Să ne uităm la trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.
Constatare prin factorizare
Prima metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.
Să presupunem că trebuie să găsim LCM al numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, să factorăm fiecare dintre aceste numere în factori primi:
Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere posibilă și să-i înmulțim împreună:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Astfel, LCM (99, 30, 28) = 13.860. Niciun alt număr mai mic de 13.860 nu este divizibil cu 99, 30 sau 28.
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, le împotriviți în factorii lor primi, apoi luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent în care apare și înmulțiți acești factori împreună.
Deoarece numerele prime relativ nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt relativ prime. De aceea
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Același lucru trebuie făcut atunci când găsiți cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Găsirea prin selecție
A doua metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin selecție.
Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este împărțit la un alt număr dat, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:
- Determinați cel mai mare număr din numerele date.
- În continuare, găsim numerele care sunt multipli ai celui mai mare număr înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă produsul rezultat este divizibil cu numerele date rămase.
Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinăm cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. În continuare, găsim numerele care sunt multipli ai lui 24, verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18 și 3:
24 · 1 = 24 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.
24 · 2 = 48 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.
24 · 3 = 72 - divizibil cu 3 și 18.
Astfel, LCM (24, 3, 18) = 72.
Găsirea prin găsirea secvenţială a LCM
A treia metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea secvenţială a LCM.
LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.
Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:
Împărțim produsul la gcd-ul lor:
Astfel, LCM (12, 8) = 24.
Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, utilizați următoarea procedură:
- Mai întâi, găsiți LCM a oricăror două dintre aceste numere.
- Apoi, LCM al cel mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
- Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr etc.
- Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.
Exemplul 2. Să găsim LCM a trei numere date: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM al numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al numărului 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:
Împărțim produsul la gcd-ul lor:
Astfel, LCM (12, 8, 9) = 72.
Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articolul intitulat LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, legătură între LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și vom acorda o atenție deosebită rezolvării exemplelor. În primul rând, vom arăta cum se calculează LCM a două numere folosind MCD-ul acestor numere. În continuare, ne vom uita la găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceasta, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculării LCM a numerelor negative.
Navigare în pagină.
Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD
O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Conexiunea existentă între LCM și GCD ne permite să calculăm cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive printr-un cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare este LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Să ne uităm la exemple de găsire a LCM folosind formula dată.
Exemplu.
Aflați cel mai mic multiplu comun al două numere 126 și 70.
Soluţie.
În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura dintre LCM și GCD, exprimată prin formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere folosind formula scrisă.
Să găsim GCD(126, 70) folosind algoritmul euclidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, prin urmare, GCD(126, 70)=14.
Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Răspuns:
LCM(126, 70)=630.
Exemplu.
Cu ce este LCM(68, 34) egal?
Soluţie.
Deoarece 68 este divizibil cu 34, apoi MCD(68, 34)=34. Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Răspuns:
LCM(68, 34)=68 .
Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.
Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi
O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă compuneți un produs din toți factorii primi ai numerelor date și apoi excludeți din acest produs toți factorii primi comuni prezenți în descompunerea numerelor date, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor date. .
Din egalitate rezultă regula stabilită pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în extinderea numerelor a și b. La rândul său, GCD(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (așa cum este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind expansiunea numerelor în factori primi).
Să dăm un exemplu. Să știm că 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. Să compunem produsul din toți factorii acestor expansiuni: 2·3·3·5·5·5·7 . Acum din acest produs excludem toți factorii prezenți atât în extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2·3·5·5·7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210, adică NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.
Exemplu.
Factorizați numerele 441 și 700 în factori primi și găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
Soluţie.
Să factorăm numerele 441 și 700 în factori primi:
Obținem 441=3·3·7·7 și 700=2·2·5·5·7.
Acum să creăm un produs din toți factorii implicați în extinderea acestor numere: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Prin urmare, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Răspuns:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Regula pentru găsirea LCM folosind factorizarea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă factorii lipsă din extinderea numărului b se adaugă factorilor din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..
De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, descompunerea lor în factori primi sunt următoarele: 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75 adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2·3·5·5·7, a cărui valoare este egal cu LCM(75, 210).
Exemplu.
Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 și 648.
Soluţie.
Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2·2·3·7 și 648=2·2·2·3·3·3·3. La factorii 2, 2, 3 și 7 din extinderea numărului 84 adăugăm factorii lipsă 2, 3, 3 și 3 din extinderea numărului 648, obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7, care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al lui 84 și 648 este 4.536.
Răspuns:
LCM(84, 648)=4.536.
Găsirea LCM a trei sau mai multe numere
Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea secvenţială a LCM a două numere. Să ne amintim teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.
Teorema.
Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește prin calcularea secvențială m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme folosind exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.
Exemplu.
Aflați LCM a patru numere 140, 9, 54 și 250.
Soluţie.
În acest exemplu, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Mai întâi găsim m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm GCD(140, 9), avem 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prin urmare, GCD(140, 9)=1 , de unde GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140.9:1=1.260. Adică m2 =1 260.
Acum găsim m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Să-l calculăm prin GCD(1 260, 54), pe care îl determinăm și folosind algoritmul euclidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Apoi mcd(1.260, 54)=18, din care mcd(1.260, 54)= 1.260·54:gcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Adică m 3 = 3 780.
Tot ce rămâne este de găsit m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3,780, 250) folosind algoritmul euclidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prin urmare, GCM(3.780, 250)=10, de unde GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Adică m4 =94.500.
Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.
Răspuns:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
În multe cazuri, este convenabil să găsiți cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere folosind descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, ar trebui să respectați următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor rezultați și așa mai departe.
Să ne uităm la un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind factorizarea prime.
Exemplu.
Găsiți cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.
Soluţie.
Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea ei în factori primi) şi 143=11·13.
Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2, 2, 3 și 7), trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6. Descompunerea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în descompunerea primului număr 84. În continuare, la factorii 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48, obținem un set de factori 2, 2, 2, 2, 3 și 7. Nu va fi nevoie să adăugați multiplicatori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2, 2, 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din extinderea numărului 143. Obținem produsul 2·2·2·2·3·7·11·13, care este egal cu 48.048.
Pentru a înțelege cum să calculați LCM, trebuie mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.
Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, numerele care sunt multipli ai lui 5 pot fi considerate 15, 20, 25 și așa mai departe.
Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.
Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără a lăsa rest.
Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor
Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil cu toate aceste numere.
Pentru a găsi LOC, puteți folosi mai multe metode.
Pentru numerele mici, este convenabil să notați toți multiplii acestor numere pe o linie până când găsiți ceva comun între ei. Multiplii sunt notați cu majusculă K.
De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Astfel, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această notație se face după cum urmează:
LCM(4, 6) = 24
Acum scrieți factorii comuni pentru ambele numere. În versiunea noastră este doi și cinci. Cu toate acestea, în alte cazuri, acest număr poate fi de una, două sau trei cifre sau chiar mai multe. În continuare trebuie să lucrezi cu grade. Alegeți cea mai mică putere pentru fiecare factor. În exemplu, este doi la a doua putere și cinci la prima.
În cele din urmă, trebuie doar să înmulțiți numerele rezultate. În cazul nostru, totul este extrem de simplu: două pătrate înmulțite cu cinci sunt egale cu 20. Astfel, numărul 20 poate fi numit cel mai mare divizor comun pentru 60 și 80.
Video pe tema
Notă
Amintiți-vă că un factor prim este un număr care are doar 2 divizori: unul și numărul însuși.
Sfaturi utile
Pe lângă această metodă, puteți utiliza și algoritmul euclidian. Descrierea sa completă, prezentată sub formă geometrică, poate fi găsită în cartea lui Euclid „Elemente”.
Articol înrudit
Adunarea și scăderea fracțiilor naturale este posibilă numai dacă au același numitor. Pentru a nu complica calculele atunci când le aduceți la un singur numitor, găsiți cel mai mic divizor comun al numitorilor și efectuați calculul.
Vei avea nevoie
- - capacitatea de a factoriza numerele în factori primi;
- - capacitatea de a efectua operatii cu fractii.
Instrucțiuni
Scrieți adunarea fracțiilor. Apoi, găsiți cel mai mic multiplu comun al acestora. Pentru a face acest lucru, efectuați următoarea succesiune de acțiuni: 1. Imaginează-ți fiecare dintre numitorii în numere prime (un număr prim, un număr care este divizibil numai cu 1 și el însuși fără rest, de exemplu 2, 3, 5, 7, etc.).2. Grupați toate cele simple care sunt scrise, indicând gradele lor. 3. Alegeți cele mai mari puteri ale fiecăruia dintre acești factori primi care apar în aceste numere. 4. Înmulțiți puterile scrise.
De exemplu, numitorul comun pentru fracțiile cu numitorii 15, 24 și 36 va fi un număr care poate fi calculat astfel: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Scrieți cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi ai acestor numere: 2^3 3^2 5=360.
Împărțiți numitorul comun la fiecare și numitorii fracțiilor care se adună. Înmulțiți numărătorii lor cu numărul rezultat. Sub linia comună a fracției, scrieți cel mai mic dividend comun, care este și cel mai mic numitor comun. În numărător, se adună numerele care rezultă din înmulțirea fiecărui numărător cu câtul factorului cel mai mic comun împărțit la numitorul fracției. Suma tuturor numărătorilor și împărțită la cel mai mic numitor comun va fi numărul dorit.
De exemplu, pentru 4/15, 7/24 și 11/36 faceți acest lucru. Aflați cel mai mic numitor comun, care este 360. Apoi împărțiți 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Înmulțiți numărul 4, care este numărătorul primei fracții, cu 24 (4 24=96), numărul 7 cu 15 (7 15=105), numărul 11 cu 10 (11 10=110). Apoi adăugați aceste numere (96+105+110=301). Obținem rezultatul 4/15+7/24+11/36=301/360.
Surse:
- cum să găsești cel mai mic număr
Numerele întregi sunt o varietate de numere matematice care au multe aplicații în viața de zi cu zi. Numerele întregi nenegative sunt folosite atunci când indică numărul oricăror obiecte, numere negative - în mesaje despre prognozele meteo, etc. GCD și LCM sunt caracteristici naturale ale numerelor întregi asociate cu operațiunile de divizare.
Instrucțiuni
GCD este ușor de calculat folosind algoritmul euclidian sau metoda binară. Conform algoritmului Euclid pentru determinarea mcd-ului numerelor a și b, dintre care unul nu este zero, există o succesiune de numere r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, în care r_1 este egal cu restul împărțirii. primul număr cu al doilea. Iar ceilalți membri ai șirului sunt egali cu resturile de la împărțirea membrului anterior la cel anterior, iar penultimul element este împărțit la ultimul fără rest.
Din punct de vedere matematic, succesiunea poate fi reprezentată astfel:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
unde k_i este un factor întreg.
GCD (a, b) = r_n.
Exemplu.
Găsiți GCD (36, 120). Conform algoritmului euclidian, scădeți din 120 un număr care este multiplu al lui 36, în acest caz este 120 – 36*3 = 12. Acum scădeți un număr care este multiplu al lui 12 din 120, obțineți 120 – 12* 10 = 0. Prin urmare, GCD (36, 120) = 12.
Algoritmul binar pentru găsirea GCD se bazează pe teoria deplasării. Conform acestei metode, mcd-ul a două numere are următoarele proprietăți:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) chiar pentru a și b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) pentru a par și impar b (opusul este adevărat pentru GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) pentru impar a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) pentru b impar > a
Astfel, mcd (36, 120) = 2*mcd (18, 60) = 4*mcd (9, 30) = 4* mcd (9, 15) = 4*mcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
Cel mai mic multiplu comun (LCM) a două numere întregi este cel mai mic număr întreg care este divizibil cu ambele numere originale fără a lăsa rest.
LCM poate fi calculat folosind GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
A doua modalitate de a calcula LCM este factorizarea canonică a numerelor în factori primi:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
unde r_i sunt numere prime și k_i și m_i sunt numere întregi ≥ 0.
LCM este reprezentat sub forma acelorași factori primi, unde maximul de două numere este luat ca puteri.
Exemplu.
Găsiți LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - cel mai mic multiplu comun. Un număr care va împărți toate numerele date fără rest.
De exemplu, dacă numerele date sunt 2, 3, 5, atunci LCM=2*3*5=30
Și dacă numerele date sunt 2,4,8, atunci LCM =8
ce este GCD?
GCD este cel mai mare divizor comun. Un număr care poate fi folosit pentru a împărți fiecare dintre numerele date fără a lăsa un rest.
Este logic că dacă numerele date sunt prime, atunci mcd este egal cu unu.
Și dacă numerele date sunt 2, 4, 8, atunci GCD este egal cu 2.
Nu o vom descrie în termeni generali, ci pur și simplu vom arăta soluția cu un exemplu.
Având în vedere două numere 126 și 44. Aflați GCD.
Atunci dacă ni se dau două numere de formă
Apoi GCD se calculează ca
unde min este valoarea minimă a tuturor puterilor numărului pn
iar NOC ca
unde max este valoarea maximă a tuturor puterilor numărului pn
Privind formulele de mai sus, puteți demonstra cu ușurință că mcd-ul a două sau mai multe numere va fi egal cu unul, atunci când printre cel puțin o pereche de valori date există numere relativ prime.
Prin urmare, este ușor să răspundeți la întrebarea cu ce este egal mcd-ul unor numere precum 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 fără a calcula nimic.
numerele 3 și 7 sunt între prime și, prin urmare, mcd = 1
Să ne uităm la un exemplu.
Datele trei numere 24654, 25473 și 954
Fiecare număr este descompus în următorii factori
Sau, dacă îl scriem într-o formă alternativă
Adică, mcd-ul acestor trei numere este egal cu trei
Ei bine, putem calcula LCM într-un mod similar și este egal cu
Botul nostru vă va ajuta să calculați GCD și LCM ale oricăror numere întregi, doi, trei sau zece.
Să continuăm conversația despre cel mai mic multiplu comun, pe care am început-o în secțiunea „LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple”. În acest subiect, vom analiza modalități de a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere și ne vom uita la întrebarea cum să găsim LCM-ul unui număr negativ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD
Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să determinăm LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.
Definiția 1
Puteți găsi cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun folosind formula LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).
Exemplul 1
Trebuie să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.
Soluţie
Să luăm a = 126, b = 70. Să substituim valorile în formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .
Găsește mcd-ul numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul euclidian: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, deci GCD (126 , 70) = 14 .
Să calculăm LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Răspuns: LCM(126, 70) = 630.
Exemplul 2
Găsiți numărul 68 și 34.
Soluţie
GCD în acest caz nu este greu de găsit, deoarece 68 este divizibil cu 34. Să calculăm cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Răspuns: LCM(68, 34) = 68.
În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, LCM-ul acelor numere va fi egal cu primul număr.
Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi
Acum să ne uităm la metoda de găsire a LCM, care se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi.
Definiția 2
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:
- compunem produsul tuturor factorilor primi ai numerelor pentru care trebuie să aflăm LCM;
- excludem toți factorii primi din produsele lor rezultate;
- produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.
Această metodă de găsire a celui mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care participă la descompunerea acestor două numere. În acest caz, mcd a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.
Exemplul 3
Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza după cum urmează: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. Dacă compuneți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.
Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.
Exemplul 4
Găsiți LCM al numerelor 441 Și 700 , factorizarea ambelor numere în factori primi.
Soluţie
Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7.
Produsul tuturor factorilor care au participat la descompunerea acestor numere va avea forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factori comuni. Acesta este numărul 7. Să-l excludem din totalul produsului: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Răspuns: LOC(441, 700) = 44.100.
Să dăm o altă formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.
Definiția 3
Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:
- Să factorăm ambele numere în factori primi:
- adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
- obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.
Exemplul 5
Să revenim la numerele 75 și 210, pentru care am căutat deja LCM într-unul din exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3, 5 și 5 numerele 75 adună factorii lipsă 2 Și 7 numerele 210. Primim: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.
Exemplul 6
Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.
Soluţie
Să factorăm numerele din condiție în factori simpli: 84 = 2 2 3 7Și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Să adăugăm la produs factorii 2, 2, 3 și 7
numerele 84 lipsesc factorii 2, 3, 3 și
3
numerele 648. Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 și 648.
Răspuns: LCM(84, 648) = 4.536.
Găsirea LCM a trei sau mai multe numere
Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi secvenţial LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.
Teorema 1
Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k aceste numere se găsesc calculând secvenţial m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema pentru a rezolva probleme specifice.
Exemplul 7
Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al patru numere 140, 9, 54 și 250 .
Soluţie
Să introducem notația: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Să aplicăm algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Se obține: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Prin urmare, m 2 = 1.260.
Acum să calculăm folosind același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). În timpul calculelor obținem m 3 = 3 780.
Trebuie doar să calculăm m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Urmăm același algoritm. Obținem m 4 = 94 500.
LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.
Răspuns: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.
După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de intensive în muncă. Pentru a economisi timp, puteți merge pe altă cale.
Definiția 4
Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:
- descompunem toate numerele în factori primi;
- la produsul factorilor primului număr adăugăm factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
- la produsul obținut în etapa anterioară adăugăm factorii lipsă ai numărului al treilea etc.;
- produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.
Exemplul 8
Trebuie să găsiți LCM a cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.
Soluţie
Să factorăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.
Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.
Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Să trecem la numărul 48, din produsul ai cărui factori primi luăm 2 și 2. Apoi adăugăm factorul prim de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere originale.
Răspuns: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate folosind algoritmii de mai sus.
Exemplul 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) și LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă acceptăm asta AȘi − a- numere opuse,
apoi mulţimea multiplilor unui număr A se potrivește cu setul de multipli ai unui număr − a.
Exemplul 10
Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 Și − 45 .
Soluţie
Să înlocuim numerele − 145 Și − 45 la numerele lor opuse 145 Și 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul euclidian.
Obținem că LCM al numerelor este − 145 și − 45 egală 1 305 .
Răspuns: LCM (− 145, − 45) = 1.305.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter