Абсолютните и относителните грешки се използват за оценка на неточността при много сложни изчисления. Те се използват и при различни измервания и за закръгляване на резултатите от изчисленията. Нека да разгледаме как да определим абсолютната и относителната грешка.

Абсолютна грешка

Абсолютна грешка на числотоизвикайте разликата между това число и точната му стойност.
Нека разгледаме един пример : В училището учат 374 ученика. Ако закръглим това число до 400, тогава абсолютната грешка на измерване е 400-374=26.

За да изчислите абсолютната грешка, трябва да извадите по-малкото число от по-голямото число.

Има формула за абсолютна грешка. Нека означим точното число с буквата А, а буквата а - приближението до точното число. Приблизителното число е число, което се различава малко от точното и обикновено го замества в изчисленията. Тогава формулата ще изглежда така:

Δa=A-a. Обсъдихме по-горе как да намерим абсолютната грешка с помощта на формулата.

На практика абсолютната грешка не е достатъчна за точна оценка на измерването. Рядко е възможно да се знае точната стойност на измереното количество, за да се изчисли абсолютната грешка. Измервайки книга с дължина 20 см и допускайки грешка от 1 см, може да се счита, че измерването е с голяма грешка. Но ако е направена грешка от 1 см при измерване на стена от 20 метра, това измерване може да се счита за възможно най-точно. Следователно на практика определянето на относителната грешка при измерване е по-важно.

Запишете абсолютната грешка на числото, като използвате знака ±. Например , дължината на една ролка тапет е 30 м ± 3 см. Границата на абсолютната грешка се нарича максимална абсолютна грешка.

Относителна грешка

Относителна грешкаТе наричат отношението на абсолютната грешка на число към самото число. За да изчислим относителната грешка в примера с учениците, разделяме 26 на 374. Получаваме числото 0,0695, превръщаме го в процент и получаваме 6%. Относителната грешка се обозначава като процент, тъй като е безразмерна величина. Относителната грешка е точна оценка на грешката на измерване. Ако вземем абсолютна грешка от 1 cm при измерване на дължината на сегменти от 10 cm и 10 m, тогава относителните грешки ще бъдат равни съответно на 10% и 0,1%. За сегмент с дължина 10 cm грешка от 1 cm е много голяма, това е грешка от 10%. Но за десетметров сегмент 1 см няма значение, само 0,1%.

Има систематични и случайни грешки. Систематична е грешката, която остава непроменена при многократни измервания. Случайната грешка възниква в резултат на влиянието на външни фактори върху процеса на измерване и може да промени стойността си.

Правила за изчисляване на грешки

Има няколко правила за номинална оценка на грешките:

при събиране и изваждане на числа е необходимо да се сумират техните абсолютни грешки;
при деление и умножение на числа е необходимо да се добавят относителни грешки;
Когато се повдигне на степен, относителната грешка се умножава по експонентата.

Приблизителните и точните числа се записват с десетични дроби. Взема се само средната стойност, тъй като точната стойност може да бъде безкрайно дълга. За да разберете как да напишете тези числа, трябва да научите за истинските и съмнителните числа.

Истинските числа са тези числа, чийто ранг надвишава абсолютната грешка на числото. Ако цифрата на цифрата е по-малка от абсолютната грешка, тя се нарича съмнителна. Например , за дробта 3.6714 с грешка 0.002 правилните числа ще бъдат 3,6,7, а съмнителните ще са 1 и 4. В записа на приблизителното число са оставени само правилните числа. Дробта в този случай ще изглежда така - 3,67.

Какво научихме?

За оценка на точността на измерванията се използват абсолютни и относителни грешки. Абсолютната грешка е разликата между точно и приблизително число. Относителната грешка е съотношението на абсолютната грешка на число към самото число. На практика се използва относителна грешка, тъй като е по-точна.

Тест по темата

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.2. Общо получени оценки: 603.

Здравейте, форумци! Искам да попитам всички за формулата за определяне на максимално допустимата грешка при определяне на площта за съхранение. Много е писано по въпроса за точковата грешка, но много, много малко е писано за площната грешка.
В момента, поради факта, че няма одобрени формули, във всички програми, в които работят кадастрални инженери, се използват две формули... - една от „методическите препоръки за извършване на измерване на земята“ (одобрена от Roszemkadastr от 02/ 17/2003), изглежда - ΔР= 3,5 Mt √Р
второ от „Инструкции за земеустройство“ (одобрени от Roskomzem 08.04.1996 г.), не е възможно да се напише правилно, но разбирате...
Искам да обсъдя използването на формула № 1 от метода.препоръки.. ΔР= 3,5 Mt √Р
Честно казано, за мой срам, никога не съм разглеждал внимателно и анализирал тези формули задълбочено, оставяйки това на съвестта на разработчиците на софтуер, т.е. смята, че грешката е в програмата..... но сега, след като се преместих в друг град, обстоятелствата наложиха....
Много добре знаете, че има случаи (и то често), когато в заповед, указ и др. струва една площ, но всъщност (поради обстоятелства) е малко по-различна, моля, не я бъркайте с 10% и подобни увеличения при изясняване.
Винаги използвах първата формула по подразбиране и бях изненадан от забележката на локалния контролен център - „защо имате действителната площ под знака на корена?“ Първоначално, естествено, исках да се възмущавам, но след това все пак реших да прочета теоретичната част, разбрах откъде растат краката.... и изглежда, че KP е прав... В изходния код, т.е. Методичните препоръки дават напълно разбираемо обяснение на допустимата грешка. И основното е, че документната област от разрешителните се използва под знака на корена...
Писах на разработчиците на софтуер с молба за коментари по този въпрос и така - тяхната позиция накратко - „под корена трябва да има действителна област, защото това следва от заповедта 921...
„Формулите, използвани за изчисляване на максимално допустимата грешка при определяне на площта на парцелите (части от парцели) (), са посочени в граничния план със стойностите, заместени в тези формули и резултати от изчисленията„И изглежда логично...
Но не е съвсем логично другата формула от инструкциите да използва действителната площ. Е, не може да бъде така... Със сигурност не съм математик, но ако искате да получите резултата от изчисленията, формулите може да са различни, но изходните кодове няма да бъдат...
Така че, господа и дами, много добре знам, че докато няма нормативен нормативен акт, няма как да има консенсус, но все пак! Кой има тази формула в софтуера си??? Вече дори не заеквам колко правилно е... да се използва действителната или допустимата област под корена?
Вече питах колеги, които работят в друг софтуер, и се оказа, че те изчисляват формулата точно по методическите препоръки, т.е. въз основа на тяхната разрешителна площ, това означава кой отива в гората - кой иска дърва...
Иначе сега имам малко разклонение - агенцията по кадастъра размахват пръст и заплашват "няма да приемем", нищо не мога да променя в програмата, разработчиците си защитават позицията.. но аз съм малко объркан с аргументацията..
Разбира се, ще се опитам да направя граница, използвайки втората формула, но просто се страхувам, че KP, по аналогия, няма да започне да изисква зоната от разрешителните и там.

Неразделна част от всяко измерване е грешката на измерването. С развитието на апаратурата и измервателните техники човечеството се стреми да намали влиянието на това явление върху крайния резултат от измерването. Предлагам да разберем по-подробно въпроса каква е грешката при измерване.

Грешка в измерванетое отклонението на резултата от измерването от истинската стойност на измерената стойност. Грешката на измерване е сборът от грешки, всяка от които има своя собствена причина.

Според формата на числовото изразяване грешките на измерване се делят на абсолютенИ роднина

– това е грешката, изразена в единици на измерената стойност. Определя се от израза.

(1.2), където X е резултатът от измерването; X 0 е истинската стойност на това количество.

Тъй като истинската стойност на измереното количество остава неизвестна, на практика се използва само приблизителна оценка на абсолютната грешка на измерване, определена от израза

(1.3), където X d е действителната стойност на това измерено количество, което с грешка при определянето му се приема за истинска стойност.

е отношението на абсолютната грешка на измерване към действителната стойност на измереното количество:

Според модела на възникване на грешките при измерване те се разделят на систематичен, прогресивен,И случаен.

Систематична грешка– това е грешка при измерване, която остава постоянна или се променя естествено при повтарящи се измервания на едно и също количество.

Прогресивен грешка– Това е непредсказуема грешка, която се променя бавно с времето.

СистематиченИ прогресивенгрешките в измервателните уреди са причинени от:

първият - чрез грешка при калибриране на скалата или нейното леко изместване;
вторият - стареене на елементите на измервателния уред.

Систематичната грешка остава постоянна или се променя естествено при многократни измервания на едно и също количество. Особеността на систематичната грешка е, че тя може да бъде напълно елиминирана чрез въвеждане на корекции. Особеността на прогресивните грешки е, че те могат да бъдат коригирани само в даден момент от времето. Те изискват постоянна корекция.

Случайна грешка– тази грешка на измерване варира произволно. При многократни измервания на едно и също количество. Случайни грешки могат да бъдат открити само чрез повтарящи се измервания. За разлика от систематичните грешки, случайните не могат да бъдат елиминирани от резултатите от измерването.

По произход се разграничават инструменталнаИ методическигрешки на измервателните уреди.

Инструментални грешки- това са грешки, причинени от свойствата на измервателните уреди. Те възникват поради недостатъчно високо качество на елементите на измервателния уред. Тези грешки включват производството и монтажа на елементите на измервателния уред; грешки, дължащи се на триене в механизма на устройството, недостатъчна твърдост на неговите елементи и части и др. Подчертаваме, че инструменталната грешка е индивидуална за всеки измервателен уред.

Методическа грешка- това е грешката на измервателния уред, която възниква поради несъвършенството на метода на измерване, неточността на съотношението, използвано за оценка на измерената стойност.

Грешки на измервателните уреди.

е разликата между неговата номинална стойност и истинската (реална) стойност на възпроизведеното от него количество:

(1.5), където X n е номиналната стойност на мярката; X d – действителната стойност на мярката

е разликата между показанията на инструмента и истинската (действителната) стойност на измерената стойност:

(1.6), където X p – показанията на прибора; X d – действителната стойност на измерваната величина.

е отношението на абсолютната грешка на мярка или измервателно устройство към истинската

(реална) стойност на възпроизведеното или измерено количество. Относителната грешка на мярка или измервателно устройство може да бъде изразена в (%).

(1.7)

– отношението на грешката на измервателния уред към стандартната стойност. Нормализиращата стойност XN е конвенционално приета стойност, равна или на горната граница на измерване, или на обхвата на измерване, или на дължината на скалата. Дадената грешка обикновено се изразява в (%).

(1.8)

Граница на допустимата грешка на средствата за измерване– най-голямата грешка на средство за измерване, без да се отчита признакът, по който то може да бъде разпознато и одобрено за използване. Това определение се отнася за основните и допълнителните грешки, както и за вариацията на показанията. Тъй като свойствата на измервателните уреди зависят от външни условия, техните грешки също зависят от тези условия, поради което грешките на измервателните уреди обикновено се разделят на основенИ допълнителен.

Основен– това е грешката на измервателния уред, използван при нормални условия, които обикновено са определени в нормативните и технически документи за този измервателен уред.

Допълнителен– това е промяна в грешката на средство за измерване поради отклонение на въздействащите величини от нормалните стойности.

Грешките на измервателните уреди също се разделят на статиченИ динамичен.

Статичное грешката на измервателния уред, използван за измерване на постоянна стойност. Ако измерваната величина е функция на времето, то поради инертността на средствата за измерване възниква компонент от общата грешка, т.нар. динамиченгрешка на измервателните уреди.

Също така има систематиченИ случаенгрешките на измервателните уреди са подобни при еднакви грешки на измерване.

Фактори, влияещи върху грешката на измерване.

Грешките възникват по различни причини: това може да са грешки на експериментатора или грешки, дължащи се на използването на устройството за други цели и т.н. Съществуват редица понятия, които определят факторите, влияещи върху грешката при измерване

Вариация на показанията на инструмента– това е най-голямата разлика в показанията, получени при прав и обратен ход при една и съща реална стойност на измерваната величина и постоянни външни условия.

Клас на точност на инструмента- това е обобщена характеристика на измервателен уред (устройство), определена от границите на допустимите основни и допълнителни грешки, както и други свойства на средствата за измерване, които влияят на точността, чиято стойност е установена за определени видове измервателни уреди .

Класовете на точност на дадено устройство се установяват при пускане, като се калибрира спрямо стандартно устройство при нормални условия.

Прецизност- показва колко точно или ясно може да се направи четене. Определя се от това колко близки са резултатите от две еднакви измервания.

Разделителна способност на устройствотое най-малката промяна в измерената стойност, на която устройството ще реагира.

Обхват на инструмента— определя се от минималната и максималната стойност на входния сигнал, за който е предназначен.

Честотна лента на устройствотое разликата между минималните и максималните честоти, за които е предназначен.

Чувствителност на устройството- определя се като съотношението на изходния сигнал или показанието на устройството към входния сигнал или измерената стойност.

Шумове- всеки сигнал, който не носи полезна информация.

Точността е една от най-важните метрологични характеристики на средството за измерване (техническо средство, предназначено за измервания). Съответства на разликата между показанията на измервателния уред и истинската стойност на измерената стойност. Колкото по-малка е грешката, толкова по-точен се счита измервателният уред, толкова по-високо е неговото качество. Най-голямата възможна стойност на грешката за определен тип измервателен уред при определени условия (например в даден диапазон от стойности на измерената стойност) се нарича граница на допустимата грешка. Обикновено задайте границите на допустимата грешка, т.е. долната и горната граница на интервала, отвъд който грешката не трябва да излиза.

Както самите грешки, така и техните граници обикновено се изразяват под формата на абсолютни, относителни или намалени грешки. Конкретната форма се избира в зависимост от характера на изменението на грешките в обхвата на измерване, както и от условията на използване и предназначението на средствата за измерване. Абсолютната грешка се посочва в единици от измерената стойност, а относителната и намалената грешка обикновено се изразяват в проценти. Относителната грешка може да характеризира качеството на измервателния уред много по-точно от даденото, което ще бъде разгледано по-подробно по-долу.

Връзката между абсолютната (Δ), относителната (δ) и намалената (γ) грешки се определя по формулите:

където X е стойността на измереното количество, X N е нормализиращата стойност, изразена в същите единици като Δ. Критериите за избор на стандартната стойност X N са установени от GOST 8.401-80 в зависимост от свойствата на измервателния уред и обикновено трябва да бъдат равни на границата на измерване (X K), т.е.

Препоръчително е да се изразят границите на допустимите грешки във формата, дадена в случая, когато границите на грешката могат да се приемат за практически непроменени в рамките на обхвата на измерване (например за циферблатни аналогови волтметри, когато границите на грешката се определят в зависимост от деление на скалата, независимо от стойността на измереното напрежение). В противен случай се препоръчва да се изразят границите на допустимите грешки в относителна форма в съответствие с GOST 8.401-80.
Въпреки това, на практика изразяването на границите на допустимите грешки под формата на намалени грешки се използва погрешно в случаите, когато границите на грешката не могат да се приемат за постоянни в обхвата на измерване. Това или заблуждава потребителите (когато не разбират, че посочената по този начин грешка като процент изобщо не се изчислява от измерената стойност), или значително ограничава обхвата на приложение на измервателния уред, т.к. Формално в този случай грешката по отношение на измерената стойност се увеличава например десетократно, ако измерената стойност е 0,1 от границата на измерване.
Изразяването на границите на допустимите грешки под формата на относителни грешки дава възможност доста точно да се вземе предвид реалната зависимост на границите на грешката от стойността на измереното количество, когато се използва формула от формата

δ = ±

където c и d са коефициенти, d

В този случай в точка X=X k границите на допустимата относителна грешка, изчислена по формула (4), ще съвпадат с границите на допустимата намалена грешка

В точки Х

Δ 1 =δ·X=·X

Δ 2 =γ X K = c X k

Тези. в голям диапазон от стойности на измереното количество може да се осигури много по-висока точност на измерване, ако нормализираме не границите на допустимата намалена грешка съгласно формула (5), а границите на допустимата относителна грешка съгласно формулата ( 4).

Това означава, например, че за измервателен преобразувател, базиран на ADC с голяма битова ширина и голям динамичен диапазон на сигнала, изразяването на границите на грешката в относителна форма по-адекватно описва реалните граници на грешката на преобразувателя, в сравнение с намалената форма.

Използване на терминология

Тази терминология се използва широко при описване на метрологичните характеристики на различни измервателни уреди, например изброените по-долу, произведени от L Card LLC:

ADC/DAC модул
16/32 канала, 16 бита, 2 MHz, USB, Ethernet

Избор на измервателни уреди според приемливите

При избора на средства за измерване и методи за наблюдение на продуктите се взема предвид набор от метрологични, експлоатационни и икономически показатели. Метрологичните показатели включват: допустима грешка на средството за измерване; цена на скалното деление; праг на чувствителност; граници на измерване и др. Оперативно-икономическите показатели включват: цена и надеждност на средствата за измерване; продължителност на работа (преди ремонт); време, прекарано в процеса на настройка и измерване; тегло, габаритни размери и работно натоварване.

3.6.3.1. Избор на измервателни уреди за контрол на размерите

На фиг. Фигура 3.3 показва криви на разпределение на размерите на частите (за тях) и грешките на измерване (за mets) с центрове, съвпадащи с границите на допустимите отклонения. В резултат на припокриването на кривите за met и those, кривата на разпределение y(s those, s met) се изкривява и се появяват вероятностни области TИ П,причинявайки размера да надхвърли границата на толеранс за стойността с. По този начин, колкото по-точен е технологичният процес (по-ниско съотношение IT/D met), толкова по-малко са неправилно приетите детайли в сравнение с неправилно бракуваните.

Решаващ фактор е допустимата грешка на измервателния уред, която следва от стандартизираното определение на действителния размер, както и размера, получен в резултат на измерване с допустима грешка.

Допустими грешки при измерване d измерванията по време на приемателния контрол за линейни размери до 500 mm са установени от GOST 8.051, което възлиза на 35-20% от допустимото отклонение за производството на IT части. Този стандарт предвижда най-големите допустими грешки при измерване, включително грешки от измервателни уреди, стандарти за монтаж, температурни деформации, сила на измерване и местоположение на частта. Допустимата грешка на измерване dmeas се състои от произволни и неотчетени системни компоненти на грешката. В този случай се приема, че случайният компонент на грешката е равен на 2 s и не трябва да надвишава 0,6 от грешката на измерване dmeas.

В GOST 8.051 грешката е посочена за едно наблюдение. Случайният компонент на грешката може да бъде значително намален поради повторни наблюдения, при които той намалява с коефициент, където n е броят на наблюденията. В този случай за действителен размер се приема средноаритметичното от поредица от наблюдения.

По време на арбитражна повторна проверка на части, грешката на измерване не трябва да надвишава 30% от границата на грешката, разрешена по време на приемане.

Допустими стойности на грешки при измерване d измерванеЪгловите размери са определени съгласно GOST 8.050 - 73.

тези

6s тези

° С

ТО

y мет

2D среща

y(s тези; s met)

могат да се приемат по време на измерване: те включват случайни и неотчетени систематични грешки при измерване, всички компоненти в зависимост от измервателните уреди, монтажни мерки, температурни деформации, основа и др.

Случайната грешка на измерване не трябва да надвишава 0,6 от допустимата грешка на измерване и се приема равна на 2s, където s е стойността на стандартното отклонение на грешката на измерване.

За допуски, които не съответстват на стойностите, посочени в GOST 8.051 - 81 и GOST 8.050 - 73, допустимата грешка се избира според най-близката по-малка стойност на толеранс за съответния размер.

Влиянието на грешките при измерване по време на проверката на линейните размери се оценява чрез следните параметри:

T-някои от измерените части, които имат размери над максималните размери, се приемат за приемливи (неправилно приети);

П -някои части с размери, които не надвишават максималните размери, са отхвърлени (неправилно отхвърлени);

с- вероятностна гранична стойност на размера, превишаващ максималните размери за неправилно приети части.

Стойности на параметрите t, p, sкогато контролираните размери са разпределени по нормалния закон, те са показани на фиг. 3.4, 3.5 и 3.6.

Ориз. 3.4. Графика за определяне на параметъра м

За определяне Tс друга вероятност за доверие е необходимо да се измести началото на координатите по ординатната ос.

Кривите на графиката (плътни и пунктирани) съответстват на определена стойност на относителната грешка на измерване, равна на

където s е стандартното отклонение на грешката на измерване;

IT толеранс на контролиран размер.

При определяне на параметри t, pИ спрепоръчва да се вземе

A met(s) = 16% за квалификации 2-7, A met(s) = 12% - за квалификации 8, 9,

И met(s) = 10% - за квалификации 10 и по-груби.

Настроики t, pИ сса показани на графиките в зависимост от стойността на IT/s те, където s те е стандартното отклонение на производствената грешка. Настроики м, нИ сса дадени за симетрично разположение на допусковото поле спрямо центъра на групиране на контролираните части. За определени м, нИ сс комбинираното влияние на систематични и случайни производствени грешки се използват същите графики, но вместо стойността IT/s се взема

за една граница,

а за другия - ,

Където Т -систематична грешка в производството.

При определяне на параметри мИ нЗа всяка граница се вземат половината от получените стойности.

Възможни гранични стойности на параметрите t, pИ с/IT, съответстващи на екстремните стойности на кривите (на фиг. 3.4 – 3.6), са дадени в таблица 3.5.

Таблица 3.5

метамфетамин(и)	м	н	° С/ТО	метамфетамин(и)	м	н	° С/ТО
1,60	0,37-0,39	0,70-0,75	0,01	10,0	3,10-3,50	4,50-4,75	0,14
3,0	0,87-0,90	1,20-1,30	0,03	12,0	3,75-4,11	5,40-5,80	0,17
5,0	1,60-1,70	2,00-2,25	0,06	16,0	5,00-5,40	7,80-8,25	0,25
8,0	2,60-2,80	3,40-3,70	0,10

Първи ценности TИ Псъответстват на разпределението на грешките на измерване според нормалния закон, второто - според закона за равна вероятност.

Граници на параметрите t, pИ с/IT отчита влиянието само на случайния компонент на грешката на измерване.

GOST 8.051-81 предоставя два начина за установяване на граници на приемане.

Първи начин. Границите на приемане са настроени да съвпадат с максималните размери (фиг. 3.7, А ).

Пример.При проектирането на вал с диаметър 100 mm е изчислено, че отклоненията в размерите му за работни условия трябва да съответстват на h6(100-0,022). В съответствие с GOST 8.051 - 81 е установено, че за размер на вала 100 mm и толеранс IT = 0,022 mm, допустимата грешка на измерване dmeas = 0,006 mm.

В съответствие с табл. 3.5 установи, че за A met (s) = 16% и неизвестна точност на технологичния процес м= 5,0 и с= 0,25IT, т.е. сред годните части може да има до 5,0% неправилно приети части с максимални отклонения от +0,0055 и -0,0275 mm.

+d измерване.

-d измерване.

+d измерване.

-d измерване.

+d измерване.

-d измерване.

+d измерване.

-d измерване.

+d измерване.

-d измерване.

+d измерване.

-d измерване.