Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох гурван аргыг авч үзье.
Үржүүлгийн аргаар олох
Эхний арга нь өгөгдсөн тоонуудыг анхны үржвэрт хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох явдал юм.
99, 30, 28 гэсэн тоонуудын LCM-ийг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Ингэхийн тулд эдгээр тоо бүрийг анхны хүчин зүйл болгон хуваая.
Хүссэн тоо нь 99, 30, 28-д хуваагдахын тулд эдгээр хуваагчдын бүх анхны хүчин зүйлийг багтаасан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Үүнийг хийхийн тулд бид эдгээр тоонуудын бүх анхны хүчин зүйлсийг аль болох их хүчин чадалд авч, хамтдаа үржүүлэх хэрэгтэй.
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
Тиймээс LCM (99, 30, 28) = 13,860. 13,860-аас бага тоо 99, 30, 28-д хуваагдахгүй.
Өгөгдсөн тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд тэдгээрийг анхны үржүүлэгчид болгон хувааж, дараа нь хамгийн том илтгэгчтэй анхны хүчин зүйл бүрийг авч, тэдгээр хүчин зүйлсийг хамтад нь үржүүлнэ.
Харьцангуй анхны тоонд нийтлэг анхны хүчин зүйл байдаггүй тул тэдгээрийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь эдгээр тооны үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 20, 49, 33 гэсэн гурван тоо харьцангуй анхны тоо юм. Тийм ч учраас
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Төрөл бүрийн анхны тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохдоо ижил зүйлийг хийх ёстой. Жишээлбэл, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Сонголтоор хайж олох
Хоёрдахь арга нь сонголтоор хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох явдал юм.
Жишээ 1. Өгөгдсөн тоонуудын хамгийн томыг өөр тоонд хуваахад эдгээр тоонуудын LCM нь тэдгээрийн хамгийн томтой тэнцүү байна. Жишээлбэл, 60, 30, 10, 6 гэсэн дөрвөн тоо өгөгдсөн. Тэд тус бүр нь 60-д хуваагддаг тул:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Бусад тохиолдолд хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд дараах процедурыг ашиглана.
- Өгөгдсөн тоонуудаас хамгийн их тоог тодорхойл.
- Дараа нь бид хамгийн том тоонуудын үржвэр болох тоонуудыг өсөн нэмэгдэж буй дарааллаар натурал тоогоор үржүүлж, гарсан үржвэр нь өгөгдсөн үлдсэн тоонд хуваагдах эсэхийг шалгана.
Жишээ 2. Өгөгдсөн гурван тоо 24, 3, 18. Бид тэдгээрийн хамгийн томыг нь тодорхойлно - энэ бол 24 тоо юм. Дараа нь бид 24-ийн үржвэр болох тоонуудыг олж, тус бүр нь 18 ба 3-т хуваагдах эсэхийг шалгана.
24 · 1 = 24 - 3-т хуваагддаг боловч 18-д хуваагддаггүй.
24 · 2 = 48 - 3-т хуваагддаг боловч 18-д хуваагддаггүй.
24 · 3 = 72 - 3 ба 18-д хуваагдана.
Тиймээс LCM (24, 3, 18) = 72.
LCM-ийг дараалан олох замаар олох
Гурав дахь арга нь LCM-ийг дараалан олох замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох явдал юм.
Өгөгдсөн хоёр тооны LCM нь эдгээр тоонуудын үржвэрийг тэдгээрийн хамгийн их нийтлэг хуваагчаар хуваасантай тэнцүү байна.
Жишээ 1. Өгөгдсөн хоёр тооны LCM-ийг ол: 12 ба 8. Тэдний хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тодорхойл: GCD (12, 8) = 4. Эдгээр тоог үржүүл.
Бид бүтээгдэхүүнийг gcd-ээр нь хуваана:
Тиймээс LCM (12, 8) = 24.
Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олохын тулд дараах процедурыг ашиглана уу.
- Эхлээд эдгээр тоонуудын аль ч хоёрын LCM-ийг ол.
- Дараа нь олдсон хамгийн бага нийтлэг үржвэр ба гурав дахь өгөгдсөн тооны LCM.
- Дараа нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр ба дөрөв дэх тооны LCM гэх мэт.
- Ийнхүү тоо байгаа цагт LCM-ийн хайлт үргэлжилсээр байна.
Жишээ 2. Өгөгдсөн 12, 8, 9 гэсэн гурван тооны LCM-ийг олцгооё. Өмнөх жишээн дээр бид 12, 8 тоонуудын LCM-ийг аль хэдийн олсон (энэ нь 24 тоо). 24 тоо болон өгөгдсөн гурав дахь тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олоход л үлдлээ - 9. Тэдний хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тодорхойл: GCD (24, 9) = 3. LCM-ийг 9 тоогоор үржүүл.
Бид бүтээгдэхүүнийг gcd-ээр нь хуваана:
Тиймээс LCM (12, 8, 9) = 72.
Доор үзүүлсэн материал нь LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ, LCM ба GCD хоорондын холболт гэсэн өгүүллийн онолын логик үргэлжлэл юм. Энд бид ярих болно хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох (LCM), мөн бид жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд онцгой анхаарал хандуулах болно. Эхлээд бид эдгээр тоонуудын GCD-г ашиглан хоёр тооны LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно. Дараа нь бид тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохыг үзнэ. Үүний дараа бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олоход анхаарлаа төвлөрүүлэхээс гадна сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно.
Хуудасны навигаци.
GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нэг арга нь LCM болон GCD хоорондын хамаарал дээр суурилдаг. LCM болон GCD хоёрын хоорондох одоо байгаа холболт нь мэдэгдэж буй хамгийн их нийтлэг хуваагчаар дамжуулан хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог. Холбогдох томъёо нь байна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Өгөгдсөн томьёог ашиглан LCM-ийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
126 ба 70 гэсэн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a=126 , b=70 . Томъёогоор илэрхийлсэн LCM ба GCD хоёрын холболтыг ашиглацгаая LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Өөрөөр хэлбэл, эхлээд бид 70 ба 126 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа бид эдгээр тоонуудын LCM-ийг бичсэн томъёогоор тооцоолж болно.
GCD(126, 70)-г Евклидийн алгоритмаар олъё: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, тиймээс GCD(126, 70)=14.
Одоо бид шаардлагатай хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Хариулт:
LCM(126, 70)=630 .
Жишээ.
LCM(68, 34) нь юутай тэнцүү вэ?
Шийдэл.
Учир нь 68 нь 34-т хуваагддаг бол GCD(68, 34)=34. Одоо бид хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолно: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Хариулт:
LCM(68, 34)=68 .
Өмнөх жишээ нь эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн LCM-ийг олох дараах дүрэмд нийцэж байгааг анхаарна уу: хэрэв a тоо b-д хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a байна.
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох өөр нэг арга бол тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм. Хэрэв та өгөгдсөн тооны бүх анхны хүчин зүйлээс бүтээгдэхүүн зохиож, өгөгдсөн тоонуудын задралд байгаа бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлийг энэ бүтээгдэхүүнээс хасвал үр дүн нь өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно. .
LCM олох дүрэм нь тэгш байдлаас хамаарна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Үнэн хэрэгтээ, a ба b тоонуудын үржвэр нь a ба b тоог тэлэх бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Хариуд нь GCD(a, b) нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх замаар GCD-ийг олох хэсэгт тайлбарласны дагуу).
Нэг жишээ хэлье. 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7 гэдгийг бидэнд мэдэгдье. Эдгээр тэлэлтийн бүх хүчин зүйлээс үржвэрийг бүтээцгээе: 2·3·3·5·5·5·7 . Одоо энэ бүтээгдэхүүнээс бид 75 тоо болон 210 тоо тэлэх (эдгээр хүчин зүйлүүд нь 3 ба 5) хоёуланд нь байгаа бүх хүчин зүйлийг хасч, бүтээгдэхүүн нь 2·3·5·5·7 хэлбэрийг авна. . Энэ бүтээгдэхүүний утга нь 75 ба 210-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байна. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Жишээ.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон үржүүлж эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.
Бид 441=3·3·7·7 ба 700=2·2·5·5·7 болно.
Одоо 2·2·3·3·5·7·7·7 гэсэн тоонуудын тэлэлтэд хамаарах бүх хүчин зүйлсээс бүтээгдэхүүн бүтээцгээе. Энэ бүтээгдэхүүнээс хоёр өргөтгөлд нэгэн зэрэг байгаа бүх хүчин зүйлийг хасъя (зөвхөн нэг ийм хүчин зүйл байдаг - энэ нь 7 тоо): 2·2·3·3·5·5·7·7. Тиймээс, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Хариулт:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох дүрмийг арай өөрөөр томъёолж болно. Хэрэв b тооны тэлэлтээс дутуу байгаа хүчин зүйлсийг a тооны тэлэлтийн хүчин зүйлүүд дээр нэмбэл, үүссэн бүтээгдэхүүний утга нь a ба b тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно..
Жишээлбэл, ижил тооны 75 ба 210 тоонуудыг авч үзье, тэдгээрийн анхны үржүүлэгчид задрал нь дараах байдалтай байна: 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7. 75-ын тооны тэлэлтээс 3, 5, 5-р хүчин зүйлүүд дээр бид 210-ын тоог өргөтгөхөд дутуу байгаа 2, 7-г нэмээд 2·3·5·5·7 үржвэрийг олж авна. LCM(75, 210)-тай тэнцүү.
Жишээ.
84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Бид эхлээд 84 ба 648 тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг. Тэдгээр нь 84=2·2·3·7 ба 648=2·2·2·3·3·3·3 шиг харагдаж байна. 84 тооны тэлэлтээс 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 648 тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 3, 3, 3 хүчин зүйлийг нэмж, 2 2 2 3 3 3 3 7 үржвэрийг олж авна. Энэ нь 4 536-тай тэнцүү байна. Тиймээс 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 4536 байна.
Хариулт:
LCM(84, 648)=4,536 .
Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох
Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох замаар олж болно. Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох боломжийг олгодог харгалзах теоремыг эргэн санацгаая.
Теорем.
a 1 , a 2 , …, a k эерэг бүхэл тоонуудыг өгье. m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) -ийг дараалан тооцож эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр m k-г олно. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээн дээр энэ теоремын хэрэглээг авч үзье.
Жишээ.
140, 9, 54, 250 гэсэн дөрвөн тооны LCM-ийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250 байна.
Эхлээд бид олдог m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Үүнийг хийхийн тулд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид GCD(140, 9)-ийг тодорхойлж, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, тиймээс GCD(140, 9)=1 , хаанаас GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Энэ нь m 2 =1 260 байна.
Одоо бид олдог m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Үүнийг GCD(1 260, 54)-ээр тооцоолъё, үүнийг бид мөн Евклидийн алгоритмыг ашиглан тодорхойлно: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Дараа нь gcd(1,260, 54)=18, үүнээс gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 болно. Энэ нь m 3 =3 780 гэсэн үг юм.
Зөвхөн олох л үлдлээ m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Үүний тулд бид GCD(3,780, 250)-ийг Евклидийн алгоритмаар олно: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Тиймээс GCM(3,780, 250)=10, үүнээс GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Энэ нь m 4 =94,500 гэсэн үг юм.
Тэгэхээр анхны дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 94,500 байна.
Хариулт:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тоонуудын анхны үржвэрүүдийг ашиглан гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нь тохиромжтой байдаг. Энэ тохиолдолд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдлаар бүрдэнэ: хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлүүд нь эхний тооны тэлэлтээс бүх хүчин зүйл дээр нэмэгдэнэ. Гурав дахь тоог үр дүнгийн хүчин зүйлс дээр нэмдэг гэх мэт.
Анхны үржвэрлэлтийн аргыг ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Эхлээд бид эдгээр тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 нь анхны тоо, давхцаж байна) анхны хүчин зүйлүүдэд задралын хамт) ба 143=11·13.
Эдгээр тоонуудын LCM-ийг олохын тулд эхний тооны 84-ийн хүчин зүйлүүд (тэдгээр нь 2, 2, 3, 7) дээр хоёр дахь 6-ын тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх хэрэгтэй. Эхний тооны 84-ийн задралд 2 ба 3 хоёулаа аль хэдийн байгаа тул 6-ын тооны задралд дутуу хүчин зүйл агуулаагүй болно. Дараа нь 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 48-р гурав дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 2-р хүчин зүйлсийг нэмж, 2, 2, 2, 2, 3, 7 гэсэн хүчин зүйлсийн багцыг авна. Дараагийн алхамд энэ олонлогт үржүүлэгч нэмэх шаардлагагүй, учир нь 7 нь аль хэдийн агуулагдсан байна. Эцэст нь 2, 2, 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 143-ын тэлэлтээс дутуу байгаа 11, 13-ыг нэмнэ. Бид 2·2·2·2·3·7·11·13 үржвэрийг авдаг бөгөөд энэ нь 48,048-тай тэнцүү байна.
LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг ойлгохын тулд эхлээд "олон" гэсэн нэр томъёоны утгыг тодорхойлох хэрэгтэй.
А-ийн үржвэр нь А-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг натурал тоо юм.Иймээс 5-ын үржвэр болсон тоог 15, 20, 25 гэх мэтээр авч үзэж болно.
Тодорхой тооны хязгаарлагдмал тооны хуваагч байж болох ч хязгааргүй тооны үржвэр байдаг.
Натурал тоонуудын нийтлэг үржвэр нь тэдгээрт үлдэгдэл үлдээхгүйгээр хуваагддаг тоог хэлнэ.
Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хэрхэн олох вэ
Тоонууд (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) нь эдгээр бүх тоонд хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм.
LOC олохын тулд та хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно.
Жижиг тоонуудын хувьд эдгээр тоонуудын бүх үржвэрийг тэдгээрийн дунд нийтлэг зүйлийг олох хүртэл мөрөнд бичих нь тохиромжтой. Үржвэрийг том K үсгээр тэмдэглэнэ.
Жишээлбэл, 4-ийн үржвэрийг дараах байдлаар бичиж болно.
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Тиймээс 4 ба 6 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 24 тоо болохыг харж болно. Энэ тэмдэглэгээг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
LCM(4, 6) = 24
Одоо хоёр тооны нийтлэг хүчин зүйлсийг бич. Манай хувилбарт энэ нь хоёр ба тав юм. Гэсэн хэдий ч бусад тохиолдолд энэ тоо нь нэг, хоёр, гурван оронтой эсвэл түүнээс ч их байж болно. Дараа нь та зэрэгтэй ажиллах хэрэгтэй. Хүчин зүйл бүрийн хувьд хамгийн бага хүчийг сонго. Жишээн дээр хоёр дахь нь хоёр, эхнийх нь тав байна.
Эцэст нь та үр дүнгийн тоог үржүүлэх хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бүх зүйл туйлын энгийн: хоёр квадратыг таваар үржүүлбэл 20 байна. Тиймээс 20-ийн тоог 60 ба 80-ын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэж нэрлэж болно.
Сэдвийн талаархи видео
тэмдэглэл
Анхны хүчин зүйл нь зөвхөн 2 хуваагчтай тоо гэдгийг санаарай: нэг ба өөрөө тоо.
Хэрэгтэй зөвлөгөө
Энэ аргаас гадна та Евклидийн алгоритмыг ашиглаж болно. Түүний бүрэн тайлбарыг геометрийн хэлбэрээр Евклидийн "Элементүүд" номноос олж болно.
Холбоотой нийтлэл
Байгалийн бутархайг нэмэх, хасах нь ижил хуваагчтай тохиолдолд л боломжтой. Нэг хуваагч руу авчрахдаа тооцооллыг хүндрүүлэхгүйн тулд хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олж, тооцооллыг хийнэ.
Танд хэрэгтэй болно
- - тоонуудыг анхдагч хүчин зүйл болгох чадвар;
- - бутархайтай үйлдэл хийх чадвар.
Зааварчилгаа
Бутархайн тоог нэмж бичнэ үү. Дараа нь тэдгээрийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол. Үүнийг хийхийн тулд дараах үйлдлүүдийн дарааллыг гүйцэтгэнэ: 1. Энгийн тоон дахь хуваагч бүрийг төсөөлөөд үз (анхны тоо, зөвхөн 1-д үлдэгдэлгүй өөрөө хуваагддаг тоо, жишээ нь 2, 3, 5, 7, гэх мэт).2. Бичсэн бүх энгийн зүйлсийг зэрэглэлээр нь бүлэглээрэй. 3. Эдгээр тоонд гарч буй анхны хүчин зүйлүүдийн хамгийн том хүчийг сонго. 4. Бичгийн хүчийг үржүүл.
Жишээлбэл, 15, 24, 36 хуваарьтай бутархайн нийтлэг хуваагч нь дараах байдлаар тооцоолж болох тоо байх болно: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2.Эдгээр тооны бүх анхны хуваагчийн хамгийн их хүчийг бич: 2^3 3^2 5=360.
Нийтлэг хуваагчийг тус бүр болон нэмж буй бутархайн хуваагчдад хуваа. Үр дүнгийн тоогоор тэдгээрийн тоог үржүүл. Бутархайн нийтлэг шугамын доор хамгийн бага нийтлэг ногдол ашгийг бичнэ. Тоолуурт, тоологч бүрийг бутархайн хуваагчаар хуваасан хамгийн бага нийтлэг хүчин зүйлийн хуваалтаар үржүүлснээр гарах тоонуудыг нэмнэ. Бүх тоологчдын нийлбэр ба хамгийн бага нийтлэг хуваарьт хуваагдах нь хүссэн тоо байх болно.
Жишээлбэл, 4/15, 7/24, 11/36-ийн хувьд үүнийг хий. Хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ол 360. Дараа нь 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10-ыг хуваа. Эхний бутархайн дугаар болох 4-ийн тоог 24-өөр (4 24=96), 7-ын тоог 15-аар (7 15=105), 11-ийн тоог 10-аар (11 10=110) үржүүл. Дараа нь эдгээр тоог нэмнэ (96+105+110=301). Бид 4/15+7/24+11/36=301/360 гэсэн үр дүнг авна.
Эх сурвалжууд:
- хамгийн бага тоог хэрхэн олох вэ
Бүхэл тоо гэдэг нь өдөр тутмын амьдралд олон хэрэглээтэй байдаг олон төрлийн математик тоо юм. Сөрөг бус бүхэл тоо нь аливаа объектын тоог, сөрөг тоо - цаг агаарын урьдчилсан мэдээ гэх мэт мессежүүдэд ашиглагддаг. GCD болон LCM нь хуваах үйл ажиллагаатай холбоотой бүхэл тоонуудын байгалийн шинж чанар юм.
Зааварчилгаа
GCD нь Евклидийн алгоритм эсвэл хоёртын аргыг ашиглан тооцоолоход хялбар байдаг. Нэг нь тэг биш a, b тоонуудын gcd-ийг тодорхойлох Евклидийн алгоритмын дагуу r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n тоонуудын дараалал байдаг бөгөөд үүнд r_1 нь хуваалтын үлдэгдэлтэй тэнцүү байна. эхний тоо хоёр дахь. Дарааллын бусад гишүүд нь өмнөх гишүүнийг өмнөх гишүүнд хуваасны үлдэгдэлтэй тэнцүү байх ба эцсийн өмнөх элемент нь үлдэгдэлгүйгээр сүүлчийнх нь хуваагдана.
Математикийн хувьд дарааллыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
Энд k_i нь бүхэл тооны хүчин зүйл юм.
GCD (a, b) = r_n.
Жишээ.
GCD-г ол (36, 120). Евклидийн алгоритмын дагуу 120-аас хасвал 36-ын үржвэр, энэ тохиолдолд 120 – 36*3 = 12. Одоо 120-оос 12-ын үржвэртэй тоог хасвал 120 – 12* гарна. 10 = 0. Тиймээс GCD (36, 120) = 12.
GCD-ийг олох хоёртын алгоритм нь ээлжийн онол дээр суурилдаг. Энэ аргын дагуу хоёр тооны gcd нь дараах шинж чанартай байна.
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) a ба b-ийн хувьд
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) тэгш a ба сондгой b (GCD (a, b) = GCD (a, b/2) хувьд эсрэгээр))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) сондгой a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) сондгой b > a хувьд
Тиймээс gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
Хоёр бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) нь анхны тоонд хоёуланд нь үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг хамгийн жижиг бүхэл тоо юм.
LCM-ийг GCD ашиглан тооцоолж болно: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
LCM-ийг тооцоолох хоёр дахь арга бол тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон каноник хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм.
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
Энд r_i анхны тоо, k_i ба m_i бүхэл тоо ≥ 0 байна.
LCM нь ижил анхдагч хүчин зүйлүүдийн хэлбэрээр илэрхийлэгддэг бөгөөд хамгийн ихдээ хоёр тоог зэрэглэл болгон авдаг.
Жишээ.
LCM-г ол (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр. Өгөгдсөн бүх тоог үлдэгдэлгүйгээр хуваах тоо.
Жишээлбэл, хэрэв өгөгдсөн тоонууд нь 2, 3, 5 бол LCM=2*3*5=30 болно.
Хэрэв өгөгдсөн тоонууд нь 2,4,8 бол LCM =8
GCD гэж юу вэ?
GCD нь хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. Өгөгдсөн тоо бүрийг үлдэгдэл үлдээхгүйгээр хувааж болох тоо.
Хэрэв өгөгдсөн тоонууд анхны тоонууд бол gcd нь нэгтэй тэнцүү байх нь логик юм.
Хэрэв өгөгдсөн тоо нь 2, 4, 8 бол GCD нь 2-той тэнцүү байна.
Бид үүнийг ерөнхийд нь тайлбарлахгүй, зүгээр л жишээгээр шийдлийг харуулах болно.
126 ба 44 гэсэн хоёр тоо өгөгдсөн. GCD-г ол.
Дараа нь бидэнд маягтын хоёр тоог өгвөл
Дараа нь GCD-ийг тооцоолно
Энд min нь pn тооны бүх түвшний хамгийн бага утга юм
болон ҮОХ зэрэг
Энд max нь pn тооны бүх чадлын хамгийн их утга юм
Дээрх томьёог харвал өгөгдсөн утгуудын дор хаяж нэг хосын дунд харьцангуй анхны тоо байгаа тохиолдолд хоёр ба түүнээс дээш тооны gcd нь нэгтэй тэнцүү байх болно гэдгийг хялбархан баталж чадна.
Тиймээс 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 гэх мэт тоонуудын gcd нь юутай тэнцэх вэ гэсэн асуултад юу ч тооцохгүйгээр хариулахад хялбар байдаг.
3 ба 7 тоонууд нь хоёрдогч тоо тул gcd = 1 байна
Нэг жишээ авч үзье.
24654, 25473, 954 гэсэн гурван тоо өгөгдсөн
Тоо бүрийг дараах хүчин зүйлүүдэд задалдаг
Эсвэл, хэрэв бид үүнийг өөр хэлбэрээр бичвэл
Энэ нь эдгээр гурван тооны gcd нь гуравтай тэнцүү байна
За, бид LCM-ийг ижил төстэй байдлаар тооцож болно, энэ нь тэнцүү байна
Манай робот танд хоёр, гурав, арван бүхэл тоонуудын GCD болон LCM-ийг тооцоолоход тусална.
"LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээнүүд" хэсгээс эхлүүлсэн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийн тухай яриагаа үргэлжлүүлье. Энэ сэдвээр бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох аргуудыг авч үзэх бөгөөд сөрөг тооны LCM-ийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэх болно.
Yandex.RTB R-A-339285-1
GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох
Бид аль хэдийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр ба хамгийн их нийтлэг хуваагчийн хоорондын хамаарлыг тогтоосон. Одоо GCD-ээр дамжуулан LCM-ийг хэрхэн тодорхойлох талаар сурцгаая. Эхлээд эерэг тоонуудын хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг олж мэдье.
Тодорхойлолт 1
Та LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) томъёог ашиглан хамгийн их нийтлэг хуваагчаар дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох боломжтой.
Жишээ 1
Та 126 ба 70 тоонуудын LCM-ийг олох хэрэгтэй.
Шийдэл
a = 126, b = 70 гэж үзье. Хамгийн их нийтлэг хуваагч LCM (a, b) = a · b -ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох томъёонд утгуудыг орлуулж үзье: GCD (a, b) .
70 ба 126 тоонуудын gcd-г олно. Үүний тулд бидэнд Евклидийн алгоритм хэрэгтэй: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, тиймээс GCD (126 , 70) = 14 .
LCM-ийг тооцоолъё: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Хариулт: LCM(126, 70) = 630.
Жишээ 2
68 ба 34 тоог ол.
Шийдэл
Энэ тохиолдолд GCD-ийг олоход хэцүү биш, учир нь 68 нь 34-т хуваагддаг. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолъё: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Хариулт: LCM(68, 34) = 68.
Энэ жишээнд бид эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох дүрмийг ашигласан: хэрэв эхний тоо хоёр дахь тоонд хуваагдаж байвал тэдгээр тоонуудын LCM нь эхний тоотой тэнцүү байх болно.
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох
Одоо тоонуудыг анхдагч хүчин зүйл болгон задлахад үндэслэсэн LCM-ийг олох аргыг авч үзье.
Тодорхойлолт 2
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд бид хэд хэдэн энгийн алхмуудыг хийх хэрэгтэй:
- бид LCM-ийг олох шаардлагатай тоонуудын бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэрийг бүрдүүлдэг;
- бид бүх үндсэн хүчин зүйлсийг тэдгээрийн үр дүнд бий болсон бүтээгдэхүүнээс хасдаг;
- нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг арилгасны дараа олж авсан бүтээгдэхүүн нь өгөгдсөн тооны LCM-тэй тэнцүү байна.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох энэ арга нь LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) тэгшитгэл дээр суурилдаг. Хэрэв та томьёог харвал тодорхой болно: a ба b тоонуудын үржвэр нь эдгээр хоёр тооны задралд оролцдог бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд хоёр тооны gcd нь эдгээр хоёр тооны үржүүлэхэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Жишээ 3
Бидэнд 75 ба 210 гэсэн хоёр тоо бий. Бид тэдгээрийг дараах байдлаар тооцож болно. 75 = 3 5 5Тэгээд 210 = 2 3 5 7. Хэрэв та анхны хоёр тооны бүх хүчин зүйлийн үржвэрийг гаргавал дараахь зүйлийг авна. 2 3 3 5 5 5 7.
Хэрэв бид 3 ба 5 тоонуудын аль алинд нь нийтлэг хүчин зүйлсийг хасвал дараах хэлбэрийн үржвэрийг авна. 2 3 5 5 7 = 1050. Энэ бүтээгдэхүүн нь 75 ба 210 дугаарт зориулсан манай LCM байх болно.
Жишээ 4
Тоонуудын LCM-ийг ол 441 Тэгээд 700 , хоёр тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах.
Шийдэл
Нөхцөлд өгөгдсөн тоонуудын бүх анхны хүчин зүйлийг олъё.
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Бид 441 = 3 3 7 7 ба 700 = 2 2 5 5 7 гэсэн хоёр гинж тоо авдаг.
Эдгээр тоонуудыг задлахад оролцсон бүх хүчин зүйлийн үржвэр нь дараахь хэлбэртэй байна. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нийтлэг хүчин зүйлсийг олцгооё. Энэ бол 7 дугаар. Үүнийг нийт бүтээгдэхүүнээс хасъя: 2 2 3 3 5 5 7 7. Энэ бол ҮОХ юм (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Хариулт: LOC(441, 700) = 44,100.
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах замаар LCM-ийг олох аргын өөр томьёоллыг өгье.
Тодорхойлолт 3
Өмнө нь бид хоёр тоонд нийтлэг хүчин зүйлсийн нийт тооноос хассан. Одоо бид үүнийг өөрөөр хийх болно:
- Хоёр тоог хоёуланг нь анхны хүчин зүйл болгон авч үзье.
- эхний тооны анхны хүчин зүйлийн үржвэрт хоёр дахь тооны алга болсон хүчин зүйлийг нэмэх;
- Бид бүтээгдэхүүнийг авах бөгөөд энэ нь хоёр тооны хүссэн LCM байх болно.
Жишээ 5
Өмнөх жишээнүүдийн аль нэгэнд LCM-ийг хайж байсан 75 ба 210 тоонууд руу буцъя. Тэдгээрийг энгийн хүчин зүйл болгон хувааж үзье: 75 = 3 5 5Тэгээд 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ба хүчин зүйлийн үржвэрт 5 75 тоо нь дутуу хүчин зүйлийг нэмнэ 2 Тэгээд 7 210 тоо. Бид авах: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Энэ бол 75 ба 210 тоонуудын LCM юм.
Жишээ 6
84 ба 648 тоонуудын LCM-ийг тооцоолох шаардлагатай.
Шийдэл
Нөхцөлөөс авсан тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон авч үзье. 84 = 2 2 3 7Тэгээд 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Бүтээгдэхүүнд 2, 2, 3 ба хүчин зүйлсийг нэмье 7
тоо 84 дутуу хүчин зүйлүүд 2, 3, 3 болон
3
648 тоо. Бид бүтээгдэхүүнээ авдаг 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Энэ нь 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.
Хариулт: LCM(84, 648) = 4,536.
Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох
Бид хэдэн тоотой харьцаж байгаагаас үл хамааран бидний үйлдлийн алгоритм үргэлж ижил байх болно: бид хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох болно. Энэ тохиолдолд нэг теорем бий.
Теорем 1
Бидэнд бүхэл тоо байна гэж бодъё a 1 , a 2 , … , a k. ҮОХ м кэдгээр тоонуудыг m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k) -ийг дараалан тооцоолох замаар олно.
Одоо теоремыг тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг харцгаая.
Жишээ 7
Та 140, 9, 54 гэсэн дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох хэрэгтэй 250 .
Шийдэл
Тэмдэглэгээг танилцуулъя: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) -ийг тооцоолж эхэлье. 140 ба 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 тоонуудын GCD-ийг тооцоолохын тулд Евклидийн алгоритмыг хэрэглэцгээе. Бид дараахийг авна: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Тиймээс м 2 = 1,260 байна.
Одоо m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) алгоритмыг ашиглан тооцоолъё. Тооцооллын явцад бид m 3 = 3 780-ийг авна.
Бид зүгээр л m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) -ийг тооцоолох хэрэгтэй. Бид ижил алгоритмыг дагаж мөрддөг. Бид m 4 = 94 500 болно.
Жишээ нөхцөл дэх дөрвөн тооны LCM нь 94500 байна.
Хариулт: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Таны харж байгаагаар тооцоолол нь энгийн, гэхдээ нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг. Цаг хэмнэхийн тулд та өөр замаар явж болно.
Тодорхойлолт 4
Бид танд дараах үйлдлийн алгоритмыг санал болгож байна.
- бид бүх тоог анхны хүчин зүйл болгон задалдаг;
- эхний тооны хүчин зүйлсийн үржвэрт бид хоёр дахь тооны үржвэрээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмнэ;
- өмнөх үе шатанд олж авсан бүтээгдэхүүнд бид гурав дахь тооны дутуу хүчин зүйлсийг нэмнэ гэх мэт;
- үр дүн нь нөхцөлийн бүх тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр байх болно.
Жишээ 8
Та 84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны LCM-ийг олох хэрэгтэй.
Шийдэл
84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13 гэсэн таван тоог бүгдийг нь анхны үржвэр болгон гаргая. Анхны тоо буюу 7-г анхны хүчин зүйлд тооцох боломжгүй. Ийм тоо нь анхны хүчин зүйл болгон задрахтай давхцдаг.
Одоо 84-ийн тооны 2, 2, 3, 7-ын анхны олон тооны үржвэрийг авч, хоёр дахь тооны дутуу үржвэрийг нэмье. Бид 6 тоог 2 ба 3 болгон задалсан. Эдгээр хүчин зүйлүүд аль хэдийн эхний тооны үржвэрт байна. Тиймээс бид тэдгээрийг орхигдуулдаг.
Бид дутуу үржүүлэгчийг үргэлжлүүлэн нэмнэ. Анхны үржвэрүүдийн үржвэрээс 2 ба 2-ыг авдаг 48 тоо руу шилжье. Дараа нь бид дөрөв дэх тооноос 7-ийн анхны хүчин зүйл, тав дахь тооноос 11, 13-ын хүчин зүйлийг нэмнэ. Бид авна: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Энэ нь анхны таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.
Хариулт: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Сөрөг тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох
Сөрөг тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд эдгээр тоог эхлээд эсрэг тэмдэгтэй тоогоор сольж, дараа нь дээрх алгоритмуудыг ашиглан тооцооллыг хийх ёстой.
Жишээ 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ба LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Хэрэв бид үүнийг хүлээн зөвшөөрч байгаа тул ийм үйлдлийг зөвшөөрч болно аТэгээд − a- эсрэг тоо,
дараа нь тооны үржвэрийн олонлог атооны үржвэрийн олонлогтой таарч байна − a.
Жишээ 10
Сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолох шаардлагатай − 145 Тэгээд − 45 .
Шийдэл
Тоонуудыг сольж үзье − 145 Тэгээд − 45 Тэдний эсрэг тоо 145 Тэгээд 45 . Одоо алгоритмыг ашиглан бид өмнө нь Euclidean алгоритмыг ашиглан GCD-ийг тодорхойлсон LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305-ийг тооцоолно.
Бид тоонуудын LCM нь - 145 ба гэдгийг олж мэднэ − 45 тэнцүү байна 1 305 .
Хариулт: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу