Katsotaanpa kolmea tapaa löytää pienin yhteinen monikerta.
Haku tekijöiden mukaan
Ensimmäinen tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen laskemalla annetut luvut alkutekijöiksi.
Oletetaan, että meidän on löydettävä lukujen 99, 30 ja 28 LCM. Tätä varten lasketaan jokainen näistä luvuista alkutekijöiksi:
Jotta haluttu luku olisi jaollinen luvuilla 99, 30 ja 28, on välttämätöntä ja riittävää, että se sisältää kaikki näiden jakajien alkutekijät. Tätä varten meidän on otettava kaikki näiden lukujen alkutekijät suurimpaan mahdolliseen potenssiin ja kerrottava ne yhteen:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Näin ollen LCM (99, 30, 28) = 13 860. Mikään muu luku, joka on pienempi kuin 13 860, ei ole jaollinen luvulla 99, 30 tai 28.
Löytääksesi annettujen lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen lasket ne alkutekijöihin, otat sitten jokaisen alkutekijän suurimmalla eksponentilla, jossa se esiintyy, ja kerro nämä tekijät yhteen.
Koska suhteellisen alkuluvuilla ei ole yhteisiä alkutekijöitä, niiden pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo. Esimerkiksi kolme numeroa: 20, 49 ja 33 ovat suhteellisen alkulukuja. Siksi
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Sama on tehtävä, kun etsitään eri alkulukujen pienin yhteinen kerrannainen. Esimerkiksi LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Haku valinnalla
Toinen tapa on löytää valinnalla pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkki 1. Kun suurin annetuista luvuista jaetaan toisella annetulla luvulla, näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niistä suurin. Esimerkiksi annettu neljä numeroa: 60, 30, 10 ja 6. Jokainen niistä on jaollinen 60:llä, joten:
LCM(60; 30; 10; 6) = 60
Muissa tapauksissa pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi käytetään seuraavaa menettelyä:
- Määritä suurin luku annetuista luvuista.
- Seuraavaksi etsitään luvut, jotka ovat suurimman luvun kerrannaisia, kertomalla se luonnollisilla luvuilla kasvavassa järjestyksessä ja tarkistamalla, onko tuloksena saatu tulo jaollinen jäljellä olevilla annetuilla luvuilla.
Esimerkki 2. Annetaan kolme lukua 24, 3 ja 18. Määritämme niistä suurimman - tämä on luku 24. Seuraavaksi etsimme luvut, jotka ovat luvun 24 kerrannaisia, ja tarkistamme, onko kukin niistä jaollinen luvuilla 18 ja 3:
24 · 1 = 24 - jaollinen 3:lla, mutta ei jaollinen 18:lla.
24 · 2 = 48 - jaollinen 3:lla, mutta ei jaollinen 18:lla.
24 · 3 = 72 - jaollinen 3:lla ja 18:lla.
Siten LCM (24, 3, 18) = 72.
Löytäminen etsimällä peräkkäin LCM
Kolmas tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen etsimällä peräkkäin LCM.
Kahden annetun luvun LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo jaettuna niiden suurimmalla yhteisellä jakajalla.
Esimerkki 1. Etsi kahden annetun luvun LCM:t: 12 ja 8. Määritä niiden suurin yhteinen jakaja: GCD (12, 8) = 4. Kerro nämä luvut:
Jaamme tuotteen niiden gcd:llä:
Siten LCM (12, 8) = 24.
Voit etsiä kolmen tai useamman luvun LCM:n seuraavasti:
- Etsi ensin minkä tahansa kahden näistä numeroista LCM.
- Sitten löydetyn pienimmän yhteiskerran ja kolmannen annetun luvun LCM.
- Sitten tuloksena saadun pienimmän yhteiskerran ja neljännen luvun LCM jne.
- Näin ollen LCM:n haku jatkuu niin kauan kuin numeroita on.
Esimerkki 2. Etsitään kolmen annetun luvun LCM:t: 12, 8 ja 9. Löysimme jo edellisessä esimerkissä numeroiden 12 ja 8 LCM (tämä on luku 24). Vielä on löydettävä luvun 24 ja kolmannen annetun luvun pienin yhteinen kerrannainen - 9. Määritä niiden suurin yhteinen jakaja: GCD (24, 9) = 3. Kerro LCM luvulla 9:
Jaamme tuotteen niiden gcd:llä:
Siten LCM (12, 8, 9) = 72.
Alla esitetty materiaali on loogista jatkoa teorialle artikkelista LCM - pienin yhteinen kerrannainen, määritelmä, esimerkit, yhteys LCM:n ja GCD:n välillä. Täällä puhumme aiheesta pienimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen, ja kiinnitämme erityistä huomiota esimerkkien ratkaisemiseen. Ensin näytämme, kuinka kahden luvun LCM lasketaan käyttämällä näiden numeroiden GCD:tä. Seuraavaksi tarkastellaan pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämistä laskemalla luvut alkutekijöiksi. Tämän jälkeen keskitymme kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseen ja kiinnitämme huomiota myös negatiivisten lukujen LCM:n laskemiseen.
Sivulla navigointi.
LCM:n (Least Common Multiple) laskeminen GCD:n kautta
Yksi tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu LCM:n ja GCD:n väliseen suhteeseen. LCM:n ja GCD:n välinen yhteys mahdollistaa kahden positiivisen kokonaisluvun pienimmän yhteisen kerrannaisen laskemisen tunnetun suurimman yhteisen jakajan kautta. Vastaava kaava on LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Katsotaanpa esimerkkejä LCM:n löytämisestä annetun kaavan avulla.
Esimerkki.
Etsi kahden luvun 126 ja 70 pienin yhteinen kerrannainen.
Ratkaisu.
Tässä esimerkissä a=126, b=70. Käytetään LCM:n ja GCD:n välistä yhteyttä kaavalla ilmaistuna LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Eli ensin on löydettävä lukujen 70 ja 126 suurin yhteinen jakaja, jonka jälkeen voimme laskea näiden lukujen LCM kirjoitetun kaavan avulla.
Etsitään GCD(126, 70) euklidisella algoritmilla: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, joten GCD(126, 70)=14.
Nyt löydämme vaaditun pienimmän yhteisen kerrannaisen: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Vastaus:
LCM(126, 70) = 630 um.
Esimerkki.
Mikä on LCM(68, 34)?
Ratkaisu.
Koska 68 on jaollinen luvulla 34, sitten GCD(68, 34)=34. Nyt lasketaan pienin yhteinen kerrannainen: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Vastaus:
LCM(68,34)=68.
Huomaa, että edellinen esimerkki sopii seuraavaan sääntöön LCM:n löytämiseksi positiivisille kokonaisluvuille a ja b: jos luku a on jaollinen b:llä, niin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on a.
LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöiksi
Toinen tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu lukujen laskemiseen alkutekijöiksi. Jos muodostat tulon kaikista annettujen lukujen alkutekijöistä ja suljet sitten pois tästä tulosta kaikki yleiset alkutekijät, jotka esiintyvät annettujen lukujen hajotteluissa, niin tuloksena oleva tulo on yhtä suuri kuin annettujen lukujen pienin yhteinen kerrannainen .
Ilmoitettu sääntö LCM:n löytämiseksi seuraa tasa-arvosta LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Todellakin, lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajenemiseen osallistuvien tekijöiden tulo. GCD(a, b) puolestaan on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo (kuten on kuvattu osiossa GCD:n löytäminen käyttämällä lukujen laajentamista alkutekijöiksi).
Otetaan esimerkki. Tiedämme, että 75=3·5·5 ja 210=2·3·5·7. Tehdään tulo näiden laajennusten kaikista tekijöistä: 2·3·3·5·5·5·7 . Nyt tästä tuotteesta jätetään pois kaikki tekijät, jotka esiintyvät sekä luvun 75 että luvun 210 laajennuksessa (nämä tekijät ovat 3 ja 5), jolloin tulo saa muotoa 2·3·5·5·7 . Tämän tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen 75 ja 210 pienin yhteinen kerrannainen, eli NOC(75,210)= 2·3·5·5·7=1 050.
Esimerkki.
Kerro luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi ja löydä näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Ratkaisu.
Otetaan luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi:
Saamme 441=3·3·7·7 ja 700=2·2·5·5·7.
Tehdään nyt tulo kaikista tekijöistä, jotka vaikuttavat näiden lukujen laajentamiseen: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat samanaikaisesti läsnä molemmissa laajennuksissa (tällaista tekijää on vain yksi - tämä on luku 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Täten, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Vastaus:
NOC(441, 700) = 44100.
Sääntö LCM:n löytämiseksi käyttämällä lukujen tekijöitä alkutekijöiksi voidaan muotoilla hieman eri tavalla. Jos luvun b laajennuksesta puuttuvat tekijät lisätään luvun a laajennuksen tekijöihin, niin tuloksena olevan tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen.
Otetaan esimerkiksi samat luvut 75 ja 210, joiden jaottelut alkutekijöiksi ovat seuraavat: 75=3·5·5 ja 210=2·3·5·7. Tekijöihin 3, 5 ja 5 luvun 75 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2 ja 7 luvun 210 laajennuksesta, saadaan tulo 2·3·5·5·7, jonka arvo on yhtä suuri kuin LCM(75, 210).
Esimerkki.
Etsi lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.
Ratkaisu.
Ensin saadaan lukujen 84 ja 648 hajotukset alkutekijöiksi. Ne näyttävät 84=2·2·3·7 ja 648=2·2·2·3·3·3·3. Tekijöihin 2, 2, 3 ja 7 luvun 84 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2, 3, 3 ja 3 luvun 648 laajennuksesta, saadaan tulo 2 2 2 3 3 3 3 7, joka on yhtä suuri kuin 4 536 . Siten haluttu lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen on 4 536.
Vastaus:
LCM(84,648)=4536.
Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen
Kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen voidaan löytää etsimällä peräkkäin kahden luvun LCM. Muistakaamme vastaava lause, joka antaa tavan löytää kolmen tai useamman luvun LCM.
Lause.
Olkoon positiiviset kokonaisluvut a 1 , a 2 , …, a k, näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen m k saadaan laskemalla peräkkäin m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .
Tarkastellaan tämän lauseen soveltamista käyttämällä esimerkkiä neljän luvun pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämisestä.
Esimerkki.
Etsi neljän luvun 140, 9, 54 ja 250 LCM.
Ratkaisu.
Tässä esimerkissä a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Ensin löydämme m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Tätä varten määritämme euklidisen algoritmin avulla GCD(140, 9), meillä on 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, siksi GCD(140, 9)=1, mistä GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1 = 1 260. Eli m 2 = 1 260.
Nyt löydämme m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Lasketaan se GCD(1 260, 54) avulla, jonka määritämme myös euklidisella algoritmilla: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Sitten gcd(1260,54)=18, josta gcd(1260,54)=1260·54:gcd(1260,54)=1260·54:18=3780. Eli m 3 = 3 780.
Jäljelle jää vain löytää m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Tätä varten löydämme GCD(3,780,250) käyttämällä euklidista algoritmia: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Siksi GCM(3 780; 250)=10, josta GCM(3 780; 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Eli m 4 = 94 500.
Joten alkuperäisen neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen on 94 500.
Vastaus:
LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.
Monissa tapauksissa on kätevää löytää kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen käyttämällä annettujen lukujen alkutekijöitä. Tässä tapauksessa sinun tulee noudattaa seuraavaa sääntöä. Usean luvun pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin tulo, joka muodostuu seuraavasti: toisen luvun laajennuksesta puuttuvat tekijät lisätään kaikkiin ensimmäisen luvun laajennuksesta, puuttuvat tekijät kolmas numero lisätään tuloksena saatuihin tekijöihin ja niin edelleen.
Katsotaanpa esimerkkiä pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämisestä alkutekijöiden laskentaa käyttämällä.
Esimerkki.
Etsi pienin yhteinen kerrannainen viidestä luvusta 84, 6, 48, 7, 143.
Ratkaisu.
Ensin saadaan näiden lukujen hajotukset alkutekijöiksi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 on alkuluku, se osuu yhteen ja sen alkutekijöiksi) ja 143=11·13.
Löytääksesi näiden lukujen LCM:n ensimmäisen luvun 84 tekijöihin (ne ovat 2, 2, 3 ja 7), sinun on lisättävä puuttuvat tekijät toisen luvun 6 laajennuksesta. Luvun 6 hajotus ei sisällä puuttuvia tekijöitä, koska sekä 2 että 3 ovat jo mukana ensimmäisen luvun 84 hajotuksessa. Seuraavaksi tekijöihin 2, 2, 3 ja 7 lisätään puuttuvat tekijät 2 ja 2 kolmannen luvun 48 laajennuksesta, saadaan joukko kertoimia 2, 2, 2, 2, 3 ja 7. Tähän joukkoon ei tarvitse lisätä kertoimia seuraavassa vaiheessa, koska se sisältää jo 7. Lopuksi tekijöihin 2, 2, 2, 2, 3 ja 7 lisätään puuttuvat tekijät 11 ja 13 luvun 143 laajennuksesta. Saamme tulon 2·2·2·2·3·7·11·13, joka on 48 048.
Ymmärtääksesi kuinka LCM lasketaan, sinun on ensin määritettävä termin "useita" merkitys.
A:n kerrannainen on luonnollinen luku, joka on jaollinen A:lla ilman jäännöstä. Näin ollen lukuja, jotka ovat 5:n kerrannaisia, voidaan pitää luvuina 15, 20, 25 ja niin edelleen.
Tietyn luvun jakajia voi olla rajallinen määrä, mutta kerrannaisia on ääretön määrä.
Luonnollisten lukujen yhteinen kerrannainen on luku, joka on jaollinen niillä jättämättä jäännöstä.
Kuinka löytää lukujen pienin yhteinen kerrannainen
Lukujen pienin yhteinen kerrannainen (LCM) (kaksi, kolme tai enemmän) on pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen kaikilla näillä luvuilla.
LOC:n löytämiseksi voit käyttää useita menetelmiä.
Pienille numeroille on kätevää kirjoittaa kaikki näiden lukujen kerrannaiset riville, kunnes löydät niistä jotain yhteistä. Kertoimet on merkitty isolla K-kirjaimella.
Esimerkiksi neljän kerrannaiset voidaan kirjoittaa näin:
K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Siten voit nähdä, että lukujen 4 ja 6 pienin yhteinen kerrannainen on luku 24. Tämä merkintä tehdään seuraavasti:
LCM(4, 6) = 24
Kirjoita nyt molempien lukujen yhteiset tekijät. Meidän versiossamme se on kaksi ja viisi. Muissa tapauksissa tämä numero voi kuitenkin olla yksi, kaksi tai kolme numeroa tai jopa enemmän. Seuraavaksi sinun on työskenneltävä tutkintojen kanssa. Valitse kullekin tekijälle pienin teho. Esimerkissä se on kaksi toiselle potenssille ja viisi ensimmäiselle.
Lopuksi sinun tarvitsee vain kertoa saadut luvut. Meidän tapauksessamme kaikki on erittäin yksinkertaista: kaksi neliötä kerrottuna viidellä on 20. Näin ollen lukua 20 voidaan kutsua 60:n ja 80:n suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi.
Video aiheesta
Huomautus
Muista, että alkutekijä on luku, jolla on vain 2 jakajaa: yksi ja itse luku.
Hyödyllinen neuvo
Tämän menetelmän lisäksi voit käyttää myös euklidelaista algoritmia. Sen täydellinen kuvaus, esitetty geometrisessa muodossa, löytyy Euclidin kirjasta "Elements".
Aiheeseen liittyvä artikkeli
Luonnollisten murtolukujen yhteen- ja vähentäminen on mahdollista vain, jos niillä on sama nimittäjä. Jotta laskelmat eivät vaikeutuisi, kun ne tuodaan yhteen nimittäjään, etsi nimittäjien pienin yhteinen jakaja ja suorita laskenta.
Tarvitset
- - kyky laskea lukuja alkutekijöiksi;
- - kyky suorittaa operaatioita murtoluvuilla.
Ohjeet
Kirjoita murtolukujen yhteenlasku muistiin. Etsi sitten niiden pienin yhteinen kerrannainen. Voit tehdä tämän suorittamalla seuraavan toimintosarjan: 1. Kuvittele jokainen nimittäjä alkulukuina (alkuluku, luku, joka on jaollinen vain 1:llä ja itse ilman jäännöstä, esimerkiksi 2, 3, 5, 7, jne.).2. Ryhmittele kaikki yksinkertaiset, jotka on kirjoitettu, ilmoittamalla niiden tutkinnot. 3. Valitse kunkin näistä alkutekijöistä suurimmat potenssit, jotka esiintyvät näissä luvuissa. 4. Kerro kirjalliset valtuudet.
Esimerkiksi murto-osien yhteisnimittäjä, jonka nimittäjä on 15, 24 ja 36, on luku, joka voidaan laskea seuraavasti: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Kirjoita näiden lukujen kaikkien alkujakajien suurimmat potenssit: 2^3 3^2 5=360.
Jaa yhteinen nimittäjä kullakin ja yhteenlaskettavien murtolukujen nimittäjillä. Kerro niiden osoittajat saadulla luvulla. Kirjoita murtoluvun yhteisen rivin alle pienin yhteinen osinko, joka on myös pienin yhteinen nimittäjä. Lisää osoittajaan luvut, jotka saadaan kertomalla jokainen osoittaja pienimmän yhteisen kertoimen osamäärällä jaettuna murtoluvun nimittäjällä. Kaikkien osoittajien summa jaettuna pienimmällä yhteisellä nimittäjällä on haluttu luku.
Tee tämä esimerkiksi 4/15, 7/24 ja 11/36. Etsi pienin yhteinen nimittäjä, joka on 360. Jaa sitten 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Kerro luku 4, joka on ensimmäisen murtoluvun osoittaja, 24:llä (4 24=96), luku 7 15:llä (7 15=105), luku 11 luvulla 10 (11 10=110). Lisää sitten nämä luvut (96+105+110=301). Saamme tuloksen 4/15+7/24+11/36=301/360.
Lähteet:
- kuinka löytää pienin luku
Kokonaisluvut ovat erilaisia matemaattisia lukuja, joilla on monia sovelluksia jokapäiväisessä elämässä. Ei-negatiivisia kokonaislukuja käytetään osoittamaan objektien lukumäärää, negatiivisia lukuja - sääennusteviesteissä jne. GCD ja LCM ovat jakotoimintoihin liittyvien kokonaislukujen luonnollisia ominaisuuksia.
Ohjeet
GCD on helppo laskea euklidisella algoritmilla tai binäärimenetelmällä. Euklidisen algoritmin mukaan lukujen a ja b gcd:n määrittämiseksi, joista yksi ei ole nolla, on olemassa lukujono r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, jossa r_1 on yhtä kuin jakojäännös. ensimmäinen numero toisella. Ja sekvenssin muut jäsenet ovat yhtä suuria kuin jäännökset edellisen jäsenen jakamisesta edellisellä, ja toiseksi viimeinen elementti jaetaan viimeisellä ilman jäännöstä.
Matemaattisesti sarja voidaan esittää seuraavasti:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
jossa k_i on kokonaislukutekijä.
GCD (a, b) = r_n.
Esimerkki.
Etsi GCD (36, 120). Euklidisen algoritmin mukaan vähennä 120:sta luku, joka on 36:n kerrannainen, tässä tapauksessa se on 120 – 36*3 = 12. Vähennä nyt 120:sta luku, joka on 12:n kerrannainen, saat 120 – 12* 10 = 0. Siksi GCD (36, 120) = 12.
Binäärialgoritmi GCD:n löytämiseksi perustuu siirtoteoriaan. Tämän menetelmän mukaan kahden luvun gcd:llä on seuraavat ominaisuudet:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) parilliselle a:lle ja b:lle
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) parilliselle a:lle ja paritolle b (päinvastoin GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) parittomille a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) parittomille b > a
Siten gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2 = 3, 9) = 4*3 = 12.
Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen (LCM) on pienin kokonaisluku, joka on jaollinen molemmilla alkuperäisillä luvuilla jättämättä jäännöstä.
LCM voidaan laskea käyttämällä GCD:tä: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Toinen tapa laskea LCM on lukujen kanoninen tekijöiden jako alkutekijöiksi:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
missä r_i ovat alkulukuja ja k_i ja m_i ovat kokonaislukuja ≥ 0.
LCM esitetään samojen alkutekijöiden muodossa, joissa potenssiksi otetaan enintään kaksi lukua.
Esimerkki.
Etsi LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - pienin yhteinen kerrannainen. Luku, joka jakaa kaikki annetut luvut ilman jäännöstä.
Esimerkiksi jos annetut luvut ovat 2, 3, 5, niin LCM=2*3*5=30
Ja jos annetut luvut ovat 2,4,8, niin LCM =8
mikä on GCD?
GCD on suurin yhteinen jakaja. Luku, jota voidaan käyttää jakamaan jokainen annetuista numeroista jättämättä jäännöstä.
On loogista, että jos annetut luvut ovat alkulukuja, niin gcd on yhtä suuri kuin yksi.
Ja jos annetut luvut ovat 2, 4, 8, niin GCD on yhtä suuri kuin 2.
Emme kuvaile sitä yleisesti, vaan näytämme ratkaisun esimerkin avulla.
Annettu kaksi numeroa 126 ja 44. Etsi GCD.
Sitten jos meille annetaan kaksi muodon numeroa
Sitten GCD lasketaan muodossa
missä min on luvun pn kaikkien potenssien minimiarvo
ja NOC as
jossa max on luvun pn kaikkien potenssien maksimiarvo
Katsomalla yllä olevia kaavoja voit helposti todistaa, että kahden tai useamman luvun gcd on yhtä suuri kuin yksi, kun vähintään yhden annettujen arvojen parin joukossa on suhteellisen alkulukuja.
Siksi on helppo vastata kysymykseen, mitä tällaisten lukujen, kuten 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7, gcd on yhtä kuin laskematta mitään.
luvut 3 ja 7 ovat koprimeja, joten gcd = 1
Katsotaanpa esimerkkiä.
Annettiin kolme numeroa 24654, 25473 ja 954
Jokainen luku on jaettu seuraaviin tekijöihin
Tai jos kirjoitamme sen vaihtoehtoisessa muodossa
Eli näiden kolmen luvun gcd on yhtä suuri kuin kolme
No, voimme laskea LCM:n samalla tavalla, ja se on yhtä suuri kuin
Bottimme auttaa sinua laskemaan minkä tahansa kokonaisluvun, kaksi, kolme tai kymmenen, GCD:n ja LCM:n.
Jatketaan keskustelua pienimmästä yhteisestä kerrannaisesta, jonka aloitimme osiossa "LCM - pienin yhteinen kerrannainen, määritelmä, esimerkit." Tässä aiheessa tarkastellaan tapoja löytää LCM kolmelle tai useammalle luvulle, ja tarkastellaan kysymystä siitä, kuinka löytää negatiivisen luvun LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LCM:n (Least Common Multiple) laskeminen GCD:n kautta
Olemme jo määrittäneet suhteen pienimmän yhteiskerran ja suurimman yhteisen jakajan välille. Opitaan nyt määrittämään LCM GCD:n avulla. Ensin selvitetään, kuinka tämä tehdään positiivisille luvuille.
Määritelmä 1
Voit löytää pienimmän yhteisen kerrannaisen suurimman yhteisen jakajan kautta käyttämällä kaavaa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Esimerkki 1
Sinun on löydettävä numeroiden 126 ja 70 LCM.
Ratkaisu
Otetaan a = 126, b = 70. Korvataan arvot kaavaan, jolla lasketaan pienin yhteinen monikerta suurimman yhteisen jakajan kautta LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Löytää lukujen 70 ja 126 gcd:n. Tätä varten tarvitaan euklidinen algoritmi: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, joten GCD (126 , 70) = 14 .
Lasketaan LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Vastaus: LCM(126; 70) = 630.
Esimerkki 2
Etsi numerot 68 ja 34.
Ratkaisu
GCD:tä tässä tapauksessa ei ole vaikea löytää, koska 68 on jaollinen luvulla 34. Lasketaan pienin yhteinen kerrannainen kaavalla: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Vastaus: LCM(68; 34) = 68.
Tässä esimerkissä käytimme sääntöä positiivisten kokonaislukujen a ja b pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi: jos ensimmäinen luku on jaollinen toisella, näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin ensimmäinen luku.
LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöiksi
Katsotaanpa nyt menetelmää LCM:n löytämiseksi, joka perustuu tekijöiden laskemiseen alkutekijöiksi.
Määritelmä 2
Löytääksemme pienimmän yhteisen kerrannaisen meidän on suoritettava useita yksinkertaisia vaiheita:
- muodostamme kaikkien niiden lukujen alkutekijöiden tulon, joille meidän on löydettävä LCM;
- jätämme pois kaikki tärkeimmät tekijät niiden tuloksena olevista tuotteista;
- yhteisten alkutekijöiden eliminoinnin jälkeen saatu tulo on yhtä suuri kuin annettujen lukujen LCM.
Tämä menetelmä pienimmän yhteiskerran löytämiseksi perustuu yhtälöön LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jos katsot kaavaa, se käy selväksi: lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun hajoamiseen osallistuvien tekijöiden tulo. Tässä tapauksessa kahden luvun gcd on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun kertoimissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo.
Esimerkki 3
Meillä on kaksi numeroa 75 ja 210. Voimme laskea ne seuraavasti: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Jos muodostat kahden alkuperäisen luvun kaikkien tekijöiden tulon, saat: 2 3 3 5 5 5 7.
Jos jätetään pois sekä luvuille 3 että 5 yhteiset tekijät, saadaan seuraavan muotoinen tulo: 2 3 5 5 7 = 1050. Tämä tuote on meidän LCM numeroille 75 ja 210.
Esimerkki 4
Etsi numeroiden LCM 441 Ja 700 , laskemalla molemmat luvut alkutekijöiksi.
Ratkaisu
Etsitään kaikki ehdossa annettujen lukujen alkutekijät:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Saamme kaksi lukuketjua: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7.
Kaikkien näiden lukujen hajoamiseen osallistuneiden tekijöiden tulolla on muoto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Etsitään yhteisiä tekijöitä. Tämä on numero 7. Jätetään se pois kokonaistuotteesta: 2 2 3 3 5 5 7 7. Osoittautuu, että NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Vastaus: LOC(441; 700) = 44 100.
Esitetään toinen muotoilu menetelmästä LCM:n löytämiseksi hajottamalla luvut alkutekijöiksi.
Määritelmä 3
Aiemmin poistimme molemmille luvuille yhteisten tekijöiden kokonaismäärästä. Nyt teemme sen toisin:
- Otetaan molemmat luvut alkutekijöiksi:
- lisää ensimmäisen luvun alkutekijöiden tuloon toisen luvun puuttuvat tekijät;
- saamme tuotteen, joka on haluttu kahden luvun LCM.
Esimerkki 5
Palataan numeroihin 75 ja 210, joille etsimme jo LCM:ää yhdessä edellisistä esimerkeistä. Jaetaan ne yksinkertaisiin tekijöihin: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Kertoimien 3, 5 ja tuloon 5 numerot 75 lisäävät puuttuvat tekijät 2 Ja 7 numerot 210. Saamme: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Tämä on numeroiden 75 ja 210 LCM.
Esimerkki 6
On tarpeen laskea numeroiden 84 ja 648 LCM.
Ratkaisu
Jaetaan ehdon luvut yksinkertaisiksi tekijöiksi: 84 = 2 2 3 7 Ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisätään tuotteeseen kertoimet 2, 2, 3 ja 7
numerot 84 puuttuvat tekijät 2, 3, 3 ja
3
numerot 648. Saamme tuotteen 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Tämä on lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.
Vastaus: LCM(84, 648) = 4 536.
Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen
Riippumatta siitä, kuinka monen luvun kanssa olemme tekemisissä, toimiemme algoritmi on aina sama: löydämme peräkkäin kahden luvun LCM:n. Tälle tapaukselle on olemassa teoreema.
Lause 1
Oletetaan, että meillä on kokonaislukuja a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k nämä luvut saadaan laskemalla peräkkäin m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Katsotaan nyt, kuinka lausetta voidaan soveltaa tiettyjen ongelmien ratkaisemiseen.
Esimerkki 7
Sinun on laskettava neljän luvun 140, 9, 54 ja pienin yhteinen kerrannainen 250 .
Ratkaisu
Otetaan käyttöön merkintä: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Aloitetaan laskemalla m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Lasketaan euklidelaista algoritmia lukujen 140 ja 9 GCD:tä: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Saamme: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Siksi m 2 = 1 260.
Lasketaan nyt käyttämällä samaa algoritmia m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Laskelmien aikana saadaan m 3 = 3 780.
Meidän on vain laskettava m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Noudatamme samaa algoritmia. Saamme m 4 = 94 500.
Esimerkkiehdon neljän luvun LCM on 94500.
Vastaus: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kuten näette, laskelmat ovat yksinkertaisia, mutta melko työläitä. Voit säästää aikaa valitsemalla toisen tien.
Määritelmä 4
Tarjoamme sinulle seuraavan toiminta-algoritmin:
- hajotamme kaikki luvut alkutekijöiksi;
- ensimmäisen luvun tekijöiden tuloon lisäämme puuttuvat tekijät toisen luvun tulosta;
- edellisessä vaiheessa saatuun tuotteeseen lisätään kolmannen luvun puuttuvat tekijät jne.;
- tuloksena saatava tulo on ehdon kaikkien lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkki 8
Sinun on löydettävä viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Ratkaisu
Lasketaan kaikki viisi lukua alkutekijöiksi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Alkulukuja, joka on luku 7, ei voida ottaa huomioon alkutekijöissä. Tällaiset luvut osuvat yhteen niiden hajoamisen kanssa alkutekijöiksi.
Otetaan nyt luvun 84 alkutekijöiden 2, 2, 3 ja 7 tulo ja lisätään niihin toisen luvun puuttuvat tekijät. Jakoimme luvun 6 2:ksi ja 3:ksi. Nämä tekijät ovat jo ensimmäisen luvun tulossa. Siksi jätämme ne pois.
Jatkamme puuttuvien kertoimien lisäämistä. Jatketaan numeroon 48, jonka alkutekijöiden tulosta otetaan 2 ja 2. Sitten lasketaan neljännen luvun alkutekijä 7 ja viidennen luvun kertoimet 11 ja 13. Saamme: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tämä on alkuperäisen viiden luvun pienin yhteinen kerrannainen.
Vastaus: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.
Negatiivisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytäminen
Negatiivisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi nämä luvut on ensin korvattava luvuilla, joilla on vastakkainen etumerkki, ja sitten laskelmat on suoritettava yllä olevilla algoritmeilla.
Esimerkki 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ja LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Tällaiset toimet ovat sallittuja, koska hyväksymme sen a Ja − a- vastakkaiset numerot,
sitten luvun kerrannaisten joukko a vastaa luvun kerrannaisten joukkoa − a.
Esimerkki 10
On tarpeen laskea negatiivisten lukujen LCM − 145 Ja − 45 .
Ratkaisu
Korvataan numerot − 145 Ja − 45 vastakkaisiin numeroihinsa 145 Ja 45 . Nyt laskemme algoritmia käyttäen LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, kun olemme aiemmin määrittäneet GCD:n euklidisen algoritmin avulla.
Saatamme, että lukujen LCM on − 145 ja − 45 on yhtä suuri 1 305 .
Vastaus: LCM (− 145, − 45) = 1 305.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter