فرمول هایی برای ارقام ساده نحوه محاسبه مساحت یک شکل

دانش اندازه گیری زمین در دوران باستان پدیدار شد و به تدریج در علم هندسه شکل گرفت. این کلمه از یونانی به عنوان "بررسی زمین" ترجمه شده است.

اندازه گیری وسعت یک بخش مسطح از زمین در طول و عرض مساحت است. در ریاضیات، معمولاً با حرف لاتین S (از انگلیسی "مربع" - "مربع") یا حرف یونانی σ (سیگما) نشان داده می شود. S نشان دهنده مساحت یک شکل در یک صفحه یا سطح یک جسم است و σ سطح مقطع یک سیم در فیزیک است. اینها نمادهای اصلی هستند، اگرچه ممکن است موارد دیگری نیز وجود داشته باشد، به عنوان مثال، در زمینه استحکام مواد، A سطح مقطع پروفیل است.

در تماس با

فرمول های محاسباتی

با دانستن مناطق شکل های ساده، می توانید پارامترهای پیچیده تر را پیدا کنید.. ریاضیدانان باستان فرمول هایی را توسعه دادند که می توان به راحتی آنها را محاسبه کرد. چنین شکل هایی مثلث، چهار گوش، چند ضلعی، دایره است.

برای یافتن مساحت یک شکل صفحه پیچیده، آن را به شکل های ساده زیادی مانند مثلث، ذوزنقه یا مستطیل تقسیم می کنیم. سپس با استفاده از روش های ریاضی فرمولی برای مساحت این شکل به دست می آید. روش مشابهی نه تنها در هندسه، بلکه در تحلیل ریاضی نیز برای محاسبه مساحت ارقام محدود شده توسط منحنی ها استفاده می شود.

مثلث

بیایید با ساده ترین شکل - یک مثلث شروع کنیم. آنها مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع هستند. هر مثلث ABC را با اضلاع AB=a، BC=b و AC=c (∆ ABC) در نظر بگیرید. برای یافتن مساحت آن، قضایای سینوس و کسینوس شناخته شده از درس ریاضیات مدرسه را به یاد بیاوریم. با رها کردن تمام محاسبات، به فرمول های زیر می رسیم:

S=√ - فرمول هرون که برای همه شناخته شده است، که در آن p=(a+b+c)/2 نیم محیط مثلث است.
S=a h/2، که در آن h ارتفاع کاهش یافته به سمت a است.
S=a b (sin γ)/2، که γ زاویه بین اضلاع a و b است.
S=a b/2، اگر ∆ ABC مستطیل شکل باشد (در اینجا a و b پاها هستند).
S=b² (sin (2β))/2، اگر ∆ ABC متساوی الساقین باشد (در اینجا b یکی از "لگن" است، β زاویه بین "لسن" مثلث است).
S=a² √¾، اگر ∆ ABC متساوی الاضلاع باشد (در اینجا a یک ضلع مثلث است).

چهار گوش

بگذارید یک ABCD چهار ضلعی با AB=a، BC=b، CD=c، AD=d وجود داشته باشد. برای پیدا کردن مساحت S یک 4 ضلعی دلخواه، باید آن را بر مورب به دو مثلث تقسیم کنید که در حالت کلی مناطق S1 و S2 برابر نیستند.

سپس از فرمول ها برای محاسبه و اضافه کردن آنها استفاده کنید، یعنی S=S1+S2. با این حال، اگر یک 4-gon متعلق به یک کلاس خاص باشد، می توان مساحت آن را با استفاده از فرمول های قبلاً شناخته شده پیدا کرد:

S=(a+c) h/2=e h، اگر چهار ضلعی ذوزنقه باشد (در اینجا a و c پایه هستند، e خط وسط ذوزنقه است، h ارتفاعی است که به یکی از پایه های ذوزنقه پایین می آید.
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2، اگر ABCD متوازی الاضلاع باشد (در اینجا φ زاویه بین ضلع a و b است، h ارتفاع کاهش یافته به ضلع a است، d1 و d2 مورب هستند).
S=a b=d²/2، اگر ABCD یک مستطیل باشد (d یک مورب است).
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2، اگر ABCD لوزی باشد (a سمت لوزی است، φ یکی از زوایای آن است، P محیط است).
S=a²=P²/16=d²/2، اگر ABCD مربع باشد.

چند ضلعی

برای یافتن مساحت یک n-gon، ریاضیدانان آن را به ساده ترین شکل های مساوی - مثلث ها تقسیم می کنند، مساحت هر یک از آنها را پیدا کرده و سپس آنها را اضافه می کنند. اما اگر چند ضلعی متعلق به کلاس منظم است، از فرمول استفاده کنید:

S=a n h/2=a² n/=P²/، که n تعداد رئوس (یا اضلاع) چند ضلعی است، a ضلع n-ضلعی، P محیط آن، h آپوتم است، یعنی a. قطعه ای که از مرکز چند ضلعی به یکی از اضلاع آن با زاویه 90 درجه کشیده شده است.

دایره

دایره یک چند ضلعی کامل با تعداد اضلاع نامتناهی است. ما باید حد عبارت سمت راست را در فرمول مساحت یک چندضلعی با تعداد ضلع n که به بی نهایت تمایل دارند محاسبه کنیم. در این صورت محیط چند ضلعی به طول دایره ای به شعاع R که مرز دایره ما خواهد بود تبدیل می شود و برابر P=2 π R می شود. این عبارت را جایگزین فرمول بالا کنید. به دست خواهیم آورد:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

حد این عبارت را به صورت n→∞ پیدا می کنیم. برای انجام این کار، در نظر می گیریم که lim (cos (180°/n)) برای n→∞ برابر است با cos 0°=1 (lim علامت حد است) و lim = lim برای n→∞ برابر است. برابر با 1/π (ما با استفاده از رابطه π rad=180 درجه را به رادیان تبدیل کردیم و اولین حد قابل توجه (sin x)/x=1 را در x→∞ اعمال کردیم. با جایگزینی مقادیر به دست آمده در آخرین عبارت برای S، به فرمول معروف می رسیم:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

واحدها

از واحدهای اندازه گیری سیستمیک و غیر سیستمی استفاده می شود. واحدهای سیستم متعلق به SI (System International) هستند. این یک متر مربع (متر مربع، متر مربع) است و واحدهای حاصل از آن: mm²، cm²، km².

به عنوان مثال، در میلی متر مربع (mm²)، سطح مقطع سیم ها را در مهندسی برق اندازه گیری می کنند، در سانتی متر مربع (cm²) - سطح مقطع تیر در مکانیک سازه، در متر مربع (m²) - در یک آپارتمان یا خانه، در کیلومتر مربع (کیلومتر مربع) - در جغرافیا.

اما گاهی اوقات از واحدهای اندازه گیری غیر سیستمی مانند: بافت، ار (الف)، هکتار (هکتار) و جریب (ع) استفاده می شود. اجازه دهید روابط زیر را ارائه کنیم:

1 صد متر مربع = 1 a = 100 متر مربع = 0.01 هکتار;
1 هکتار = 100 a = 100 هکتار = 10000 متر مربع = 0.01 کیلومتر مربع = 2.471 ac;
1 ac = 4046.856 متر مربع = 40.47 a = 40.47 هکتار = 0.405 هکتار.

فرمول مساحتبرای تعیین مساحت یک شکل، که یک تابع با ارزش واقعی است که بر روی کلاس خاصی از شکل های صفحه اقلیدسی تعریف شده و 4 شرط را برآورده می کند، ضروری است:

مثبت - مساحت نمی تواند کمتر از صفر باشد.
عادی سازی - یک مربع با واحد جانبی دارای مساحت 1 است.
همخوانی - ارقام متجانس دارای مساحت مساوی هستند.
افزایشی - مساحت اتحاد 2 شکل بدون نقاط مشترک داخلی برابر است با مجموع مساحت این ارقام.

فرمول های مساحت اشکال هندسی.

شکل هندسی	فرمول	طراحی
حاصل جمع کردن فواصل بین نقاط میانی اضلاع مقابل یک چهارضلعی محدب برابر با نیم محیط آن خواهد بود.
بخش دایره مساحت یک بخش از یک دایره برابر است با حاصل ضرب قوس آن و نصف شعاع آن.
بخش دایره. برای بدست آوردن مساحت قطعه ASB کافی است مساحت مثلث AOB را از مساحت بخش AOB کم کنید.	S = 1/2 R(s - AC)
مساحت بیضی برابر است با حاصل ضرب طول نیم محورهای اصلی و فرعی بیضی و عدد پی.
بیضی. گزینه دیگر برای محاسبه مساحت یک بیضی از طریق دو شعاع آن است.
مثلث. از طریق پایه و ارتفاع. فرمول مساحت دایره با استفاده از شعاع و قطر آن.
مربع . از طریق او. مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع آن.
مربع. از طریق مورب های آن. مساحت مربع برابر با نصف مربع طول قطر آن است.
چند ضلعی منتظم. برای تعیین مساحت یک چند ضلعی منتظم، لازم است آن را به مثلث های مساوی تقسیم کنیم که یک راس مشترک در مرکز دایره محاطی داشته باشند.	S= r p = 1/2 r n a

برای حل مسائل هندسی، باید فرمول هایی - مانند مساحت مثلث یا مساحت متوازی الاضلاع - و همچنین تکنیک های ساده ای را بدانید که به آنها خواهیم پرداخت.

ابتدا بیایید فرمول های مساحت شکل ها را یاد بگیریم. ما آنها را به طور ویژه در یک جدول مناسب جمع آوری کرده ایم. چاپ کنید، یاد بگیرید و اعمال کنید!

البته همه فرمول های هندسی در جدول ما نیستند. به عنوان مثال، برای حل مسائل هندسه و استریومتری در بخش دوم پروفایل یکپارچه آزمون ریاضیات، از فرمول های دیگری برای مساحت یک مثلث استفاده می شود. ما حتما در مورد آنها به شما خواهیم گفت.

اما اگر لازم باشد نه مساحت ذوزنقه یا مثلث، بلکه مساحت یک شکل پیچیده را پیدا کنید، چه؟ راه های جهانی وجود دارد! ما با استفاده از نمونه هایی از بانک وظیفه FIPI به آنها نشان خواهیم داد.

1. چگونه می توان مساحت یک شکل غیر استاندارد را پیدا کرد؟ مثلاً یک چهارضلعی دلخواه؟ یک تکنیک ساده - بیایید این شکل را به آنهایی که همه چیز درباره آنها می دانیم تقسیم کنیم و مساحت آن را پیدا کنیم - به عنوان مجموع مساحت های این شکل ها.

این چهار ضلعی را با خط افقی به دو مثلث با قاعده مشترک برابر تقسیم کنید. ارتفاع این مثلث ها برابر است و . سپس مساحت چهارضلعی برابر است با مجموع مساحت های دو مثلث: .

پاسخ: .

2. در برخی موارد، مساحت یک شکل را می توان به عنوان تفاوت برخی از مناطق نشان داد.

محاسبه این که قاعده و ارتفاع این مثلث با چه چیزی برابری می کند چندان آسان نیست! اما می توان گفت مساحت آن برابر است با اختلاف مساحت مربع با ضلع و سه مثلث قائم الزاویه. آیا آنها را در تصویر می بینید؟ ما گرفتیم: .

پاسخ: .

3. گاهی اوقات در یک کار باید مساحت کل شکل، بلکه بخشی از آن را پیدا کنید. معمولاً در مورد مساحت یک بخش - بخشی از یک دایره صحبت می کنیم. مساحت یک بخش از یک دایره با شعاع را پیدا کنید که طول قوس آن برابر است با .

در این تصویر بخشی از یک دایره را می بینیم. مساحت کل دایره برابر است با . باقی مانده است که بفهمیم کدام قسمت از دایره به تصویر کشیده شده است. از آنجایی که طول کل دایره برابر است (از ) و طول قوس یک بخش معین برابر است بنابراین، طول کمان چندین برابر طول کل دایره است. زاویه ای که این قوس در آن قرار می گیرد نیز ضریب کمتر از یک دایره کامل (یعنی درجه) است. این بدان معنی است که مساحت بخش چندین برابر کوچکتر از مساحت کل دایره خواهد بود.

مساحت یک شکل هندسی- یک مشخصه عددی یک شکل هندسی که اندازه این شکل را نشان می دهد (بخشی از سطح محدود شده توسط کانتور بسته این شکل). اندازه مساحت با تعداد واحدهای مربع موجود در آن بیان می شود.

فرمول های مساحت مثلث

فرمول مساحت یک مثلث در کنار و ارتفاع
مساحت یک مثلثبرابر با نصف حاصلضرب طول یک ضلع مثلث و طول ارتفاع کشیده شده به این ضلع
فرمول مساحت مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره دایره
فرمول مساحت یک مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره محاط شده
مساحت یک مثلثبرابر است با حاصل ضرب نیم محیط مثلث و شعاع دایره محاطی.

فرمول های مساحت مربع

فرمول مساحت مربع در طول ضلع
مساحت مربعبرابر مربع طول ضلع آن است.
فرمول مساحت مربع در طول مورب
مساحت مربعبرابر با نصف مربع طول قطر آن است.
S= 1 2
2

فرمول مساحت مستطیل

مساحت یک مستطیل

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع

فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس طول و ارتفاع ضلع
مساحت متوازی الاضلاع
فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس دو ضلع و زاویه بین آنها
مساحت متوازی الاضلاعبرابر است با حاصل ضرب طول اضلاع آن در سینوس زاویه بین آنها.
a b sin α

فرمول های مساحت یک لوزی

فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و ارتفاع ضلع
مساحت یک لوزیبرابر با حاصلضرب طول ضلع آن و طول ارتفاع پایین آمده به این سمت.
فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و زاویه ضلع
مساحت یک لوزیبرابر است با حاصل ضرب مربع طول ضلع آن و سینوس زاویه بین اضلاع لوزی.
فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول قطرهای آن
مساحت یک لوزیبرابر با نصف حاصلضرب طول قطرهای آن است.

فرمول های ناحیه ذوزنقه ای

فرمول هرون برای ذوزنقه
جایی که S مساحت ذوزنقه است،
- طول پایه های ذوزنقه،
- طول اضلاع ذوزنقه،

مساحت اشکال هندسی مقادیر عددی است که اندازه آنها را در فضای دو بعدی مشخص می کند. این مقدار را می توان در واحدهای سیستمی و غیر سیستمی اندازه گیری کرد. بنابراین، برای مثال، یک واحد غیر سیستمی مساحت یک صدم، یک هکتار است. این در صورتی است که سطح مورد اندازه گیری یک قطعه زمین باشد. واحد سیستم مساحت مربع طول است. در سیستم SI واحد سطح مسطح متر مربع است. در GHS واحد مساحت به صورت سانتی متر مربع بیان می شود.

فرمول های هندسه و مساحت به طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. این ارتباط در این واقعیت نهفته است که محاسبه مساحت ارقام صفحه دقیقاً بر اساس کاربرد آنها است. برای بسیاری از ارقام، چندین گزینه به دست می آید که ابعاد مربع آنها محاسبه می شود. بر اساس داده های بیانیه مشکل، می توانیم ساده ترین راه حل ممکن را تعیین کنیم. این امر محاسبات را تسهیل می کند و احتمال خطاهای محاسباتی را به حداقل می رساند. برای انجام این کار، حوزه های اصلی اشکال در هندسه را در نظر بگیرید.

فرمول های پیدا کردن مساحت هر مثلث در چندین گزینه ارائه شده است:

1) مساحت مثلث از قاعده a و ارتفاع h محاسبه می شود. پایه به سمتی از شکل در نظر گرفته می شود که ارتفاع روی آن پایین آمده است. سپس مساحت مثلث برابر است با:

2) مساحت مثلث قائم الزاویه به همین ترتیب محاسبه می شود اگر هیپوتانوس قاعده در نظر گرفته شود. اگر ساق را به عنوان پایه در نظر بگیریم، مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با حاصل ضرب پاهای نصف شده خواهد بود.

فرمول های محاسبه مساحت هر مثلث به همین جا ختم نمی شود. عبارت دیگر شامل اضلاع a،b و تابع سینوسی زاویه γ بین a و b است. مقدار سینوس در جداول یافت می شود. شما همچنین می توانید آن را با استفاده از ماشین حساب پیدا کنید. سپس مساحت مثلث برابر است با:

با استفاده از این تساوی، می توانید مطمئن شوید که مساحت یک مثلث قائم الزاویه از طریق طول پاها تعیین می شود. زیرا زاویه γ یک زاویه قائمه است، بنابراین مساحت مثلث قائم الزاویه بدون ضرب در تابع سینوس محاسبه می شود.

3) یک مورد خاص را در نظر بگیرید - مثلثی منظم که ضلع a با شرط مشخص است یا هنگام حل می توان طول آن را پیدا کرد. چیز بیشتری در مورد شکل در مسئله هندسه شناخته شده نیست. سپس چگونه می توان منطقه را تحت این شرایط پیدا کرد؟ در این مورد، فرمول مساحت یک مثلث منظم اعمال می شود:

مستطیل

چگونه مساحت یک مستطیل را پیدا کنیم و از ابعاد اضلاع که راس مشترک دارند استفاده کنیم؟ عبارت محاسبه این است:

اگر برای محاسبه مساحت یک مستطیل نیاز به استفاده از طول مورب ها دارید، به تابعی از سینوس زاویه ای که هنگام تقاطع آنها تشکیل می شود نیاز دارید. این فرمول برای مساحت مستطیل به صورت زیر است:

مربع

مساحت مربع به عنوان توان دوم طول ضلع تعیین می شود:

اثبات از تعریف مستطیل است. تمام ضلع هایی که مربع را تشکیل می دهند دارای ابعاد یکسانی هستند. بنابراین، محاسبه مساحت چنین مستطیلی به ضرب یکی در دیگری، یعنی به توان دوم ضلع می رسد. و فرمول محاسبه مساحت مربع به شکل دلخواه در می آید.

مساحت یک مربع را می توان به روش دیگری پیدا کرد، به عنوان مثال، اگر از قطر استفاده کنید:

چگونه می توان مساحت شکلی را که توسط قسمتی از صفحه که توسط یک دایره محدود شده است محاسبه کرد؟ برای محاسبه مساحت، فرمول ها عبارتند از:

متوازی الاضلاع

برای متوازی الاضلاع، فرمول شامل ابعاد خطی ضلع، ارتفاع و عملیات ریاضی - ضرب است. اگر ارتفاع ناشناخته است، پس چگونه می توان مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کرد؟ روش دیگری برای محاسبه وجود دارد. مقدار مشخصی مورد نیاز خواهد بود که با تابع مثلثاتی زاویه تشکیل شده توسط اضلاع مجاور و همچنین طول آنها گرفته می شود.

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع عبارتند از:

لوزی

چگونه مساحت یک چهارضلعی به نام لوزی را پیدا کنیم؟ مساحت یک لوزی با استفاده از ریاضیات ساده با قطر تعیین می شود. اثبات بر این واقعیت استوار است که بخش‌های مورب در d1 و d2 در زوایای قائمه همدیگر را قطع می‌کنند. جدول سینوس ها نشان می دهد که برای یک زاویه قائمه این تابع برابر با واحد است. بنابراین مساحت یک لوزی به صورت زیر محاسبه می شود:

مساحت یک لوزی را می توان به روش دیگری نیز یافت. با توجه به اینکه طول اضلاع آن یکسان است، اثبات این نیز دشوار نیست. سپس حاصل ضرب آنها را با یک عبارت مشابه برای متوازی الاضلاع جایگزین کنید. پس از همه، یک مورد خاص از این شکل خاص یک لوزی است. در اینجا γ زاویه داخلی لوزی است. مساحت یک لوزی به صورت زیر تعیین می شود:

ذوزنقه

اگر مشکل نشان دهنده طول آنها باشد چگونه می توان مساحت ذوزنقه را از طریق پایه های (a و b) پیدا کرد؟ در اینجا، بدون مقدار مشخصی از طول ارتفاع h، محاسبه مساحت چنین ذوزنقه ای امکان پذیر نخواهد بود. زیرا این مقدار شامل عبارت برای محاسبه است:

اندازه مربع ذوزنقه مستطیلی را نیز می توان به همین ترتیب محاسبه کرد. در نظر گرفته شده است که در یک ذوزنقه مستطیلی، مفاهیم ارتفاع و ضلع با هم ترکیب شده اند. بنابراین، برای یک ذوزنقه مستطیلی، باید به جای ارتفاع، طول ضلع جانبی را مشخص کنید.

استوانه ای و موازی

بیایید در نظر بگیریم که برای محاسبه سطح کل سیلندر چه چیزی لازم است. مساحت این شکل یک جفت دایره به نام پایه و یک سطح جانبی است. دایره های تشکیل دهنده دایره ها دارای طول شعاع برابر با r هستند. برای مساحت یک استوانه محاسبه زیر انجام می شود:

چگونه مساحت یک متوازی الاضلاع را که از سه جفت وجه تشکیل شده است پیدا کنیم؟ اندازه گیری های آن با جفت خاص مطابقت دارد. چهره های مقابل هم پارامترهای یکسانی دارند. ابتدا S(1)، S(2)، S(3) - ابعاد مربع چهره های نابرابر را پیدا کنید. سپس مساحت سطح متوازی الاضلاع برابر است با:

حلقه

دو دایره با یک مرکز مشترک یک حلقه را تشکیل می دهند. آنها همچنین مساحت حلقه را محدود می کنند. در این حالت، هر دو فرمول محاسبه، ابعاد هر دایره را در نظر می گیرند. اولین آنها، با محاسبه مساحت حلقه، شامل شعاع R بزرگتر و کوچکتر است. اغلب آنها خارجی و داخلی نامیده می شوند. در عبارت دوم، مساحت حلقه از طریق قطرهای بزرگتر D و d کوچکتر محاسبه می شود. بنابراین، مساحت حلقه بر اساس شعاع های شناخته شده به صورت زیر محاسبه می شود:

مساحت حلقه با استفاده از طول قطرها به صورت زیر تعیین می شود:

چند ضلعی

چگونه مساحت چند ضلعی را که شکل آن منظم نیست پیدا کنیم؟ هیچ فرمول کلی برای مساحت چنین ارقامی وجود ندارد. اما اگر در یک صفحه مختصات به تصویر کشیده شده است، به عنوان مثال می تواند کاغذ شطرنجی باشد، پس چگونه می توان سطح سطح را در این مورد پیدا کرد؟ در اینجا آنها از روشی استفاده می کنند که نیازی به اندازه گیری تقریباً ندارد. آنها این کار را انجام می دهند: اگر نقاطی را پیدا کنند که در گوشه سلول قرار می گیرند یا مختصات کامل دارند، فقط آنها را در نظر می گیرند. سپس برای اینکه بفهمید مساحت چیست، از فرمول اثبات شده توسط Peake استفاده کنید. لازم است تعداد نقاط واقع در داخل خط شکسته را با نصف نقاطی که روی آن قرار دارند جمع کرده و یک را کم کنید، یعنی به این ترتیب محاسبه می شود:

که در آن B، G - تعداد نقاط واقع در داخل و روی کل خط شکسته، به ترتیب.