Знання про те, як виміряти Землю, з'явилися ще в давнину та поступово оформилися в науку геометрію. З грецької мови це слово так і перекладається – «землемірство».
Мірою протяжності плоскої ділянки Землі за довжиною та шириною є площа. У математиці вона зазвичай позначається латинською літерою S (від англ. "square" - "площа", "квадрат") або грецькою літерою σ (сигма). S позначає площу фігури на площині або площу поверхні тіла, а σ — площа поперечного перерізу дроту у фізиці. Це основні символи, хоча можуть бути інші, наприклад, у сфері опору матеріалів, А - площа перерізу профілю.
Вконтакте
Формули розрахунку
Знаючи площі простих фігур, можна знаходити параметри складніших. Античними математиками було виведено формули, якими можна легко їх обчислювати. Такими фігурами є трикутник, чотирикутник, багатокутник, коло.
Щоб знайти площу складної плоскої фігури, її розбивають на безліч простих фігур, таких як трикутники, трапеції чи прямокутники. Потім математичними методами виводять формулу площі цієї постаті. Такий метод використовують у геометрії, а й у математичному аналізі для обчислення площ постатей, обмежених кривими .
Трикутник
Почнемо з найпростішої фігури – трикутника. Вони бувають прямокутні, рівнобедрені та рівносторонні. Візьмемо будь-який трикутник ABC зі сторонами AB=a, BC=b та AC=c (∆ABC). Щоб знайти його площу, згадаємо відомі зі шкільного курсу математики теореми синусів та косінусів. Відпускаючи всі викладки, прийдемо до наступних формул:
- S=√ - відома всім формула Герона, де p=(a+b+c)/2 - напівпериметр трикутника;
- S=a h/2 де h - висота, опущена на бік a;
- S=a b (sin γ)/2, де γ - кут між сторонами a та b;
- S=a b/2, якщо ∆ ABC - прямокутний (тут a і b - катети);
- S=b² (sin (2 β))/2, якщо ∆ ABC - рівнобедрений (тут b - одне з «стегон», β - кут між «стегнами» трикутника);
- S=a² √¾, якщо ∆ ABC - рівносторонній (тут a - сторона трикутника).
Чотирикутник
Нехай є чотирикутник ABCD, який має AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Щоб знайти площу S довільного 4-кутника, потрібно розділити його діагоналлю на два трикутники, площі яких S1 та S2 у загальному випадку не рівні.
Потім за формулами обчислити їх і скласти, тобто S = S1 + S2. Однак, якщо 4-кутник належить до певного класу, його площа можна знайти за заздалегідь відомими формулами:
- S=(a+c) h/2=e h, якщо 4-кутник - трапеція (тут a і c - основи, e - середня лінія трапеції, h - висота, опущена на одну з основ трапеції;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, якщо ABCD - паралелограм (тут φ - кут між сторонами a та b, h - висота, опущена на бік a, d1 та d2 - діагоналі);
- S=a b=d²/2, якщо ABCD - прямокутник (d - діагональ);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, якщо ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один із його кутів, P - периметр);
- S=a²=P²/16=d²/2, якщо ABCD – квадрат.
Багатокутник
Щоб знайти площу n-кутника, математики розбивають його на найпростіші рівні фігури трикутники, знаходять площу кожного з них і потім складають. Але якщо багатокутник належить до класу правильних, використовують формулу:
S=a n h/2=a² n/=P²/, де n – кількість вершин (або сторін) багатокутника, a – сторона n-кутника, P – його периметр, h – апофема, тобто відрізок, проведений з центру багатокутника до однієї з сторін під кутом 90°.
Коло
Коло - це досконалий багатокутник, що має нескінченну кількість сторін. Нам необхідно обчислити межу виразу праворуч у формулі площі багатокутника при числі сторін n, що прагне нескінченності. У цьому випадку периметр багатокутника перетвориться на довжину кола радіуса R, яка буде межею нашого кола, і дорівнюватиме P=2 π R. Підставимо цей вираз у вказану вище формулу. Ми отримаємо:
S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).
Знайдемо межу цього виразу при n→∞. Щоб це зробити, врахуємо, що lim (cos (180°/n)) при n→∞ дорівнює cos 0°=1 (lim - знак межі), а lim = lim при n→∞ дорівнює 1/π (ми переклали градусну міру в радіанну, використовуючи співвідношення π рад = 180 °, і застосували перша чудова межа lim (sin x) / x = 1 при x→∞). Підставивши останній вираз для S отримані значення, прийдемо до відомої формули:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Одиниці виміру
Застосовуються системні та позасистемні одиниці виміру. Системні одиниці відносяться до СІ (Система Міжнародна). Це квадратний метр (кв. метр, м²) та одиниці, похідні від нього: мм², см², км².
У квадратних міліметрах (мм²), наприклад, вимірюють площу перерізу проводів в електротехніці, у квадратних сантиметрах (см²) – перерізи балки у будівельній механіці, у квадратних метрах (м²) – квартири або будинки, у квадратних кілометрах (км²) – території в географії .
Однак іноді використовуються і позасистемні одиниці вимірювання, такі як: сотка, ар(а), гектар(га) та акр(ас). Наведемо такі співвідношення:
- 1 сотка = 1 а = 100 м ² = 0,01 га;
- 1 га = 100 а = 100 соток = 10000 м ² = 0,01 км ² = 2,471 ас;
- 1 ас = 4046.856 м ² = 40,47 а = 40,47 соток = 0,405 га.
Формула площінеобхідна для визначення площа фігури, яка є речовиннозначною функцією, визначеною на деякому класі фігур евклідової площини та задовольняє 4м умовам:
- Позитивність — Площа не може бути меншою за нуль;
- Нормування - квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
- Конгруентність - конгруентні фігури мають рівну площу;
- Адитивність - площа об'єднання 2х фігур без загальних внутрішніх точок дорівнює сумі площ цих фігур.
| Геометрична фігура | Формула | Креслення |
|---|---|---|
|
Результат складання відстаней між серединами протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюватиме його напівпериметру. |
||
|
Сектор кола. Площа сектора кола дорівнює добутку його дуги на половину радіусу. |
|
|
|
Сегмент кола. Щоб отримати площу сегмента ASB, достатньо з площі сектора AOB відняти площу трикутника AOB. |
S = 1/2 R(s - AС) |
|
|
Площа еліпса дорівнює добутку довжин великої та малої півосей еліпса на число пі. |
|
|
|
Еліпс. Ще один варіант як обчислити площу еліпса – через два його радіуси. |
|
|
|
Трикутник. Через основу та висоту. Формула площі кола через його радіус та діаметр. |
||
|
Квадрат. Через його бік. Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони. |
|
|
|
Квадрат. Через його діагоналі. Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі. |
||
|
Правильний багатокутник. Для визначення площі правильного багатокутника необхідно розбити його на рівні трикутники, які мали б загальну вершину в центрі вписаного кола. |
S= r·p = 1/2 r·n·a |
Щоб розв'язати задачі з геометрії, треба знати формули - такі, як площа трикутника або площа паралелограма - а також прості прийоми, про які ми розповімо.
Для початку вивчимо формули площ фігур. Ми спеціально зібрали їх у зручну таблицю. Роздрукуйте, вивчіть та застосовуйте!
Звичайно, не всі формули геометрії є в нашій таблиці. Наприклад, для вирішення задач з геометрії та стереометрії у другій частині профільного ЄДІ з математики застосовуються інші формули площі трикутника. Про них ми обов'язково розповімо.
А що робити, якщо треба знайти не площу трапеції чи трикутника, а площу якоїсь складної фігури? Є універсальні методи! Покажемо їх на прикладах із банку завдань ФІПД.
1. Як знайти площу нестандартної фігури? Наприклад, довільного чотирикутника? Простий прийом - розіб'ємо цю фігуру на такі, про які ми знаємо, і знайдемо її площу - як суму площ цих постатей.
Розділимо цей чотирикутник горизонтальною лінією на два трикутники із загальною основою, що дорівнює . Висоти цих трикутників рівні та . Тоді площа чотирикутника дорівнює сумі площ двох трикутників: .
Відповідь: .
2. У деяких випадках площу фігури можна представити як різницю будь-яких площ.
Не так просто порахувати, чому рівні основа і висота в цьому трикутнику! Проте ми можемо сказати, що його площа дорівнює різниці площ квадрата зі стороною і трьох прямокутних трикутників. Бачите їх на малюнку? Отримуємо: .
Відповідь: .
3. Іноді у завданні треба знайти площу не всієї фігури, а її частини. Зазвичай мова тут йде про площу сектора - частини кола. Знайдіть площу сектора кола радіусу, довжина дуги якого дорівнює .
На цьому малюнку ми бачимо частину кола. Площа всього кола дорівнює, оскільки. Залишається дізнатися, яку частину кола зображено. Оскільки довжина всього кола дорівнює (оскільки ), а довжина дуги даного сектора дорівнює Отже, довжина дуги в раз менша, ніж довжина всього кола. Кут, на який спирається ця дуга, також у раз менше, ніж повне коло (тобто градусів). Значить, і площа сектора буде в раз менше, ніж площа всього кола.
Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Величина площі виражається числом квадратних одиниць, що укладаються в неї.
Формули площі трикутника
- Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти - Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
- Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола. де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
Формули площі квадрата
- Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони. - Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.S = 1 2 2 де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
- Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
- Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма - Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.a · b · sin α
де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.
Формули площі ромба
- Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти. - Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба. - Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
- Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,
Площа геометричних фігур - чисельні значення, що характеризують їх розмір у двовимірному просторі. Ця величина може вимірюватися в системних та позасистемних одиницях. Так, наприклад, позасистемна одиниця площі – сотка, гектар. Це в тому випадку, якщо поверхнею, що вимірювається, є ділянка землі. Системна одиниця площі - квадрат довжини. У системі СІ прийнято вважати, що одиниця площі плоскої поверхні це квадратний метр. У СГС одиниця площі виражається через квадратний сантиметр.
Геометрія та формули площ нерозривно пов'язані. Цей зв'язок полягає в тому, що обчислення площ плоских фігур ґрунтується саме на їхньому застосуванні. Для багатьох фігур виведено кілька варіантів, якими обчислюються їх квадратні розміри. Маючи дані з умови завдання, ми можемо визначити максимально простий спосіб вирішення. Тим самим полегшити розрахунок та звести ймовірність помилки обчислення до мінімуму. Для цього розглянемо основні площі фігур у геометрії.
Формули для знаходження площі будь-якого трикутника представлені кількома варіантами:
1) Площа трикутника розраховується на підставі a та висоті h. Підставою вважають бік фігури, яку опущена висота. Тоді площа трикутника:
2) Площа прямокутного трикутника розраховується так само, якщо гіпотенузу вважати основою. Якщо ж за основу прийняти катет, то площа прямокутного трикутника дорівнюватиме зменшеному вдвічі добутку катетів.
На цьому формули для обчислення площі будь-якого трикутника не закінчуються. Інший вираз містить сторони a,b та синусоїдальну функцію кута γ, укладеного між a та b. Значення синуса знаходиться за таблицями. Також його можна дізнатись за допомогою калькулятора. Тоді площа трикутника:
По даній рівності теж можна переконатися, що площа прямокутного трикутника визначається через довжини катетів. Т.к. кут - прямий, тому площа прямокутного трикутника розраховується без множення на функцію синуса.
3) Розглянемо окремий випадок – правильний трикутник, у якого сторона a відома за умовою або її довжина знайдеться при вирішенні. Про фігуру в задачі геометрії більше нічого не відомо. Тоді площу як знайти за цієї умови? У цьому випадку застосовується формула для площі правильного трикутника:
Прямокутник
Як знайти площу прямокутника і використовувати при цьому розміри сторін, що мають спільну вершину? Вираз для обчислення такий:
Якщо для обчислення площі прямокутника потрібно використовувати довжини діагоналей, тоді знадобиться функція синуса кута, утвореного при їх перетині. Така формула площі прямокутника має вигляд:
Квадрат
Площа квадрата визначають як другий ступінь довжини сторони:
Доказ випливає із визначення, згідно з яким квадратом називають прямокутник. У всіх сторін, що утворюють квадрат, однакові розміри. Тому обчислення площі такого прямокутника зводиться до перемноження однієї на іншу, тобто до другого ступеня сторони. І формула для обчислення площі квадрата набуде шуканого вигляду.
Площа квадрата можна знайти іншим способом, наприклад, якщо використовувати діагональ:
Як обчислити площу фігури, яка утворена частиною площини, обмеженою колом? Для розрахунку площі формули такі:
Паралелограм
Для паралелограма формула містить лінійні розміри сторони, висоти та математичну дію – множення. Якщо ж висота невідома, то як знайти площу паралелограма? Є ще один спосіб обчислення. Потрібне певне значення, яке набуде тригонометрична функція кута, утвореного суміжними сторонами, а також їх довжини.
Формули площі паралелограма такі:
Ромб
Як знайти площу чотирикутника, званого ромбом? Площа ромба визначається за допомогою простих математичних дій із діагоналями. Доказ спирається те що, що відрізки діагоналей в d1 і d2 перетинаються під прямим кутом. По таблиці синусів видно, що з прямого кута дана функція дорівнює одиниці. Тому площа ромба розраховується так:
Ще площа ромба можна знайти іншим способом. Довести це також неважко, якщо врахувати, що сторони його однакові за довжиною. Потім підставити їхній твір у схожий вираз для паралелограма. Адже окремим випадком саме цієї фігури є ромб. Тут γ – внутрішній кут ромба. Площу ромба визначають так:
Трапеція
Як знайти площу трапеції через підстави (a та b), якщо в задачі вказано їх довжини? Тут без відомого значення довжини висоти h обчислити площу такої трапеції не вдасться. Т.к. цю величину містить вираз для обчислення:
Квадратний розмір прямокутної трапеції також можна обчислити таким же способом. При цьому враховують, що у прямокутній трапеції поняття висоти та збоку об'єднані. Тому для прямокутної трапеції потрібно вказувати замість висоти довжину бокової сторони.
Циліндр та паралелепіпед
Розглянемо, що потрібно, щоб розрахувати поверхню всього циліндра. Площа цієї фігури складає пара кіл, званих основами, та бічна поверхня. Кола, що утворюють кола, мають довжини радіусів, рівні r. Для площі циліндра має місце таке обчислення:
Як знайти площу паралелепіпеда, що складається з трьох пар граней? Його виміри збігаються з конкретною парою. Грані протилежно мають однакові параметри. Спочатку знаходять S(1), S(2), S(3) - квадратні розміри нерівних граней. Потім вже площа поверхні паралелепіпеда:
Кільце
Два кола із загальним центром утворюють кільце. Вони ж обмежують площу кільця. При цьому обидві розрахункові формули враховують розміри кожного кола. Перша з них, що обчислює площу кільця, містить більший R і r менший радіуси. Найчастіше їх називають зовнішнім та внутрішнім. У другому виразі площа кільця розраховується через більший D і менший діаметри d. Таким чином, площа кільця за відомими радіусами розраховують так:
Площа кільця, з використанням довжин діаметрів, визначають так:
Багатокутник
Як знайти площу багатокутника, форма якого не є правильною? Загальної формули для площі таких постатей немає. Але якщо вона зображена на координатній площині, наприклад, це може бути картатий папір, тоді як знайти площу поверхні в цьому випадку? Тут застосовують спосіб, який вимагає приблизно виміряти фігуру. Вчиняють так: якщо знайшли точки, які потрапляють у куточок клітини або мають цілі координати, то враховують лише їх. Щоб потім з'ясувати, чому дорівнює площа, використовують формулу, доведену Піком. Необхідно скласти кількість точок, розташованих усередині ламаної лінії з половиною точок, що лежать на ній, і відняти одиницю, тобто обчислюється це таким чином:
де В,Г - кількість точок, розташованих усередині і по всій ламаною лінії відповідно.