parë është i pjesëtueshëm me të dytin, LCM e atyre numrave do të jetë e barabartë me numrin e parë.
Gjetja e LCM duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë
Tani le të shohim metodën e gjetjes së LCM, e cila bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë.
Përkufizimi 2
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të kryejmë një numër hapash të thjeshtë:
- ne hartojmë prodhimin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të numrave për të cilët duhet të gjejmë LCM;
- ne përjashtojmë të gjithë faktorët kryesorë nga produktet e tyre që rezultojnë;
- produkti i përftuar pas eliminimit të faktorëve të thjeshtë të zakonshëm do të jetë i barabartë me LCM të numrave të dhënë.
Kjo metodë e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët bazohet në barazinë LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Nëse shikoni formulën, do të bëhet e qartë: prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve që marrin pjesë në zbërthimin e këtyre dy numrave. Në këtë rast, gcd e dy numrave është e barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë që janë njëkohësisht të pranishëm në faktorizimet e këtyre dy numrave.
Shembulli 3
Kemi dy numra 75 dhe 210. Ne mund t'i faktorizojmë ato si më poshtë: 75 = 3 5 5 Dhe 210 = 2 3 5 7. Nëse kompozoni produktin e të gjithë faktorëve të dy numrave origjinalë, ju merrni: 2 3 3 5 5 5 7.
Nëse përjashtojmë faktorët e përbashkët për të dy numrat 3 dhe 5, marrim një produkt të formës së mëposhtme: 2 3 5 5 7 = 1050. Ky produkt do të jetë LCM-ja jonë për numrat 75 dhe 210.
Shembulli 4
Gjeni LCM-në e numrave 441 Dhe 700 , duke faktorizuar të dy numrat në faktorë të thjeshtë.
Zgjidhje
Le të gjejmë të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë në kusht:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Marrim dy zinxhirë numrash: 441 = 3 3 7 7 dhe 700 = 2 2 5 5 7.
Produkti i të gjithë faktorëve që morën pjesë në zbërthimin e këtyre numrave do të ketë formën: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Le të gjejmë faktorë të përbashkët. Ky është numri 7. Le ta përjashtojmë atë nga produkti total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Rezulton se NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Përgjigje: LOC(441, 700) = 44,100.
Le të japim një formulim tjetër të metodës për gjetjen e LCM duke zbërthyer numrat në faktorë të thjeshtë.
Përkufizimi 3
Më parë, ne përjashtuam nga numri i përgjithshëm i faktorëve të përbashkët për të dy numrat. Tani do ta bëjmë ndryshe:
- Le të faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë:
- shtoj në prodhimin e faktorëve të thjeshtë të numrit të parë faktorët që mungojnë të numrit të dytë;
- marrim produktin, i cili do të jetë LCM e dëshiruar e dy numrave.
Shembulli 5
Le të kthehemi te numrat 75 dhe 210, për të cilët kemi kërkuar tashmë LCM në një nga shembujt e mëparshëm. Le t'i ndajmë ato në faktorë të thjeshtë: 75 = 3 5 5 Dhe 210 = 2 3 5 7. Në produktin e faktorëve 3, 5 dhe 5 numrat 75 shtojnë faktorët që mungojnë 2 Dhe 7 numrat 210. Ne marrim: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Kjo është LCM e numrave 75 dhe 210.
Shembulli 6
Është e nevojshme të llogaritet LCM e numrave 84 dhe 648.
Zgjidhje
Le të faktorizojmë numrat nga kushti në faktorë të thjeshtë: 84 = 2 2 3 7 Dhe 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Le t'i shtojmë produktit faktorët 2, 2, 3 dhe 7
numrat 84 faktorët që mungojnë 2, 3, 3 dhe
3
numrat 648. Ne marrim produktin 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ky është shumëfishi më i vogël i zakonshëm i 84 dhe 648.
Përgjigje: LCM(84, 648) = 4,536.
Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave
Pavarësisht se me sa numra kemi të bëjmë, algoritmi i veprimeve tona do të jetë gjithmonë i njëjtë: ne do të gjejmë në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Ekziston një teoremë për këtë rast.
Teorema 1
Le të supozojmë se kemi numra të plotë a 1, a 2, …, a k. NOC m k këta numra gjenden duke llogaritur në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Tani le të shohim se si mund të zbatohet teorema për të zgjidhur probleme specifike.
Shembulli 7
Ju duhet të llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët të katër numrave 140, 9, 54 dhe 250 .
Zgjidhje
Le të prezantojmë shënimin: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Le të fillojmë duke llogaritur m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Le të zbatojmë algoritmin Euklidian për të llogaritur GCD-në e numrave 140 dhe 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Marrim: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Prandaj, m 2 = 1,260.
Tani le të llogarisim duke përdorur të njëjtin algoritëm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Gjatë llogaritjeve marrim m 3 = 3 780.
Thjesht duhet të llogarisim m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Ne ndjekim të njëjtin algoritëm. Ne marrim m 4 = 94 500.
LCM e katër numrave nga kushti i shembullit është 94500.
Përgjigje: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Siç mund ta shihni, llogaritjet janë të thjeshta, por mjaft intensive. Për të kursyer kohë, mund të shkoni në një mënyrë tjetër.
Përkufizimi 4
Ne ju ofrojmë algoritmin e mëposhtëm të veprimeve:
- i zbërthejmë të gjithë numrat në faktorë të thjeshtë;
- prodhimit të faktorëve të numrit të parë i shtojmë faktorët që mungojnë nga prodhimi i numrit të dytë;
- produktit të marrë në fazën e mëparshme i shtojmë faktorët që mungojnë të numrit të tretë etj.;
- produkti që rezulton do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët i të gjithë numrave nga kushti.
Shembulli 8
Ju duhet të gjeni LCM-në e pesë numrave 84, 6, 48, 7, 143.
Zgjidhje
Le të faktorizojmë të pesë numrat në faktorë të thjeshtë: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Numrat e thjeshtë, që është numri 7, nuk mund të faktorizohen në faktorë të thjeshtë. Numra të tillë përkojnë me zbërthimin e tyre në faktorë të thjeshtë.
Tani le të marrim prodhimin e faktorëve të thjeshtë 2, 2, 3 dhe 7 të numrit 84 dhe t'u shtojmë atyre faktorët që mungojnë të numrit të dytë. Ne e zbërthejmë numrin 6 në 2 dhe 3. Këta faktorë janë tashmë në produktin e numrit të parë. Prandaj, ne i anashkalojmë ato.
Vazhdojmë të shtojmë shumëzuesit që mungojnë. Le të kalojmë te numri 48, nga prodhimi i faktorëve kryesorë të të cilit marrim 2 dhe 2. Pastaj shtojmë faktorin e thjeshtë 7 nga numri i katërt dhe faktorët 11 dhe 13 të të pestit. Ne marrim: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ky është shumëfishi më i vogël i përbashkët i pesë numrave origjinalë.
Përgjigje: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave negativë
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave negativë, këta numra duhet së pari të zëvendësohen me numra me shenjën e kundërt, dhe më pas duhet të kryhen llogaritjet duke përdorur algoritmet e mësipërme.
Shembulli 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) dhe LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Veprimet e tilla janë të lejuara për faktin se nëse e pranojmë atë a Dhe − a- numra të kundërt,
atëherë bashkësia e shumëfishave të një numri a përputhet me bashkësinë e shumëfishave të një numri − a.
Shembulli 10
Është e nevojshme të llogaritet LCM e numrave negativë − 145 Dhe − 45 .
Zgjidhje
Le të zëvendësojmë numrat − 145 Dhe − 45 me numrat e tyre të kundërt 145 Dhe 45 . Tani, duke përdorur algoritmin, ne llogarisim LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, pasi kemi përcaktuar më parë GCD duke përdorur algoritmin Euklidian.
Marrim se LCM e numrave është − 145 dhe − 45 barazohet 1 305 .
Përgjigje: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter