Щоб розв'язати задачі з геометрії, треба знати формули - такі, як площа трикутника або площа паралелограма - а також прості прийоми, про які ми розповімо.
Для початку вивчимо формули площ фігур. Ми спеціально зібрали їх у зручну таблицю. Роздрукуйте, вивчіть та застосовуйте!
Звичайно, не всі формули геометрії є в нашій таблиці. Наприклад, для вирішення задач з геометрії та стереометрії у другій частині профільного ЄДІ з математики застосовуються інші формули площі трикутника. Про них ми обов'язково розповімо.
А що робити, якщо треба знайти не площу трапеції чи трикутника, а площу якоїсь складної фігури? Є універсальні методи! Покажемо їх на прикладах із банку завдань ФІПД.
1. Як знайти площу нестандартної фігури? Наприклад, довільного чотирикутника? Простий прийом – розіб'ємо цю фігуру на такі, про які ми все знаємо, і знайдемо її площу – як суму площ цих фігур.
Розділимо цей чотирикутник горизонтальною лінією на два трикутники із загальною основою, що дорівнює . Висоти цих трикутників рівні та . Тоді площа чотирикутника дорівнює сумі площ двох трикутників: .
Відповідь: .
2. У деяких випадках площу фігури можна представити як різницю будь-яких площ.
Не так просто порахувати, чому рівні основа і висота в цьому трикутнику! Проте ми можемо сказати, що його площа дорівнює різниці площ квадрата зі стороною і трьох прямокутних трикутників. Бачите їх на малюнку? Отримуємо: .
Відповідь: .
3. Іноді у завданні треба знайти площу не всієї фігури, а її частини. Зазвичай мова тут йде про площу сектора - частини кола. Знайдіть площу сектора кола радіусу, довжина дуги якого дорівнює .
На цьому малюнку ми бачимо частину кола. Площа всього кола дорівнює, оскільки. Залишається дізнатися, яку частину кола зображено. Оскільки довжина всього кола дорівнює (оскільки ), а довжина дуги даного сектора дорівнює Отже, довжина дуги в раз менше, ніж довжина всього кола. Кут, на який спирається ця дуга, також у раз менше, ніж повне коло (тобто градусів). Значить, і площа сектора буде в раз менше, ніж площа всього кола.
Формула площінеобхідна для визначення площа фігури, яка є речовиннозначною функцією, визначеною на деякому класі фігур евклідової площини і задовольняє 4м умовам:
- Позитивність — Площа не може бути меншою за нуль;
- Нормування - квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
- Конгруентність - конгруентні фігури мають рівну площу;
- Адитивність - площа об'єднання 2х фігур без загальних внутрішніх точок дорівнює сумі площ цих фігур.
| Геометрична фігура | Формула | Креслення |
|---|---|---|
|
Результат складання відстаней між серединами протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюватиме його напівпериметру. |
||
|
Сектор кола. Площа сектора кола дорівнює добутку його дуги на половину радіусу. |
|
|
|
Сегмент кола. Щоб отримати площу сегмента ASB, достатньо площі сектора AOB відняти площу трикутника AOB. |
S = 1/2 R(s - AС) |
|
|
Площа еліпса дорівнює добутку довжин великої та малої півосей еліпса на число пі. |
|
|
|
Еліпс. Ще один варіант як обчислити площу еліпса – через два його радіуси. |
|
|
|
Трикутник. Через основу та висоту. Формула площі кола через його радіус та діаметр. |
||
|
Квадрат. Через його бік. Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони. |
|
|
|
Квадрат. Через його діагоналі. Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі. |
||
|
Правильний багатокутник. Для визначення площі правильного багатокутника необхідно розбити його на рівні трикутники, які мали б загальну вершину в центрі вписаного кола. |
S= r·p = 1/2 r·n·a |
Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.
Формули площі трикутника
- Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти - Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
- Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола. де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
Формули площі квадрата
- Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони. - Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.S = 1 2 2 де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
- Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
- Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма - Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.a · b · sin α
де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.
Формули площі ромба
- Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти. - Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба. - Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
- Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,