Pozrime sa na tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.
Zisťovanie faktorizáciou
Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.
Povedzme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to urobili, rozložme každé z týchto čísel do prvočíselných faktorov:
Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme zobrať všetky prvočísla týchto čísel na najväčšiu možnú silu a vynásobiť ich:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je deliteľné 99, 30 alebo 28.
Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, započítajte ich do ich prvočísel, potom zoberte každý prvočiniteľ s najväčším exponentom, v ktorom sa vyskytuje, a vynásobte tieto faktory spolu.
Keďže relatívne prvočísla nemajú spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú relatívne prvočísla. Preto
LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.
To isté treba urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Hľadanie výberom
Druhý spôsob je nájsť najmenší spoločný násobok výberom.
Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel delené iným daným číslom, potom sa LCM týchto čísel rovná najväčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:
- Určte najväčšie číslo z daných čísel.
- Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla tak, že ho vynásobíme prirodzenými číslami v rastúcom poradí a skontrolujeme, či je výsledný súčin deliteľný zvyšnými danými číslami.
Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určíme najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami 24, pričom skontrolujeme, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:
24 · 1 = 24 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.
24 · 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.
24 · 3 = 72 – deliteľné 3 a 18.
LCM (24, 3, 18) = 72.
Hľadanie postupným hľadaním LCM
Treťou metódou je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.
LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.
Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:
Produkt delíme podľa ich gcd:
LCM (12, 8) = 24.
Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, použite nasledujúci postup:
- Najprv nájdite LCM ľubovoľných dvoch z týchto čísel.
- Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
- Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
- Hľadanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.
Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. Už sme našli LCM čísel 12 a 8 v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok čísla 24 a tretieho daného čísla - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslom 9:
Produkt delíme podľa ich gcd:
LCM (12, 8, 9) = 72.
Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku s názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, spojenie medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), pričom osobitnú pozornosť budeme venovať riešeniu príkladov. Najprv si ukážeme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel pomocou GCD týchto čísel. Ďalej sa pozrieme na nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD
Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúce spojenie medzi LCM a GCD nám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pozrime sa na príklady nájdenia LCM pomocou daného vzorca.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70.
Riešenie.
V tomto príklade a=126, b=70. Použime spojenie medzi LCM a GCD, vyjadrené vzorcom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme pomocou napísaného vzorca vypočítať LCM týchto čísel.
Nájdite GCD(126, 70) pomocou euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, teda GCD(126, 70)=14.
Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126,70:14=630.
odpoveď:
LCM(126,70)=630.
Príklad.
Čomu sa rovná LCM(68, 34)?
Riešenie.
Pretože 68 je deliteľné 34, potom GCD(68, 34)=34. Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68-34:34=68.
odpoveď:
LCM(68,34)=68.
Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla a a b: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.
Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla
Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak poskladáte súčin zo všetkých prvočísel daných čísel a potom z tohto súčinu vylúčite všetky spoločné prvočísla prítomné v rozkladoch daných čísel, výsledný súčin sa bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku daných čísel .
Uvedené pravidlo pre nájdenie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Súčin čísel a a b sa skutočne rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na rozširovaní čísel a a b. Na druhej strane, GCD(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočiniteľov súčasne prítomných v expanziách čísel a a b (ako je popísané v časti o hľadaní GCD pomocou rozšírenia čísel na prvočísla).
Uveďme si príklad. Dajte nám vedieť, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Zostavme súčin zo všetkých faktorov týchto expanzií: 2·3·3·5·5·5·7 . Teraz z tohto súčinu vylúčime všetky faktory prítomné v rozšírení čísla 75 aj rozšírení čísla 210 (tieto faktory sú 3 a 5), potom bude súčin mať tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku 75 a 210, tj. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.
Príklad.
Rozložte čísla 441 a 700 na prvočísla a nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.
Riešenie.
Rozložme čísla 441 a 700 do prvočísel:
Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.
Teraz vytvorme súčin zo všetkých faktorov zahrnutých do rozšírenia týchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. teda LCM(441; 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
odpoveď:
NOC(441,700)= 44100.
Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak sa chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b pripočítajú k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.
Vezmime si napríklad rovnaké čísla 75 a 210, ich rozklad na prvočiniteľ je nasledovný: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2·3·5·5·7, ktorého hodnota je sa rovná LCM(75, 210).
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.
Riešenie.
Najprv získame rozklady čísel 84 a 648 na prvočiniteľa. Vyzerajú ako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K faktorom 2, 2, 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2, 3, 3 a 3 z rozšírenia čísla 648, dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7, čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok 84 a 648 je teda 4 536.
odpoveď:
LCM(84,648)=4,536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si zodpovedajúcu vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.
Veta.
Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme postupným výpočtom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3), …, mk = LCM(mk-1, ak).
Uvažujme o aplikácii tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.
Príklad.
Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.
Riešenie.
V tomto príklade a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Najprv nájdeme m2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140; 9). Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, teda GCD(140, 9)=1, odkiaľ GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140.9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.
Teraz nájdeme m3 = LOC (m2, a3) = LOC (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou GCD(1 260, 54), ktoré určíme aj pomocou euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z čoho gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.
Zostáva len nájsť m4 = LOC(m3, a4) = LOC(3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3,780, 250) pomocou euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Preto GCM(3,780, 250)=10, odkiaľ GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3 780 · 250 : 10 = 94 500. To znamená, m4 = 94 500.
Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.
odpoveď:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
V mnohých prípadoch je vhodné nájsť najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pomocou prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade by ste mali dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým faktorom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce faktory z rozšírenia prvého čísla k výsledným faktorom sa pripočítajú tretie čísla atď.
Pozrime sa na príklad hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou prvočíselného rozkladu.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Riešenie.
Najprv získame rozklady týchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, zhoduje sa s jej rozkladom na prvočiniteľa) a 143=11·13.
Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2, 2, 3 a 7), musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozklade prvého čísla 84. Ďalej k faktorom 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48, dostaneme množinu faktorov 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V ďalšom kroku nebude potrebné do tejto sady pridávať násobiče, keďže 7 je v nej už obsiahnutá. Nakoniec k faktorom 2, 2, 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143. Dostaneme súčin 2·2·2·2·3·7·11·13, čo sa rovná 48 048.
Aby ste pochopili, ako vypočítať LCM, musíte najprv určiť význam pojmu „viacnásobný“.
Násobok A je prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom A. Za čísla, ktoré sú násobkami 5, možno teda považovať 15, 20, 25 atď.
Môže existovať obmedzený počet deliteľov konkrétneho čísla, ale existuje nekonečný počet násobkov.
Spoločný násobok prirodzených čísel je číslo, ktoré je nimi deliteľné bez zanechania zvyšku.
Ako nájsť najmenší spoločný násobok čísel
Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel (dve, tri alebo viac) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné všetkými týmito číslami.
Na nájdenie LOC môžete použiť niekoľko metód.
Pri malých číslach je vhodné zapísať všetky násobky týchto čísel na riadok, kým medzi nimi nenájdete niečo spoločné. Násobky sa označujú veľkým písmenom K.
Napríklad násobky 4 možno zapísať takto:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Môžete teda vidieť, že najmenší spoločný násobok čísel 4 a 6 je číslo 24. Tento zápis sa robí takto:
LCM(4,6) = 24
Teraz zapíšte spoločné faktory pre obe čísla. V našej verzii je to dva a päť. V iných prípadoch však toto číslo môže byť jedno, dve alebo tri číslice alebo dokonca viac. Ďalej musíte pracovať s titulmi. Vyberte najmenší výkon pre každý faktor. V príklade je to dve na druhú mocninu a päť na prvú.
Nakoniec stačí výsledné čísla vynásobiť. V našom prípade je všetko veľmi jednoduché: dve druhé mocniny vynásobené piatimi sa rovnajú 20. Číslo 20 teda možno nazvať najväčším spoločným deliteľom pre 60 a 80.
Video k téme
Poznámka
Pamätajte, že prvočíslo je číslo, ktoré má iba 2 deliteľov: jedničku a samotné číslo.
Užitočné rady
Okrem tejto metódy môžete použiť aj euklidovský algoritmus. Jeho úplný popis, prezentovaný v geometrickej forme, možno nájsť v Euklidovej knihe „Elements“.
Súvisiaci článok
Sčítanie a odčítanie prirodzených zlomkov je možné len vtedy, ak majú rovnakého menovateľa. Aby sa nekomplikovali výpočty pri ich privádzaní do jedného menovateľa, nájdite najmenšieho spoločného deliteľa menovateľov a vykonajte výpočet.
Budete potrebovať
- - schopnosť rozdeliť čísla na prvočísla;
- - schopnosť vykonávať operácie so zlomkami.
Inštrukcie
Zapíšte sčítanie zlomkov. Potom nájdite ich najmenší spoločný násobok. Za týmto účelom vykonajte nasledujúcu postupnosť akcií: 1. Predstavte si každý z menovateľov v prvočíslach (prvočíslo, číslo, ktoré je deliteľné iba 1 a samo sebou bezo zvyšku, napríklad 2, 3, 5, 7, atď.).2. Zoskupte všetky jednoduché, ktoré sú napísané, s uvedením ich stupňov. 3. Vyberte najväčšie mocniny každého z týchto prvočísel, ktoré sa vyskytujú v týchto číslach. 4. Vynásobte zapísané mocniny.
Napríklad spoločným menovateľom zlomkov s menovateľmi 15, 24 a 36 bude číslo, ktoré možno vypočítať takto: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Napíšte najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov týchto čísel: 2^3 3^2 5=360.
Vydeľte spoločného menovateľa každým a menovateľmi sčítaných zlomkov. Vynásobte ich čitateľov výsledným číslom. Pod spoločnú čiaru zlomku napíšte najmenší spoločný deliteľ, ktorý je zároveň najnižším spoločným menovateľom. V čitateli pridajte čísla, ktoré sú výsledkom vynásobenia každého čitateľa podielom najmenšieho spoločného činiteľa deleného menovateľom zlomku. Súčet všetkých čitateľov a delený najnižším spoločným menovateľom bude požadované číslo.
Urobte to napríklad pre 4/15, 7/24 a 11/36. Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa, ktorý je 360. Potom vydeľte 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Vynásobte číslo 4, ktoré je čitateľom prvého zlomku, 24 (4 24=96), číslo 7 15 (7 15=105), číslo 11 10 (11 10=110). Potom pridajte tieto čísla (96+105+110=301). Dostaneme výsledok 4/15+7/24+11/36=301/360.
Zdroje:
- ako nájsť najmenšie číslo
Celé čísla sú rôzne matematické čísla, ktoré majú mnoho aplikácií v každodennom živote. Nezáporné celé čísla sa používajú pri označovaní počtu ľubovoľných objektov, záporných čísel - v správach o predpovedi počasia atď. GCD a LCM sú prirodzené charakteristiky celých čísel spojených s operáciami delenia.
Inštrukcie
GCD sa dá ľahko vypočítať pomocou euklidovského algoritmu alebo binárnej metódy. Podľa Euklidovho algoritmu na určenie gcd čísel a a b, z ktorých jedno nie je nula, existuje postupnosť čísel r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, v ktorej sa r_1 rovná zvyšku delenia. prvé číslo za druhým. A ostatné členy postupnosti sa rovnajú zvyškom z delenia predchádzajúceho člena predchádzajúcim a predposledný prvok sa bezo zvyšku delí posledným.
Matematicky môže byť postupnosť reprezentovaná ako:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
kde k_i je celočíselný faktor.
GCD (a, b) = r_n.
Príklad.
Nájdite GCD (36, 120). Podľa euklidovského algoritmu odpočítajte od 120 číslo, ktoré je násobkom 36, v tomto prípade je to 120 – 36*3 = 12. Teraz odčítajte číslo, ktoré je násobkom 12 od 120, dostanete 120 – 12* 10 = 0. Preto GCD (36, 120) = 12.
Binárny algoritmus na nájdenie GCD je založený na teórii posunu. Podľa tejto metódy má gcd dvoch čísel nasledujúce vlastnosti:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) pre párne a a b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) pre párne a a nepárne b (opak platí pre GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) pre nepárne a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) pre nepárne b > a
Teda gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4 x 3 = 12.
Najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch celých čísel je najmenšie celé číslo, ktoré je deliteľné oboma pôvodnými číslami bez zanechania zvyšku.
LCM možno vypočítať pomocou GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Druhým spôsobom výpočtu LCM je kanonická rozklad čísel na prvočísla:
a = r_1^k_1*...*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
kde r_i sú prvočísla a k_i a m_i sú celé čísla ≥ 0.
LCM je reprezentovaný vo forme rovnakých prvočísel, kde maximálne dve čísla sú brané ako mocniny.
Príklad.
Nájdite LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - najmenší spoločný násobok. Číslo, ktoré rozdelí všetky zadané čísla bezo zvyšku.
Napríklad, ak sú dané čísla 2, 3, 5, potom LCM=2*3*5=30
A ak sú dané čísla 2,4,8, potom LCM =8
čo je GCD?
GCD je najväčší spoločný deliteľ. Číslo, ktoré možno použiť na rozdelenie každého z daných čísel bez zanechania zvyšku.
Je logické, že ak sú dané čísla prvočísla, potom sa gcd rovná jednej.
A ak sú dané čísla 2, 4, 8, potom sa GCD rovná 2.
Nebudeme to opisovať všeobecne, ale jednoducho ukážeme riešenie na príklade.
Sú dané dve čísla 126 a 44. Nájdite GCD.
Potom, ak dostaneme dve čísla formulára
Potom sa GCD vypočíta ako
kde min je minimálna hodnota všetkých mocnín čísla pn
a NOC as
kde max je maximálna hodnota všetkých mocnín čísla pn
Pri pohľade na vyššie uvedené vzorce môžete ľahko dokázať, že gcd dvoch alebo viacerých čísel sa bude rovnať jednému, keď medzi aspoň jedným párom daných hodnôt sú relatívne prvočísla.
Preto je ľahké odpovedať na otázku, čomu sa rovná gcd takých čísel ako 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 bez toho, aby sme čokoľvek vypočítali.
čísla 3 a 7 sú koprimé, a preto gcd = 1
Pozrime sa na príklad.
Dané tri čísla 24654, 25473 a 954
Každé číslo sa rozloží na nasledujúce faktory
Alebo, ak to napíšeme v alternatívnej forme
To znamená, že gcd týchto troch čísel sa rovná trom
No, LCM môžeme vypočítať podobným spôsobom a rovná sa
Náš robot vám pomôže vypočítať GCD a LCM akýchkoľvek celých čísel, dvoch, troch alebo desiatich.
Pokračujme v rozhovore o najmenšom spoločnom násobku, ktorý sme začali v časti „LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady“. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, a pozrieme sa na otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD
Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako určiť LCM pomocou GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.
Definícia 1
Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Príklad 1
Musíte nájsť LCM čísel 126 a 70.
Riešenie
Zoberme si a = 126, b = 70. Dosaďte hodnoty do vzorca na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Nájde gcd čísel 70 a 126. Na to potrebujeme euklidovský algoritmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, teda GCD (126 , 70) = 14 .
Vypočítajme LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
odpoveď: LCM(126,70) = 630.
Príklad 2
Nájdite číslo 68 a 34.
Riešenie
GCD v tomto prípade nie je ťažké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajme najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
odpoveď: LCM(68,34) = 68.
V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, LCM týchto čísel sa bude rovnať prvému číslu.
Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla
Teraz sa pozrime na metódu hľadania LCM, ktorá je založená na rozklade čísel na prvočiniteľa.
Definícia 2
Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:
- skladáme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
- z ich výsledných produktov vylučujeme všetky hlavné faktory;
- produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.
Táto metóda hľadania najmenšieho spoločného násobku je založená na rovnosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozklade týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa gcd dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.
Príklad 3
Máme dve čísla 75 a 210. Môžeme ich rozpočítať takto: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Ak poskladáte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.
Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin nasledujúceho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.
Príklad 4
Nájdite LCM čísel 441 A 700 , pričom obe čísla sa rozdelia na prvočísla.
Riešenie
Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7.
Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozklade týchto čísel, bude mať tvar: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto je číslo 7. Vylúčme to z celkového produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
odpoveď: LOC(441, 700) = 44 100.
Uveďme inú formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.
Definícia 3
Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:
- Zoberme obe čísla do prvočiniteľov:
- doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
- získame súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.
Príklad 5
Vráťme sa k číslam 75 a 210, pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3, 5 a 5 čísla 75 doplniť chýbajúce faktory 2 A 7 čísla 210. Dostaneme: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.
Príklad 6
Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.
Riešenie
Rozložme čísla z podmienky do jednoduchých faktorov: 84 = 2 2 3 7 A 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajme k súčinu faktory 2, 2, 3 a 7
čísla 84 chýbajúce faktory 2, 3, 3 a
3
čísla 648. Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.
odpoveď: LCM(84,648) = 4,536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.
Veta 1
Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k tieto čísla sa zistia postupným výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta použiť na riešenie konkrétnych problémov.
Príklad 7
Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140, 9, 54 a 250 .
Riešenie
Zavedme zápis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Aplikujme euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Získame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Preto m 2 = 1 260.
Teraz vypočítajme pomocou rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Pri výpočtoch dostaneme m 3 = 3 780.
Musíme len vypočítať m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Dostaneme m 4 = 94 500.
LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.
odpoveď: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť náročné na prácu. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.
Definícia 4
Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:
- všetky čísla rozložíme na prvočiniteľa;
- k súčinu činiteľov prvého čísla pripočítame chýbajúce činitele súčinu druhého čísla;
- k produktu získanému v predchádzajúcej fáze pridáme chýbajúce faktory tretieho čísla atď.;
- výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.
Príklad 8
Musíte nájsť LCM piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Riešenie
Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.
Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.
Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Prejdime k číslu 48, z ktorého súčinu prvočiniteľov vezmeme 2 a 2. Potom pridáme prvočíslo 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ide o najmenší spoločný násobok pôvodných piatich čísel.
odpoveď: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel
Aby sme našli najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia byť tieto čísla najskôr nahradené číslami s opačným znamienkom a potom je potrebné vykonať výpočty pomocou vyššie uvedených algoritmov.
Príklad 9
LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) a LCM ( - 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak to prijmeme a A − a- opačné čísla,
potom množina násobkov čísla a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.
Príklad 10
Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 A − 45 .
Riešenie
Nahradíme čísla − 145 A − 45 na ich opačné čísla 145 A 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou euklidovského algoritmu.
Dostaneme, že LCM čísel je − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .
odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter