Pažvelkime į tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.
Rasti pagal faktorizaciją
Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, suskirstant duotus skaičius į pirminius veiksnius.
Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių suskirstykime į pirminius veiksnius:
Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad į jį būtų įtraukti visi pirminiai šių daliklių koeficientai. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius iki didžiausios galios ir padauginti juos kartu:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Taigi LCM (99, 30, 28) = 13 860. Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nesidalija iš 99, 30 arba 28.
Norėdami rasti mažiausią bendrąjį nurodytų skaičių kartotinį, įtraukite juos į pirminius koeficientus, tada paimkite kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu eksponentu ir padauginkite tuos veiksnius kartu.
Kadangi santykinai pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir 33 yra santykinai pirminiai. Štai kodėl
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Tą patį reikia daryti ir ieškant įvairių pirminių skaičių mažiausią bendrą kartotinį. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Rasti atrankos būdu
Antrasis būdas – pasirinkti mažiausią bendrą kartotinį.
1 pavyzdys. Kai didžiausias iš nurodytų skaičių yra padalintas iš kito duoto skaičiaus, tada šių skaičių LCM yra lygus didžiausiam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Kitais atvejais, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama tokia procedūra:
- Iš pateiktų skaičių nustatykite didžiausią skaičių.
- Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginę jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikrinę, ar gauta sandauga dalijasi iš likusių duotųjų skaičių.
2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatome didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Toliau randame skaičius, kurie yra 24 kartotiniai, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir 3:
24 · 1 = 24 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.
24 · 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 18.
24 · 3 = 72 – dalijasi iš 3 ir 18.
Taigi LCM (24, 3, 18) = 72.
Rasti nuosekliai ieškant LCM
Trečiasis būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, nuosekliai ieškant LCM.
Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.
1 pavyzdys. Raskite dviejų nurodytų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:
Mes padalijame produktą iš jų gcd:
Taigi LCM (12, 8) = 24.
Norėdami rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, atlikite šią procedūrą:
- Pirmiausia suraskite bet kurių dviejų iš šių skaičių LCM.
- Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo duoto skaičiaus LCM.
- Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir kt.
- Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.
2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka surasti mažiausią skaičių 24 ir trečiojo duoto skaičiaus kartotinį – 9. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:
Mes padalijame produktą iš jų gcd:
Taigi, LCM (12, 8, 9) = 72.
Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio pavadinimu LCM – mažiausias bendras kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), o ypač daug dėmesio skirsime pavyzdžių sprendimui. Pirmiausia parodysime, kaip dviejų skaičių LCM apskaičiuojamas naudojant šių skaičių GCD. Toliau panagrinėsime, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.
Puslapio naršymas.
Mažiausių bendrųjų kelių (LCM) apskaičiavimas per GCD
Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas LCM ir GCD ryšiu. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė yra LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pažvelkime į LCM suradimo pagal pateiktą formulę pavyzdžius.
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime ryšį tarp LCM ir GCD, išreikštą formule LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio galime apskaičiuoti šių skaičių LCM naudodami rašytinę formulę.
Raskime GCD(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, todėl GCD(126, 70)=14.
Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Atsakymas:
LCM(126, 70)=630 .
Pavyzdys.
Kam lygus LCM(68, 34)?
Sprendimas.
Nes 68 dalijasi iš 34, tada GCD(68, 34)=34. Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Atsakymas:
LCM(68, 34) = 68 .
Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b, tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a.
LCM nustatymas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei sudarysite sandaugą iš visų nurodytų skaičių pirminių koeficientų, o tada iš šios sandaugos išbrauksite visus bendruosius pirminius veiksnius, esančius duotųjų skaičių skaidyme, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam duotųjų skaičių kartotiniui. .
Nurodyta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu GCD(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių skaičių a ir b plėtiniuose, sandaugai (kaip aprašyta skyriuje GCD radimas naudojant skaičių išplėtimą į pirminius veiksnius).
Pateikime pavyzdį. Žinok, kad 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Sudarykime sandaugą iš visų šių plėtimų faktorių: 2·3·3·5·5·5·7 . Dabar iš šio produkto neįtraukiame visų faktorių, esančių tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (šie faktoriai yra 3 ir 5), tada sandauga bus 2·3·5·5·7. . Šio produkto vertė yra lygi mažiausiam bendrajam 75 ir 210 kartotiniui, ty NOC(75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1 050.
Pavyzdys.
Padalinkite skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus ir raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.
Sprendimas.
Sudėkime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:
Gauname 441=3·3·7·7 ir 700=2·2·5·5·7.
Dabar sukurkime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (yra tik vienas toks veiksnys – tai skaičius 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Taigi, LCM(441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Atsakymas:
NOC(441; 700) = 44 100 .
Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių faktorius į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus skaičiaus b išplėtimo koeficientus pridėsime prie koeficientų iš skaičiaus a išplėtimo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..
Pavyzdžiui, paimkime tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų skaidymai į pirminius veiksnius yra tokie: 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Prie koeficientų 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 išplėtimo, gauname sandaugą 2·3·5·5·7, kurios reikšmė yra lygus LCM(75, 210).
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 skaidymus į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2·2·3·7 ir 648=2·2·2·3·3·3·3. Prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 iš skaičiaus 84 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2, 3, 3 ir 3 iš skaičiaus 648 išplėtimo, gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7, kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis yra 4 536.
Atsakymas:
LCM(84,648)=4536.
Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM
Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti nuosekliai surandant dviejų skaičių LCM. Prisiminkime atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Teorema.
Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliai apskaičiuojant m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Panagrinėkime šios teoremos taikymą, naudodami pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.
Pavyzdys.
Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Pirmiausia randame m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome GCD(140, 9), turime 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, todėl GCD(140, 9)=1 , iš kur GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260. Tai yra, m 2 = 1 260.
Dabar randame m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per GCD(1 260, 54), kurį taip pat nustatome naudodami Euklido algoritmą: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada gcd(1,260,54)=18, iš kurio gcd(1260,54)=1260·54:gcd(1260,54)=1260·54:18=3780. Tai yra, m 3 = 3 780.
Belieka tik surasti m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Tam naudojant Euklido algoritmą randame GCD(3,780, 250): 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Todėl GCM(3,780,250)=10, iš kur GCM(3,780,250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Tai yra, m 4 = 94 500.
Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.
Atsakymas:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
Daugeliu atvejų patogu rasti mažiausią bendrąjį trijų ar daugiau skaičių kartotinį, naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju turėtumėte laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.
Pažvelkime į mažiausio bendro kartotinio radimo pavyzdį naudojant pirminį faktorių.
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname šių skaičių skaidymus į pirminius veiksnius: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 yra pirminis skaičius, jis sutampa su jo išskaidymu į pirminius veiksnius) ir 143=11·13.
Norėdami rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 koeficientų (jie yra 2, 2, 3 ir 7), turite pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 skaidyme nėra trūkstamų faktorių, nes ir 2, ir 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 skaidyme. Toliau prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo, gauname faktorių 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 aibę. Kitame veiksme prie šio rinkinio daugiklių pridėti nereikės, nes jame jau yra 7. Galiausiai prie koeficientų 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2·2·2·2·3·7·11·13, kuri yra lygi 48 048.
Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti LCM, pirmiausia turite nustatyti termino „daugelis“ reikšmę.
A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris be liekanos dalijasi iš A. Taigi skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, gali būti laikomi 15, 20, 25 ir pan.
Tam tikro skaičiaus daliklių skaičius gali būti ribotas, tačiau kartotinių yra begalinis skaičius.
Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš jų nepaliekant liekanos.
Kaip rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį
Mažiausias skaičių kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš visų šių skaičių.
Norėdami rasti LOC, galite naudoti kelis metodus.
Mažiems skaičiams patogu užrašyti visus šių skaičių kartotinius vienoje eilutėje, kol tarp jų rasite ką nors bendro. Keletai žymimi didžiąja raide K.
Pavyzdžiui, 4 kartotiniai gali būti parašyti taip:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Taigi, matote, kad mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis yra skaičius 24. Šis žymėjimas atliekamas taip:
LCM(4, 6) = 24
Dabar užrašykite bendrus abiejų skaičių veiksnius. Mūsų versijoje tai yra du ir penki. Tačiau kitais atvejais šis skaičius gali būti vieno, dviejų ar trijų skaitmenų ar net daugiau. Toliau reikia dirbti su laipsniais. Kiekvienam veiksniui pasirinkite mažiausią galią. Pavyzdyje jis yra nuo dviejų iki antrosios laipsnio ir penkių iki pirmojo.
Galiausiai jums tereikia padauginti gautus skaičius. Mūsų atveju viskas itin paprasta: du kvadratai padauginti iš penkių lygu 20. Taigi skaičių 20 galima pavadinti didžiausiu bendru 60 ir 80 dalikliu.
Video tema
pastaba
Atminkite, kad pirminis koeficientas yra skaičius, kuris turi tik 2 daliklius: vieną ir patį skaičių.
Naudingas patarimas
Be šio metodo, taip pat galite naudoti Euklido algoritmą. Visą jos aprašymą, pateiktą geometrine forma, galima rasti Euklido knygoje „Elementai“.
Susijęs straipsnis
Sudėti ir atimti natūraliąsias trupmenas galima tik tuo atveju, jei jos turi tą patį vardiklį. Kad neapsunkintumėte skaičiavimų suvedant juos į vieną vardiklį, suraskite mažiausią bendrą vardklių daliklį ir atlikite skaičiavimą.
Jums reikės
- - gebėjimas suskaičiuoti skaičius į pirminius veiksnius;
- - gebėjimas atlikti operacijas su trupmenomis.
Instrukcijos
Užrašykite trupmenų sudėjimą. Tada raskite jų mažiausią bendrą kartotinį. Norėdami tai padaryti, atlikite tokią veiksmų seką: 1. Įsivaizduokite kiekvieną vardiklį pirminiais skaičiais (pirminis skaičius, skaičius, kuris dalijasi tik iš 1 ir pats be liekanos, pavyzdžiui, 2, 3, 5, 7, ir kt.).2. Sugrupuokite visus išrašytus paprastus, nurodydami jų laipsnius. 3. Pasirinkite didžiausias kiekvieno iš šių pirminių faktorių, esančių šiuose skaičiuose, laipsnius. 4. Padauginkite rašytines galias.
Pavyzdžiui, trupmenų, kurių vardikliai 15, 24 ir 36, bendras vardiklis bus skaičius, kurį galima apskaičiuoti taip: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Parašykite šių skaičių visų pirminių daliklių didžiausias laipsnius: 2^3 3^2 5=360.
Padalinkite bendrą vardiklį iš kiekvieno ir pridedamų trupmenų vardiklius. Padauginkite jų skaitiklius iš gauto skaičiaus. Po bendrąja trupmenos eilute parašykite mažiausią bendrą dividendą, kuris kartu yra ir mažiausias bendras vardiklis. Skaitiklyje pridėkite skaičius, gautus padauginus kiekvieną skaitiklį iš mažiausio bendro koeficiento dalinio, padalytos iš trupmenos vardiklio. Visų skaitiklių suma ir padalinta iš mažiausio bendro vardiklio bus norimas skaičius.
Pavyzdžiui, darykite tai 4/15, 7/24 ir 11/36. Raskite mažiausią bendrą vardiklį, kuris yra 360. Tada padalinkite 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Padauginkite skaičių 4, kuris yra pirmosios trupmenos skaitiklis, iš 24 (4 24=96), skaičių 7 iš 15 (7 15=105), skaičių 11 iš 10 (11 10=110). Tada pridėkite šiuos skaičius (96+105+110=301). Gauname rezultatą 4/15+7/24+11/36=301/360.
Šaltiniai:
- kaip rasti mažiausią skaičių
Sveikieji skaičiai yra įvairūs matematiniai skaičiai, kuriuos galima pritaikyti kasdieniame gyvenime. Neneigiami sveikieji skaičiai naudojami nurodant bet kokių objektų skaičių, neigiami skaičiai - pranešimuose apie orų prognozes ir pan. GCD ir LCM yra natūralios sveikųjų skaičių charakteristikos, susijusios su padalijimo operacijomis.
Instrukcijos
GCD lengva apskaičiuoti naudojant Euklido algoritmą arba dvejetainį metodą. Pagal Euklido algoritmą, skirtą skaičių a ir b gcd nustatyti, iš kurių vienas nėra nulis, yra skaičių seka r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, kurioje r_1 yra lygi dalybos liekanai. pirmas skaičius antruoju. O kiti sekos nariai lygūs liekanoms nuo ankstesnio nario padalijimo iš ankstesnio, o priešpaskutinis elementas dalijamas iš paskutiniojo be liekanos.
Matematiškai seka gali būti pavaizduota taip:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
kur k_i yra sveikasis skaičius.
GCD (a, b) = r_n.
Pavyzdys.
Raskite GCD (36, 120). Pagal Euklido algoritmą iš 120 atimkite skaičių, kuris yra 36 kartotinis, šiuo atveju jis yra 120 – 36*3 = 12. Dabar iš 120 atimkite skaičių, kuris yra 12 kartotinis, gausite 120 – 12* 10 = 0. Todėl GCD (36, 120) = 12.
Dvejetainis GCD paieškos algoritmas yra pagrįstas poslinkio teorija. Pagal šį metodą dviejų skaičių gcd turi šias savybes:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) lygiems a ir b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) lyginiam a ir nelyginiam b (priešingai yra GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b), kai nelyginis a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) nelyginiam b > a
Taigi, gcd (36, 120) = 2 * gcd (18, 60) = 4 * gcd (9, 30) = 4 * gcd (9, 15) = 4 * gcd ((15 - 9) / 2 = 3 , 9) = 4*3 = 12.
Mažiausias dviejų sveikųjų skaičių bendras kartotinis (LCM) yra mažiausias sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų pradinių skaičių nepaliekant liekanos.
LCM galima apskaičiuoti naudojant GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Antrasis būdas apskaičiuoti LCM yra kanoninis skaičių faktorius į pirminius veiksnius:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
kur r_i yra pirminiai skaičiai, o k_i ir m_i yra sveikieji skaičiai ≥ 0.
LCM pavaizduotas tų pačių pirminių koeficientų pavidalu, kur laipsniais imamas daugiausiai dviejų skaičių.
Pavyzdys.
Raskite LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM – mažiausias bendras kartotinis. Skaičius, kuris padalins visus pateiktus skaičius be liekanos.
Pavyzdžiui, jei pateikti skaičiai yra 2, 3, 5, tada LCM=2*3*5=30
Ir jei pateikti skaičiai yra 2,4,8, tai LCM =8
kas yra GCD?
GCD yra didžiausias bendras daliklis. Skaičius, kurį galima naudoti kiekvienam iš pateiktų skaičių padalyti nepaliekant likučio.
Logiška, kad jei pateikti skaičiai yra pirminiai, tada gcd yra lygus vienetui.
Ir jei pateikti skaičiai yra 2, 4, 8, tada GCD yra lygus 2.
Neapibūdinsime jo bendrais bruožais, o tiesiog parodysime sprendimą pavyzdžiu.
Duoti du skaičiai 126 ir 44. Raskite GCD.
Tada, jei mums duoti du formos skaičiai
Tada GCD apskaičiuojamas kaip
čia min yra mažiausia visų skaičiaus pn laipsnių reikšmė
ir NOC as
kur max yra didžiausia visų skaičiaus pn laipsnių reikšmė
Žvelgdami į aukščiau pateiktas formules, galite lengvai įrodyti, kad dviejų ar daugiau skaičių gcd bus lygus vienetui, kai bent vienoje nurodytų reikšmių poroje yra santykinai pirminių skaičių.
Todėl į klausimą, kam lygus gcd tokių skaičių kaip 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7, nesunku nieko neskaičiuojant.
skaičiai 3 ir 7 yra pirminiai, todėl gcd = 1
Pažiūrėkime į pavyzdį.
Duoti trys skaičiai 24654, 25473 ir 954
Kiekvienas skaičius išskaidomas į šiuos veiksnius
Arba, jei parašytume alternatyvia forma
Tai yra, šių trijų skaičių gcd yra lygus trims
Na, mes galime apskaičiuoti LCM panašiai, ir jis yra lygus
Mūsų robotas padės apskaičiuoti bet kokių sveikųjų skaičių – dviejų, trijų ar dešimties – GCD ir LCM.
Tęskime pokalbį apie mažiausią bendrąjį kartotinį, kurį pradėjome skyriuje „LCM – mažiausias bendrasis kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai“. Šioje temoje apžvelgsime būdus, kaip rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, ir pažvelgsime į klausimą, kaip rasti neigiamo skaičiaus LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mažiausių bendrųjų kelių (LCM) apskaičiavimas per GCD
Mes jau nustatėme ryšį tarp mažiausio bendro kartotinio ir didžiausio bendro daliklio. Dabar sužinokime, kaip nustatyti LCM naudojant GCD. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tai padaryti teigiamiems skaičiams.
1 apibrėžimas
Mažiausią bendrąjį kartotinį galite rasti per didžiausią bendrąjį daliklį naudodami formulę LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
1 pavyzdys
Turite rasti skaičių 126 ir 70 LCM.
Sprendimas
Paimkime a = 126, b = 70. Pakeiskime reikšmes į formulę, skirtą mažiausiam bendrajam kartotiniui apskaičiuoti per didžiausią bendrą daliklį LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Suranda skaičių 70 ir 126 gcd. Tam mums reikia euklido algoritmo: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, todėl GCD (126 , 70) = 14 .
Apskaičiuokime LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Atsakymas: LCM(126; 70) = 630.
2 pavyzdys
Raskite skaičius 68 ir 34.
Sprendimas
GCD šiuo atveju nėra sunku rasti, nes 68 dalijasi iš 34. Apskaičiuokime mažiausią bendrąjį kartotinį naudodami formulę: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Atsakymas: LCM(68, 34) = 68.
Šiame pavyzdyje naudojome taisyklę, leidžiančią rasti mažiausią bendrą teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinį: jei pirmasis skaičius dalijasi iš antrojo, tų skaičių LCM bus lygus pirmajam skaičiui.
LCM nustatymas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Dabar pažiūrėkime į LCM radimo metodą, kuris pagrįstas skaičiais paverčiant pirminius veiksnius.
2 apibrėžimas
Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turime atlikti kelis paprastus veiksmus:
- sudarome skaičių sandaugą iš visų pirminių veiksnių, kuriems reikia rasti LCM;
- iš jų gaunamų produktų neįtraukiame visų pagrindinių veiksnių;
- sandauga, gauta pašalinus bendruosius pirminius veiksnius, bus lygi duotųjų skaičių LCM.
Šis mažiausiojo bendro kartotinio radimo metodas pagrįstas lygybe LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jei pažvelgsite į formulę, paaiškės: skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių šių dviejų skaičių skaidyme, sandaugai. Šiuo atveju dviejų skaičių gcd yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių šių dviejų skaičių faktoriuose, sandaugai.
3 pavyzdys
Turime du skaičius 75 ir 210. Galime juos suskirstyti taip: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Jei sudarysite visų dviejų pradinių skaičių koeficientų sandaugą, gausite: 2 3 3 5 5 5 7.
Jei neįtrauksime faktorių, bendrų skaičiams 3 ir 5, gausime tokios formos sandaugą: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produktas bus mūsų LCM numeriams 75 ir 210.
4 pavyzdys
Raskite skaičių LCM 441 Ir 700 , įtraukiant abu skaičius į pirminius veiksnius.
Sprendimas
Raskime visus pirminius skaičių, pateiktų sąlygoje, veiksnius:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Gauname dvi skaičių grandines: 441 = 3 3 7 7 ir 700 = 2 2 5 5 7.
Visų veiksnių, dalyvavusių skaidant šiuos skaičius, sandauga bus tokia: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Raskime bendrus veiksnius. Tai yra skaičius 7. Išskirkime jį iš viso produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. Pasirodo, NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atsakymas: LOC(441; 700) = 44 100.
Pateiksime kitą metodo formuluotę, kaip rasti LCM, išskaidant skaičius į pirminius veiksnius.
3 apibrėžimas
Anksčiau iš bendro veiksnių, bendrų abiem skaičiams, skaičiaus neįtraukėme. Dabar darysime kitaip:
- Suskirstykime abu skaičius į pirminius veiksnius:
- prie pirmojo skaičiaus pirminių koeficientų sandaugos pridėkite trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus;
- gauname sandaugą, kuri bus norimas dviejų skaičių LCM.
5 pavyzdys
Grįžkime prie skaičių 75 ir 210, kurių LCM jau ieškojome viename iš ankstesnių pavyzdžių. Suskirstykime juos į paprastus veiksnius: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Į koeficientų sandaugą 3, 5 ir 5 skaičiai 75 prideda trūkstamus veiksnius 2 Ir 7 skaičiai 210. Mes gauname: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Tai yra skaičių 75 ir 210 LCM.
6 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti skaičių 84 ir 648 LCM.
Sprendimas
Skaičius iš sąlygos išskaidykime į paprastus veiksnius: 84 = 2 2 3 7 Ir 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Prie sandaugos pridėkime koeficientus 2, 2, 3 ir 7
skaičiai 84 trūksta koeficientų 2, 3, 3 ir
3
Skaičiai 648. Gauname prekę 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Tai mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis.
Atsakymas: LCM(84, 648) = 4 536.
Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM
Nepriklausomai nuo to, su kiek skaičių turime reikalų, mūsų veiksmų algoritmas visada bus toks pat: paeiliui rasime dviejų skaičių LCM. Šiuo atveju yra teorema.
1 teorema
Tarkime, kad turime sveikuosius skaičius a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kšie skaičiai randami nuosekliai skaičiuojant m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Dabar pažiūrėkime, kaip teorema gali būti taikoma sprendžiant konkrečias problemas.
7 pavyzdys
Turite apskaičiuoti mažiausią bendrą keturių skaičių 140, 9, 54 ir kartotinį 250 .
Sprendimas
Įveskime žymėjimą: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Pradėkime nuo apskaičiavimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Apskaičiuojant skaičių 140 ir 9 GCD, taikykime Euklido algoritmą: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Gauname: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Todėl m 2 = 1 260.
Dabar apskaičiuokime naudodami tą patį algoritmą m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Skaičiuodami gauname m 3 = 3 780.
Tereikia apskaičiuoti m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Mes laikomės to paties algoritmo. Gauname m 4 = 94 500.
Keturių skaičių LCM iš pavyzdinės sąlygos yra 94500.
Atsakymas: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kaip matote, skaičiavimai yra paprasti, tačiau gana daug darbo reikalaujantys. Norėdami sutaupyti laiko, galite pasirinkti kitą kelią.
4 apibrėžimas
Siūlome tokį veiksmų algoritmą:
- visus skaičius išskaidome į pirminius veiksnius;
- prie pirmojo skaičiaus veiksnių sandaugos pridedame trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus sandaugos;
- prie ankstesniame etape gauto sandaugos pridedame trūkstamus trečiojo skaičiaus koeficientus ir pan.;
- gauta sandauga bus mažiausias bendrasis visų skaičių iš sąlygos kartotinis.
8 pavyzdys
Turite rasti penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Sprendimas
Padėkime visus penkis skaičius į pirminius koeficientus: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pirminiai skaičiai, kurie yra skaičius 7, negali būti įtraukti į pirminius veiksnius. Tokie skaičiai sutampa su jų išskaidymu į pirminius veiksnius.
Dabar paimkime skaičiaus 84 pirminių koeficientų 2, 2, 3 ir 7 sandaugą ir pridėkime prie jų trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus. Skaičius 6 išskaidėme į 2 ir 3. Šie veiksniai jau yra pirmojo skaičiaus sandaugoje. Todėl mes juos praleidžiame.
Toliau pridedame trūkstamus daugiklius. Pereikime prie skaičiaus 48, iš kurio pirminių koeficientų sandaugos paimame 2 ir 2. Tada pridedame pirminį koeficientą 7 iš ketvirto skaičiaus ir 11 ir 13 penktojo skaičiaus koeficientus. Gauname: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tai mažiausias bendras pirminių penkių skaičių kartotinis.
Atsakymas: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.
Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį
Norint rasti mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį, šie skaičiai pirmiausia turi būti pakeisti skaičiais su priešingu ženklu, o tada atlikti skaičiavimus naudojant aukščiau nurodytus algoritmus.
9 pavyzdys
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ir LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Tokie veiksmai yra leistini dėl to, kad jei su tuo sutiksime a Ir − a- priešingi skaičiai,
tada skaičiaus kartotinių aibė a atitinka skaičiaus kartotinių aibę − a.
10 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti neigiamų skaičių LCM − 145 Ir − 45 .
Sprendimas
Pakeiskime skaičius − 145 Ir − 45 į priešingus jų skaičius 145 Ir 45 . Dabar, naudodami algoritmą, apskaičiuojame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, prieš tai nustatę GCD naudodami Euklido algoritmą.
Gauname, kad skaičių LCM yra − 145 ir − 45 lygus 1 305 .
Atsakymas: LCM (− 145, − 45) = 1 305.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter