فرمول هایی برای یافتن مساحت تمام اشکال هندسی. نحوه محاسبه مساحت یک شکل

برای حل مسائل هندسی، باید فرمول هایی - مانند مساحت مثلث یا مساحت متوازی الاضلاع - و همچنین تکنیک های ساده ای را بدانید که به آنها خواهیم پرداخت.

ابتدا بیایید فرمول های مساحت شکل ها را یاد بگیریم. ما آنها را به طور ویژه در یک جدول مناسب جمع آوری کرده ایم. چاپ کنید، یاد بگیرید و اعمال کنید!

البته همه فرمول های هندسی در جدول ما نیستند. به عنوان مثال، برای حل مسائل هندسه و استریومتری در بخش دوم پروفایل یکپارچه آزمون ریاضیات، از فرمول های دیگری برای مساحت یک مثلث استفاده می شود. ما حتما در مورد آنها به شما خواهیم گفت.

اما اگر لازم باشد نه مساحت ذوزنقه یا مثلث، بلکه مساحت یک شکل پیچیده را پیدا کنید، چه؟ راه های جهانی وجود دارد! ما با استفاده از نمونه هایی از بانک وظیفه FIPI به آنها نشان خواهیم داد.

1. چگونه می توان مساحت یک شکل غیر استاندارد را پیدا کرد؟ مثلا یک چهارضلعی دلخواه؟ یک تکنیک ساده - بیایید این شکل را به آنهایی که همه چیز درباره آنها می دانیم تقسیم کنیم و مساحت آن را پیدا کنیم - به عنوان مجموع مساحت های این شکل ها.

این چهار ضلعی را با خط افقی به دو مثلث با قاعده مشترک برابر تقسیم کنید. ارتفاع این مثلث ها برابر است و . سپس مساحت چهارضلعی برابر است با مجموع مساحت های دو مثلث: .

پاسخ: .

2. در برخی موارد، مساحت یک شکل را می توان به عنوان تفاوت برخی از مناطق نشان داد.

محاسبه این که قاعده و ارتفاع این مثلث با چه چیزی برابری می کند چندان آسان نیست! اما می توان گفت مساحت آن برابر است با اختلاف مساحت مربع با ضلع و سه مثلث قائم الزاویه. آیا آنها را در تصویر می بینید؟ ما گرفتیم: .

پاسخ: .

3. گاهی اوقات در یک کار باید مساحت کل شکل، بلکه بخشی از آن را پیدا کنید. معمولاً در مورد مساحت یک بخش - بخشی از یک دایره صحبت می کنیم. مساحت یک بخش از یک دایره با شعاع را پیدا کنید که طول قوس آن برابر است با .

در این تصویر بخشی از یک دایره را می بینیم. مساحت کل دایره برابر است با . باقی مانده است که بفهمیم کدام قسمت از دایره به تصویر کشیده شده است. از آنجایی که طول کل دایره برابر است (از ) و طول قوس یک بخش معین برابر است بنابراین، طول کمان چندین برابر طول کل دایره است. زاویه ای که این قوس در آن قرار می گیرد نیز ضریب کمتر از یک دایره کامل (یعنی درجه) است. این بدان معنی است که مساحت بخش چندین برابر کوچکتر از مساحت کل دایره خواهد بود.

فرمول مساحتبرای تعیین مساحت یک شکل، که یک تابع با ارزش واقعی است که بر روی کلاس خاصی از شکل های صفحه اقلیدسی تعریف شده و 4 شرط را برآورده می کند، ضروری است:

1. مثبت - مساحت نمی تواند کمتر از صفر باشد.
2. عادی سازی - یک مربع با واحد جانبی دارای مساحت 1 است.
3. همخوانی - ارقام متجانس دارای مساحت مساوی هستند.
4. افزایشی - مساحت اتحاد 2 شکل بدون نقاط مشترک داخلی برابر است با مجموع مساحت این ارقام.

فرمول های مساحت اشکال هندسی.

شکل هندسی	فرمول	طراحی
حاصل جمع کردن فواصل بین نقاط میانی اضلاع مقابل یک چهارضلعی محدب برابر با نیم محیط آن خواهد بود.
بخش دایره مساحت یک بخش از یک دایره برابر است با حاصل ضرب قوس آن و نصف شعاع آن.
بخش دایره. برای بدست آوردن مساحت قطعه ASB کافی است مساحت مثلث AOB را از مساحت بخش AOB کم کنید.	S = 1/2 R(s - AC)
مساحت بیضی برابر است با حاصل ضرب طول نیم محورهای اصلی و فرعی بیضی و عدد پی.
بیضی. گزینه دیگر برای محاسبه مساحت یک بیضی از طریق دو شعاع آن است.
مثلث. از طریق پایه و ارتفاع. فرمول مساحت دایره با استفاده از شعاع و قطر آن.
مربع . از طریق او. مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع آن.
مربع. از طریق مورب های آن. مساحت مربع برابر با نصف مربع طول قطر آن است.
چند ضلعی منتظم. برای تعیین مساحت یک چند ضلعی منتظم، لازم است آن را به مثلث های مساوی تقسیم کنیم که یک راس مشترک در مرکز دایره محاطی داشته باشند.	S= r p = 1/2 r n a

مساحت یک شکل هندسی- یک مشخصه عددی یک شکل هندسی که اندازه این شکل را نشان می دهد (بخشی از سطح محدود شده توسط کانتور بسته این شکل). اندازه مساحت با تعداد واحدهای مربع موجود در آن بیان می شود.

فرمول های مساحت مثلث

1. فرمول مساحت یک مثلث در کنار و ارتفاع
   مساحت یک مثلثبرابر با نصف حاصلضرب طول یک ضلع مثلث و طول ارتفاع کشیده شده به این ضلع
   
2. فرمول مساحت مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره دایره
   
3. فرمول مساحت یک مثلث بر اساس سه ضلع و شعاع دایره محاط شده
   مساحت یک مثلثبرابر است با حاصل ضرب نیم محیط مثلث و شعاع دایره محاطی.
   
که در آن S مساحت مثلث است،
- طول اضلاع مثلث،
- ارتفاع مثلث،
- زاویه بین اضلاع و
- شعاع دایره محاطی،
R - شعاع دایره محدود شده،

فرمول های مساحت مربع

1. فرمول مساحت مربع در طول ضلع
   مساحت مربعبرابر مربع طول ضلع آن است.
2. فرمول مساحت مربع در طول مورب
   مساحت مربعبرابر با نصف مربع طول قطر آن است.
   

   S=	1	2
   	2

جایی که S مساحت مربع است،
- طول ضلع مربع،
- طول مورب مربع.

فرمول مساحت مستطیل

مساحت یک مستطیلبرابر حاصل ضرب طول دو ضلع مجاور آن است

جایی که S مساحت مستطیل است،
- طول اضلاع مستطیل.

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع

1. فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس طول و ارتفاع ضلع
   مساحت متوازی الاضلاع
2. فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر اساس دو ضلع و زاویه بین آنها
   مساحت متوازی الاضلاعبرابر است با حاصل ضرب طول اضلاع آن در سینوس زاویه بین آنها.
   

   a b sin α

که در آن S مساحت متوازی الاضلاع است،
- طول اضلاع متوازی الاضلاع،
- طول ارتفاع متوازی الاضلاع،
- زاویه بین اضلاع متوازی الاضلاع.

فرمول های مساحت یک لوزی

1. فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و ارتفاع ضلع
   مساحت یک لوزیبرابر با حاصلضرب طول ضلع آن و طول ارتفاع پایین آمده به این سمت.
2. فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول و زاویه ضلع
   مساحت یک لوزیبرابر است با حاصل ضرب مربع طول ضلع آن و سینوس زاویه بین اضلاع لوزی.
3. فرمول مساحت یک لوزی بر اساس طول قطرهای آن
   مساحت یک لوزیبرابر با نصف حاصلضرب طول قطرهای آن است.
جایی که S مساحت لوزی است،
- طول ضلع لوزی،
- طول ارتفاع لوزی،
- زاویه بین دو طرف لوزی،
1، 2 - طول مورب.

فرمول های ناحیه ذوزنقه ای

1. فرمول هرون برای ذوزنقه

   جایی که S مساحت ذوزنقه است،
   - طول پایه های ذوزنقه،
   - طول اضلاع ذوزنقه،