La oss se på tre måter å finne det minste felles multiplum.
Finne ved faktorisering
Den første metoden er å finne det minste felles multiplum ved å faktorisere de gitte tallene i primfaktorer.
La oss si at vi må finne LCM for tallene: 99, 30 og 28. For å gjøre dette, la oss faktorere hvert av disse tallene inn i primfaktorer:
For at ønsket tall skal være delelig med 99, 30 og 28, er det nødvendig og tilstrekkelig at det inkluderer alle primfaktorene til disse divisorene. For å gjøre dette må vi ta alle primfaktorene til disse tallene til størst mulig kraft og multiplisere dem sammen:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Dermed er LCM (99, 30, 28) = 13 860. Ingen andre tall mindre enn 13 860 er delbare med 99, 30 eller 28.
For å finne det minste felles multiplumet av gitte tall, tar du dem inn i deres primfaktorer, tar deretter hver primfaktor med den største eksponenten den vises i, og multipliserer disse faktorene sammen.
Siden relativt primtall ikke har felles primtall, er deres minste felles multiplum lik produktet av disse tallene. For eksempel er tre tall: 20, 49 og 33 relativt primtall. Derfor
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Det samme må gjøres når man finner det minste felles multiplum av forskjellige primtall. For eksempel, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Finne etter utvalg
Den andre metoden er å finne det minste felles multiplum ved seleksjon.
Eksempel 1. Når det største av gitte tall deles på et annet gitt tall, er LCM for disse tallene lik det største av dem. For eksempel gitt fire tall: 60, 30, 10 og 6. Hver av dem er delelig med 60, derfor:
LCM(60; 30; 10; 6) = 60
I andre tilfeller, for å finne det minste felles multiplum, brukes følgende prosedyre:
- Bestem det største tallet fra de gitte tallene.
- Deretter finner vi tallene som er multipler av det største tallet ved å multiplisere det med naturlige tall i økende rekkefølge og sjekke om det resulterende produktet er delelig med de gjenværende gitte tallene.
Eksempel 2. Gitt tre tall 24, 3 og 18. Vi bestemmer det største av dem - dette er tallet 24. Deretter finner vi tallene som er multipler av 24, og sjekker om hver av dem er delelig med 18 og 3:
24 · 1 = 24 - delelig med 3, men ikke delelig med 18.
24 · 2 = 48 - delelig med 3, men ikke delelig med 18.
24 · 3 = 72 - delelig med 3 og 18.
Dermed er LCM (24, 3, 18) = 72.
Finne ved å finne LCM sekvensielt
Den tredje metoden er å finne det minste felles multiplum ved å finne LCM sekvensielt.
LCM for to gitte tall er lik produktet av disse tallene delt på deres største felles divisor.
Eksempel 1. Finn LCM for to gitte tall: 12 og 8. Bestem deres største felles divisor: GCD (12, 8) = 4. Multipliser disse tallene:
Vi deler produktet med deres gcd:
Dermed er LCM (12, 8) = 24.
For å finne LCM for tre eller flere tall, bruk følgende prosedyre:
- Finn først LCM for to av disse tallene.
- Deretter LCM av det minste felles multiplumet som ble funnet og det tredje gitte tallet.
- Deretter LCM for det resulterende minste felles multiplum og det fjerde tallet osv.
- Dermed fortsetter letingen etter LCM så lenge det finnes tall.
Eksempel 2. La oss finne LCM for tre gitte tall: 12, 8 og 9. Vi fant allerede LCM for tallene 12 og 8 i forrige eksempel (dette er tallet 24). Det gjenstår å finne det minste felles multiplum av tallet 24 og det tredje gitte tallet - 9. Bestem deres største felles divisor: GCD (24, 9) = 3. Multipliser LCM med tallet 9:
Vi deler produktet med deres gcd:
Dermed er LCM (12, 8, 9) = 72.
Materialet som presenteres nedenfor er en logisk videreføring av teorien fra artikkelen med tittelen LCM - minste felles multiplum, definisjon, eksempler, sammenheng mellom LCM og GCD. Her skal vi snakke om finne det minste felles multiplum (LCM), og vi vil være spesielt oppmerksomme på å løse eksempler. Først vil vi vise hvordan LCM for to tall beregnes ved å bruke GCD for disse tallene. Deretter skal vi se på å finne det minste felles multiplum ved å faktorisere tall i primfaktorer. Etter dette vil vi fokusere på å finne LCM for tre eller flere tall, og også være oppmerksom på å beregne LCM for negative tall.
Sidenavigering.
Beregner Least Common Multiple (LCM) via GCD
En måte å finne det minste felles multiplumet er basert på forholdet mellom LCM og GCD. Den eksisterende forbindelsen mellom LCM og GCD lar oss beregne det minste felles multiplum av to positive heltall gjennom en kjent største felles divisor. Den tilsvarende formelen er LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . La oss se på eksempler på å finne LCM ved å bruke den gitte formelen.
Eksempel.
Finn det minste felles multiplum av to tall 126 og 70.
Løsning.
I dette eksemplet a=126 , b=70 . La oss bruke forbindelsen mellom LCM og GCD, uttrykt med formelen LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Det vil si at vi først må finne den største felles divisor av tallene 70 og 126, hvoretter vi kan beregne LCM for disse tallene ved å bruke den skrevne formelen.
La oss finne GCD(126, 70) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, derfor GCD(126, 70)=14.
Nå finner vi det nødvendige minste felles multiplumet: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126·70:14=630.
Svar:
LCM(126; 70)=630 .
Eksempel.
Hva er LCM(68, 34) lik?
Løsning.
Fordi 68 er delelig med 34, deretter GCD(68, 34)=34. Nå beregner vi det minste felles multiplum: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68·34:34=68.
Svar:
LCM(68; 34)=68 .
Merk at det forrige eksemplet passer til følgende regel for å finne LCM for positive heltall a og b: hvis tallet a er delelig med b, er det minste felles multiplum av disse tallene a.
Finne LCM ved å faktorisere tall til primfaktorer
En annen måte å finne det minste felles multiplumet er basert på å faktorisere tall i primfaktorer. Hvis du komponerer et produkt fra alle primfaktorene til gitte tall, og deretter ekskluderer fra dette produktet alle de vanlige primfaktorene som er tilstede i dekomponeringen av de gitte tallene, vil det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av de gitte tallene .
Den oppgitte regelen for å finne LCM følger av likestillingen LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Faktisk er produktet av tallene a og b lik produktet av alle faktorer som er involvert i utvidelsen av tallene a og b. I sin tur er GCD(a, b) lik produktet av alle primfaktorer som er tilstede samtidig i utvidelsene av tallene a og b (som beskrevet i avsnittet om å finne GCD ved å bruke utvidelsen av tall til primfaktorer).
La oss gi et eksempel. La oss vite at 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. La oss komponere produktet fra alle faktorene til disse utvidelsene: 2·3·3·5·5·5·7 . Nå fra dette produktet ekskluderer vi alle faktorene som er tilstede i både utvidelsen av tallet 75 og utvidelsen av tallet 210 (disse faktorene er 3 og 5), så vil produktet ha formen 2·3·5·5·7 . Verdien av dette produktet er lik det minste felles multiplum av 75 og 210, det vil si NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Eksempel.
Faktorer tallene 441 og 700 inn i primfaktorer og finn det minste felles multiplum av disse tallene.
Løsning.
La oss faktorisere tallene 441 og 700 til primfaktorer:
Vi får 441=3·3·7·7 og 700=2·2·5·5·7.
La oss nå lage et produkt fra alle faktorene som er involvert i utvidelsen av disse tallene: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. La oss ekskludere fra dette produktet alle faktorer som er tilstede samtidig i begge utvidelsene (det er bare en slik faktor - dette er tallet 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Dermed, LCM(441; 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Svar:
NOC(441; 700)= 44 100 .
Regelen for å finne LCM ved å bruke faktorisering av tall til primfaktorer kan formuleres litt annerledes. Hvis de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet b legges til faktorene fra utvidelsen av tallet a, vil verdien av det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av tallene a og b.
La oss for eksempel ta de samme tallene 75 og 210, deres dekomponering til primfaktorer er som følger: 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. Til faktorene 3, 5 og 5 fra utvidelsen av tallet 75 legger vi de manglende faktorene 2 og 7 fra utvidelsen av tallet 210, vi får produktet 2·3·5·5·7, hvis verdi er lik LCM(75, 210).
Eksempel.
Finn det minste felles multiplum av 84 og 648.
Løsning.
Vi får først dekomponeringene av tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ser ut som 84=2·2·3·7 og 648=2·2·2·3·3·3·3. Til faktorene 2, 2, 3 og 7 fra utvidelsen av tallet 84 legger vi til de manglende faktorene 2, 3, 3 og 3 fra utvidelsen av tallet 648, vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7, som er lik 4 536 . Dermed er det ønskede minste felles multiplum av 84 og 648 4536.
Svar:
LCM(84; 648)=4536 .
Finne LCM for tre eller flere tall
Det minste felles multiplum av tre eller flere tall kan bli funnet ved å finne LCM for to tall sekvensielt. La oss huske det tilsvarende teoremet, som gir en måte å finne LCM for tre eller flere tall.
Teorem.
La positive heltall a 1 , a 2 , …, a k gis, det minste felles multiplum m k av disse tallene er funnet ved å sekvensielt beregne m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
La oss vurdere anvendelsen av denne teoremet ved å bruke eksemplet med å finne det minste felles multiplum av fire tall.
Eksempel.
Finn LCM for fire tall 140, 9, 54 og 250.
Løsning.
I dette eksemplet er a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Først finner vi m 2 = LOC(a 1 ; a 2) = LOC(140; 9). For å gjøre dette, ved hjelp av den euklidiske algoritmen, bestemmer vi GCD(140, 9), vi har 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, derfor GCD(140, 9)=1 , hvorfra GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140·9:1=1260. Det vil si, m 2 = 1 260.
Nå finner vi m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). La oss beregne det gjennom GCD(1 260, 54), som vi også bestemmer ved hjelp av den euklidiske algoritmen: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Deretter gcd(1,260, 54)=18, hvorfra gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Det vil si, m 3 = 3 780.
Det gjenstår bare å finne m 4 = LOC(m 3; a 4) = LOC(3 780; 250). For å gjøre dette finner vi GCD(3,780, 250) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Derfor GCM(3,780; 250)=10, hvorav GCM(3,780; 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Det vil si, m 4 = 94 500.
Så det minste felles multiplum av de opprinnelige fire tallene er 94 500.
Svar:
LCM(140; 9; 54; 250)=94.500.
I mange tilfeller er det praktisk å finne det minste felles multiplum av tre eller flere tall ved å bruke primfaktoriseringer av de gitte tallene. I dette tilfellet bør du følge følgende regel. Det minste felles multiplum av flere tall er lik produktet, som er sammensatt som følger: de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet legges til alle faktorene fra utvidelsen av det første tallet, de manglende faktorene fra utvidelsen av det tredje tallet legges til de resulterende faktorene, og så videre.
La oss se på et eksempel på å finne det minste felles multiplum ved å bruke primfaktorisering.
Eksempel.
Finn det minste felles multiplum av de fem tallene 84, 6, 48, 7, 143.
Løsning.
Først får vi dekomponeringer av disse tallene til primfaktorer: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 er et primtall, det sammenfaller med dens dekomponering til primfaktorer) og 143=11·13.
For å finne LCM for disse tallene, til faktorene til det første tallet 84 (de er 2, 2, 3 og 7), må du legge til de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet 6. Dekomponeringen av tallet 6 inneholder ikke manglende faktorer, siden både 2 og 3 allerede er til stede i dekomponeringen av det første tallet 84. Ved siden av faktorene 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 2 og 2 fra utvidelsen av det tredje tallet 48, vi får et sett med faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7. Det vil ikke være nødvendig å legge til multiplikatorer til dette settet i neste trinn, siden 7 allerede er inneholdt i det. Til slutt, til faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 11 og 13 fra utvidelsen av tallet 143. Vi får produktet 2·2·2·2·3·7·11·13, som er lik 48.048.
For å forstå hvordan du beregner LCM, må du først bestemme betydningen av begrepet "flere".
Et multiplum av A er et naturlig tall som er delelig med A uten rest. Dermed kan tall som er multipler av 5 betraktes som 15, 20, 25, og så videre.
Det kan være et begrenset antall divisorer av et bestemt tall, men det er et uendelig antall multipler.
Et felles multiplum av naturlige tall er et tall som er delelig med dem uten å etterlate en rest.
Hvordan finne det minste felles multiplum av tall
Det minste felles multiplum (LCM) av tall (to, tre eller flere) er det minste naturlige tallet som er delelig med alle disse tallene.
For å finne LOC kan du bruke flere metoder.
For små tall er det praktisk å skrive ned alle multiplene av disse tallene på en linje til du finner noe felles blant dem. Multipler er merket med stor bokstav K.
For eksempel kan multipler av 4 skrives slik:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Dermed kan du se at det minste felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallet 24. Denne notasjonen gjøres som følger:
LCM(4; 6) = 24
Skriv nå ned de felles faktorene for begge tallene. I vår versjon er det to og fem. Men i andre tilfeller kan dette tallet være ett, to eller tre sifre eller enda mer. Deretter må du jobbe med grader. Velg den minste effekten for hver faktor. I eksemplet er det to til andre potens og fem til første.
Til slutt trenger du bare å multiplisere de resulterende tallene. I vårt tilfelle er alt ekstremt enkelt: to kvadrat multiplisert med fem er lik 20. Dermed kan tallet 20 kalles den største felles divisor for 60 og 80.
Video om emnet
Merk
Husk at en primfaktor er et tall som bare har 2 divisorer: en og selve tallet.
Nyttige råd
I tillegg til denne metoden kan du også bruke den euklidiske algoritmen. Den fullstendige beskrivelsen, presentert i geometrisk form, kan finnes i Euclids bok "Elementer".
Relatert artikkel
Addisjon og subtraksjon av naturlige brøker er bare mulig hvis de har samme nevner. For ikke å komplisere beregningene når du bringer dem til en enkelt nevner, finn den minste felles deleren av nevnerne og utfør beregningen.
Du vil trenge
- - evne til å faktorisere tall til primfaktorer;
- - evne til å utføre operasjoner med brøker.
Bruksanvisning
Skriv ned addisjon av brøker. Finn deretter deres minste felles multiplum. For å gjøre dette, utfør følgende handlingssekvens: 1. Se for deg hver av nevnerne i primtall (et primtall, et tall som bare er delelig med 1 og seg selv uten en rest, for eksempel 2, 3, 5, 7, etc.).2. Grupper alle de enkle som er skrevet ut, og angi gradene deres. 3. Velg de største potensene av hver av disse primfaktorene som vises i disse tallene. 4. Multipliser de skrevne potensene.
For eksempel vil fellesnevneren for brøker med nevnerne 15, 24 og 36 være et tall som kan beregnes som følger: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Skriv de største potensene av alle primdelere av disse tallene: 2^3 3^2 5=360.
Del fellesnevneren med hver og nevnerne til brøkene som legges til. Multipliser deres tellere med det resulterende tallet. Under brøkens felles linje skriver du minste felles utbytte, som også er den laveste fellesnevneren. I telleren legger du til tallene som er et resultat av å multiplisere hver teller med kvotienten til den minste felles faktoren delt på nevneren til brøken. Summen av alle tellere og delt på laveste fellesnevner vil være ønsket tall.
For eksempel, for 4/15, 7/24 og 11/36 gjør dette. Finn den laveste fellesnevneren, som er 360. Del deretter 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Multipliser tallet 4, som er telleren til den første brøken, med 24 (4 24=96), tallet 7 med 15 (7 15=105), tallet 11 med 10 (11 10=110). Legg deretter til disse tallene (96+105+110=301). Vi får resultatet 4/15+7/24+11/36=301/360.
Kilder:
- hvordan finne det minste tallet
Heltall er en rekke matematiske tall som har mange bruksområder i hverdagen. Ikke-negative heltall brukes ved angivelse av antall objekter, negative tall - i meldinger om værmeldinger osv. GCD og LCM er naturlige kjennetegn ved heltall knyttet til divisjonsoperasjoner.
Bruksanvisning
GCD er lett å beregne ved hjelp av den euklidiske algoritmen eller den binære metoden. I henhold til Euklid-algoritmen for å bestemme gcd av tallene a og b, hvorav ett ikke er null, er det en sekvens av tall r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, der r_1 er lik resten av deling det første tallet etter det andre. Og de andre medlemmene av sekvensen er lik restene fra å dele det forrige medlemmet med det forrige, og det nest siste elementet deles med det siste uten en rest.
Matematisk kan sekvensen representeres som:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
hvor k_i er en heltallsfaktor.
GCD (a, b) = r_n.
Eksempel.
Finn GCD (36, 120). I følge den euklidiske algoritmen, trekk fra 120 et tall som er et multiplum av 36, i dette tilfellet er det 120 – 36*3 = 12. Trekk nå et tall som er et multiplum av 12 fra 120, du får 120 – 12* 10 = 0. Derfor er GCD (36, 120) = 12.
Den binære algoritmen for å finne GCD er basert på skiftteori. I henhold til denne metoden har gcd av to tall følgende egenskaper:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) for jevn a og b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) for partall a og oddetall b (det motsatte gjelder for GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) for oddetall a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) for oddetall b > a
Dermed er gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
Det minste felles multiplum (LCM) av to heltall er det minste heltall som er delelig med begge de opprinnelige tallene uten å etterlate en rest.
LCM kan beregnes ved å bruke GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Den andre måten å beregne LCM på er den kanoniske faktoriseringen av tall til primfaktorer:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
der r_i er primtall, og k_i og m_i er heltall ≥ 0.
LCM er representert i form av de samme primfaktorene, hvor maksimum av to tall tas som potenser.
Eksempel.
Finn LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - minste felles multiplum. Et tall som vil dele alle gitte tall uten en rest.
For eksempel, hvis de gitte tallene er 2, 3, 5, så LCM=2*3*5=30
Og hvis de gitte tallene er 2,4,8, så er LCM =8
hva er GCD?
GCD er den største felles deleren. Et tall som kan brukes til å dele hvert av de gitte tallene uten å legge igjen en rest.
Det er logisk at hvis de gitte tallene er primtall, så er gcd lik én.
Og hvis de gitte tallene er 2, 4, 8, er GCD lik 2.
Vi vil ikke beskrive det i generelle termer, men vil ganske enkelt vise løsningen med et eksempel.
Gitt to tall 126 og 44. Finn GCD.
Så hvis vi får to tall av formen
Da beregnes GCD som
hvor min er minimumsverdien av alle potenser av tallet pn
og NOC as
hvor maks er maksimumsverdien av alle potenser av tallet pn
Når du ser på formlene ovenfor, kan du enkelt bevise at gcd av to eller flere tall vil være lik én, når det blant minst ett par gitte verdier er relativt primtall.
Derfor er det lett å svare på spørsmålet om hva gcd av slike tall som 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 er lik uten å beregne noe.
Tallene 3 og 7 er coprime, og derfor er gcd = 1
La oss se på et eksempel.
Gitt tre tall 24654, 25473 og 954
Hvert tall er dekomponert i følgende faktorer
Eller, hvis vi skriver det i en alternativ form
Det vil si at gcd av disse tre tallene er lik tre
Vel, vi kan beregne LCM på en lignende måte, og den er lik
Boten vår hjelper deg med å beregne GCD og LCM for alle heltall, to, tre eller ti.
La oss fortsette samtalen om det minste felles multiplum, som vi startet i avsnittet "LCM - minste felles multiplum, definisjon, eksempler." I dette emnet vil vi se på måter å finne LCM for tre eller flere tall, og vi vil se på spørsmålet om hvordan finne LCM for et negativt tall.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Beregner Least Common Multiple (LCM) via GCD
Vi har allerede etablert forholdet mellom det minste felles multiplum og den største felles divisor. La oss nå lære hvordan du bestemmer LCM gjennom GCD. La oss først finne ut hvordan du gjør dette for positive tall.
Definisjon 1
Du kan finne det minste felles multiplum gjennom den største felles divisor ved å bruke formelen LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Eksempel 1
Du må finne LCM for tallene 126 og 70.
Løsning
La oss ta a = 126, b = 70. La oss erstatte verdiene i formelen for å beregne minste felles multiplum gjennom den største felles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Finner gcd for tallene 70 og 126. For dette trenger vi den euklidiske algoritmen: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, derfor GCD (126 , 70) = 14 .
La oss beregne LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Svar: LCM(126; 70) = 630.
Eksempel 2
Finn tallet 68 og 34.
Løsning
GCD i dette tilfellet er ikke vanskelig å finne, siden 68 er delelig med 34. La oss beregne det minste felles multiplum ved hjelp av formelen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Svar: LCM(68; 34) = 68.
I dette eksemplet brukte vi regelen for å finne det minste felles multiplum av positive heltall a og b: hvis det første tallet er delelig med det andre, vil LCM for disse tallene være lik det første tallet.
Finne LCM ved å faktorisere tall til primfaktorer
La oss nå se på metoden for å finne LCM, som er basert på å faktorisere tall til primfaktorer.
Definisjon 2
For å finne det minste felles multiplum, må vi utføre en rekke enkle trinn:
- vi komponerer produktet av alle primfaktorer av tallene som vi trenger for å finne LCM;
- vi ekskluderer alle hovedfaktorer fra deres resulterende produkter;
- produktet oppnådd etter eliminering av de vanlige primfaktorene vil være lik LCM for de gitte tallene.
Denne metoden for å finne det minste felles multiplumet er basert på likheten LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Hvis du ser på formelen, vil det bli klart: produktet av tallene a og b er lik produktet av alle faktorene som deltar i dekomponeringen av disse to tallene. I dette tilfellet er gcd av to tall lik produktet av alle primfaktorer som er tilstede samtidig i faktoriseringene av disse to tallene.
Eksempel 3
Vi har to tall 75 og 210. Vi kan faktorisere dem som følger: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Hvis du komponerer produktet av alle faktorene til de to opprinnelige tallene, får du: 2 3 3 5 5 5 7.
Hvis vi ekskluderer faktorene som er felles for både tall 3 og 5, får vi et produkt av følgende form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produktet vil være vår LCM for tallene 75 og 210.
Eksempel 4
Finn LCM for tall 441 Og 700 , og faktoriserer begge tallene til primfaktorer.
Løsning
La oss finne alle primfaktorene til tallene gitt i betingelsen:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Vi får to tallkjeder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7.
Produktet av alle faktorer som deltok i dekomponeringen av disse tallene vil ha formen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. La oss finne felles faktorer. Dette er tallet 7. La oss ekskludere det fra det totale produktet: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser seg at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Svar: LOC(441; 700) = 44.100.
La oss gi en annen formulering av metoden for å finne LCM ved å dekomponere tall i primfaktorer.
Definisjon 3
Tidligere ekskluderte vi fra det totale antallet faktorer som er felles for begge tallene. Nå skal vi gjøre det annerledes:
- La oss faktorere begge tallene inn i primfaktorer:
- legg til produktet av primfaktorene til det første tallet de manglende faktorene til det andre tallet;
- vi skaffer produktet, som vil være den ønskede LCM av to tall.
Eksempel 5
La oss gå tilbake til tallene 75 og 210, som vi allerede så etter LCM for i et av de forrige eksemplene. La oss dele dem ned i enkle faktorer: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Til produktet av faktorene 3, 5 og 5 tallene 75 legger til de manglende faktorene 2 Og 7 nummer 210. Vi får: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.
Eksempel 6
Det er nødvendig å beregne LCM for tallene 84 og 648.
Løsning
La oss faktorisere tallene fra tilstanden til enkle faktorer: 84 = 2 2 3 7 Og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. La oss legge til produktet faktorene 2, 2, 3 og 7
tall 84 mangler faktorene 2, 3, 3 og
3
nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Dette er det minste felles multiplum av 84 og 648.
Svar: LCM(84; 648) = 4536.
Finne LCM for tre eller flere tall
Uansett hvor mange tall vi har å gjøre med, vil algoritmen for handlingene våre alltid være den samme: vi vil sekvensielt finne LCM for to tall. Det er et teorem for denne saken.
Teorem 1
La oss anta at vi har heltall a 1 , a 2 , … , a k. INGEN C m k disse tallene er funnet ved å sekvensielt beregne m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
La oss nå se på hvordan teoremet kan brukes for å løse spesifikke problemer.
Eksempel 7
Du må beregne det minste felles multiplum av fire tall 140, 9, 54 og 250 .
Løsning
La oss introdusere notasjonen: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
La oss starte med å beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). La oss bruke den euklidiske algoritmen for å beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Vi får: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Derfor er m 2 = 1.260.
La oss nå beregne ved å bruke den samme algoritmen m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Under beregningene får vi m 3 = 3 780.
Vi må bare beregne m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Vi følger samme algoritme. Vi får m 4 = 94 500.
LCM for de fire tallene fra eksempelbetingelsen er 94500.
Svar: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Som du kan se, er beregningene enkle, men ganske arbeidskrevende. For å spare tid kan du gå en annen vei.
Definisjon 4
Vi tilbyr deg følgende handlingsalgoritme:
- vi dekomponerer alle tall i primfaktorer;
- til produktet av faktorene til det første tallet legger vi til de manglende faktorene fra produktet av det andre tallet;
- til produktet oppnådd på forrige trinn legger vi til de manglende faktorene til det tredje tallet, etc.;
- det resulterende produktet vil være det minste felles multiplum av alle tall fra betingelsen.
Eksempel 8
Du må finne LCM for fem tall 84, 6, 48, 7, 143.
Løsning
La oss faktorisere alle fem tallene til primfaktorer: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Primtall, som er tallet 7, kan ikke innregnes i primfaktorer. Slike tall faller sammen med deres dekomponering til primfaktorer.
La oss nå ta produktet av primfaktorene 2, 2, 3 og 7 av tallet 84 og legge til de manglende faktorene til det andre tallet. Vi dekomponerte tallet 6 til 2 og 3. Disse faktorene er allerede i produktet av det første tallet. Derfor utelater vi dem.
Vi fortsetter å legge til de manglende multiplikatorene. La oss gå videre til tallet 48, fra produktet av hvis primfaktorer vi tar 2 og 2. Deretter legger vi til primfaktoren 7 fra det fjerde tallet og faktorene 11 og 13 av det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det minste felles multiplum av de opprinnelige fem tallene.
Svar: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48.048.
Finne det minste felles multiplum av negative tall
For å finne det minste felles multiplum av negative tall, må disse tallene først erstattes med tall med motsatt fortegn, og deretter må beregningene utføres ved hjelp av algoritmene ovenfor.
Eksempel 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) og LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Slike handlinger er tillatt på grunn av det faktum at hvis vi aksepterer det en Og − a– motsatte tall,
deretter settet med multipler av et tall en samsvarer med settet med multipler av et tall − a.
Eksempel 10
Det er nødvendig å beregne LCM for negative tall − 145 Og − 45 .
Løsning
La oss bytte ut tallene − 145 Og − 45 til deres motsatte tall 145 Og 45 . Nå, ved å bruke algoritmen, beregner vi LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, etter å ha bestemt GCD tidligere ved å bruke den euklidiske algoritmen.
Vi får at LCM for tallene er − 145 og − 45 er lik 1 305 .
Svar: LCM (− 145, − 45) = 1305.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter