Poznatky o tom, ako merať Zem, sa objavili v staroveku a postupne sa formovali vo vede o geometrii. Toto slovo je preložené z gréčtiny ako „meračstvo pôdy“.
Mierou rozsahu plochej časti Zeme na dĺžku a šírku je plocha. V matematike sa zvyčajne označuje latinským písmenom S (z anglického „štvorec“ - „plocha“, „štvorec“) alebo gréckym písmenom σ (sigma). S označuje plochu obrázku na rovine alebo povrch tela a σ je plocha prierezu drôtu vo fyzike. Toto sú hlavné symboly, hoci môžu existovať aj iné, napríklad v oblasti pevnosti materiálov, A je plocha prierezu profilu.
V kontakte s
Výpočtové vzorce
Keď poznáte oblasti jednoduchých postáv, môžete nájsť parametre zložitejších.. Starovekí matematici vyvinuli vzorce, ktoré sa dajú použiť na ich jednoduchý výpočet. Takéto postavy sú trojuholník, štvoruholník, mnohouholník, kruh.
Ak chcete nájsť oblasť komplexnej rovinnej figúry, je rozdelená na mnoho jednoduchých figúrok, ako sú trojuholníky, lichobežníky alebo obdĺžniky. Potom sa pomocou matematických metód odvodí vzorec pre oblasť tohto obrázku. Podobná metóda sa používa nielen v geometrii, ale aj v matematickej analýze na výpočet plôch útvarov ohraničených krivkami.
Trojuholník
Začnime najjednoduchšou postavou - trojuholníkom. Sú pravouhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC so stranami AB=a, BC=ba AC=c (∆ ABC). Aby sme našli jej oblasť, pripomeňme si sínusové a kosínusové vety známe zo školského kurzu matematiky. Po opustení všetkých výpočtov sa dostaneme k nasledujúcim vzorcom:
- S=√ - Heronov vzorec, známy každému, kde p=(a+b+c)/2 je polobvod trojuholníka;
- S=a h/2, kde h je výška znížená na stranu a;
- S=a b (sin γ)/2, kde γ je uhol medzi stranami a a b;
- S=a b/2, ak ∆ ABC je pravouhlý (tu a a b sú nohy);
- S=b² (sin (2 β))/2, ak ∆ ABC je rovnoramenné (tu b je jedna z „bokov“, β je uhol medzi „bokami“ trojuholníka);
- S=a² √¾, ak ∆ ABC je rovnostranné (tu a je strana trojuholníka).
Štvoruholník
Nech existuje štvoruholník ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Ak chcete nájsť plochu S ľubovoľného 4-uholníka, musíte ju rozdeliť uhlopriečkou na dva trojuholníky, ktorých plochy S1 a S2 sa vo všeobecnosti nerovnajú.
Potom ich pomocou vzorcov vypočítajte a sčítajte, t.j. S=S1+S2. Ak však 4-uholník patrí do určitej triedy, potom jeho oblasť možno nájsť pomocou predtým známych vzorcov:
- S=(a+c) h/2=e h, ak je štvoruholník lichobežník (tu a a c sú základne, e je stredová čiara lichobežníka, h je výška znížená k jednej zo základov lichobežníka;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ak ABCD je rovnobežník (tu φ je uhol medzi stranami a a b, h je výška znížená na stranu a, d1 a d2 sú uhlopriečky);
- S=a b=d²/2, ak ABCD je obdĺžnik (d je uhlopriečka);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ak ABCD je kosoštvorec (a je strana kosoštvorca, φ je jeden z jeho uhlov, P je obvod);
- S=a²=P²/16=d²/2, ak ABCD je štvorec.
Polygón
Na nájdenie oblasti n-uholníka ho matematici rozložia na najjednoduchšie rovnaké čísla - trojuholníky, nájdite plochu každého z nich a potom ich pridajte. Ak však mnohouholník patrí do triedy regulárnych, použite vzorec:
S=a n h/2=a² n/=P²/, kde n je počet vrcholov (alebo strán) mnohouholníka, a je strana n-uholníka, P je jeho obvod, h je apotém, t.j. segment nakreslený od stredu mnohouholníka k jednej z jeho strán pod uhlom 90°.
Kruh
Kruh je dokonalý mnohouholník s nekonečným počtom strán. Musíme vypočítať limit výrazu vpravo vo vzorci pre oblasť mnohouholníka s počtom strán n smerujúcim k nekonečnu. V tomto prípade sa obvod mnohouholníka zmení na dĺžku kruhu s polomerom R, ktorý bude hranicou nášho kruhu, a bude rovný P=2 π R. Dosaďte tento výraz do vyššie uvedeného vzorca. Dostaneme:
S = (π2 R2 cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Nájdite limitu tohto výrazu ako n→∞. Aby sme to dosiahli, berieme do úvahy, že lim (cos (180°/n)) pre n→∞ sa rovná cos 0°=1 (lim je znamienko limity) a lim = lim pre n→∞ je rovná 1/π (mieru stupňov sme previedli na radián pomocou vzťahu π rad=180° a použili sme prvú pozoruhodnú hranicu lim (sin x)/x=1 pri x→∞). Nahradením získaných hodnôt do posledného výrazu pre S sa dostaneme k známemu vzorcu:
S=π2R21(1/π)=πR2.
Jednotky
Používajú sa systémové a nesystémové jednotky merania. Systémové jednotky patria do SI (System International). Ide o meter štvorcový (meter štvorcový, m²) a z neho odvodené jednotky: mm², cm², km².
Napríklad v štvorcových milimetroch (mm²) merajú prierez vodičov v elektrotechnike, v štvorcových centimetroch (cm²) - prierez lúča v stavebnej mechanike, v štvorcových metroch (m²) - v byte alebo dome, v kilometroch štvorcových (km²) - v geografii .
Niekedy sa však používajú nesystémové merné jednotky, ako napríklad: väzba, ar (a), hektár (ha) a aker (as). Uveďme si nasledujúce vzťahy:
- 100 metrov štvorcových = 1 a = 100 m² = 0,01 hektára;
- 1 ha=100 a=100 akrov=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
- 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akrov = 0,405 hektárov.
Plošný vzorec je potrebné určiť plochu obrazca, čo je funkcia skutočnej hodnoty definovaná na určitej triede obrazcov euklidovskej roviny a spĺňajúca 4 podmienky:
- Pozitivita – plocha nemôže byť menšia ako nula;
- Normalizácia - štvorec so stranou má plochu 1;
- Kongruencia - zhodné čísla majú rovnakú plochu;
- Aditivita - plocha spojenia 2 číslic bez spoločných vnútorných bodov sa rovná súčtu plôch týchto číslic.
| Geometrický obrazec | Vzorec | Kreslenie |
|---|---|---|
|
Výsledok sčítania vzdialeností medzi stredmi protiľahlých strán konvexného štvoruholníka sa bude rovnať jeho polobvodu. |
||
|
Kruhový sektor. Plocha sektora kruhu sa rovná súčinu jeho oblúka a polovice jeho polomeru. |
|
|
|
Kruhový segment. Na získanie plochy segmentu ASB stačí odpočítať plochu trojuholníka AOB od plochy sektora AOB. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
|
Plocha elipsy sa rovná súčinu dĺžok hlavnej a vedľajšej poloosi elipsy a čísla pi. |
|
|
|
Elipsa. Ďalšou možnosťou na výpočet plochy elipsy sú dva jej polomery. |
|
|
|
Trojuholník. Cez základňu a výšku. Vzorec pre oblasť kruhu pomocou jeho polomeru a priemeru. |
||
|
Námestie . Cez jeho stranu. Plocha štvorca sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany. |
|
|
|
Námestie. Cez jeho uhlopriečky. Plocha štvorca sa rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky. |
||
|
Pravidelný mnohouholník. Na určenie plochy pravidelného mnohouholníka je potrebné rozdeliť ho na rovnaké trojuholníky, ktoré by mali spoločný vrchol v strede vpísanej kružnice. |
S = r p = 1/2 r n a |
Na vyriešenie problémov s geometriou potrebujete poznať vzorce - ako je oblasť trojuholníka alebo oblasť rovnobežníka - ako aj jednoduché techniky, ktoré budeme pokrývať.
Najprv sa naučme vzorce pre oblasti obrázkov. Špeciálne sme ich zhromaždili v pohodlnej tabuľke. Tlačte, učte sa a aplikujte!
Samozrejme, nie všetky geometrické vzorce sú v našej tabuľke. Napríklad na riešenie problémov v geometrii a stereometrii v druhej časti profilu Jednotná štátna skúška z matematiky sa používajú iné vzorce pre oblasť trojuholníka. Určite vám o nich povieme.
Ale čo keď potrebujete nájsť nie oblasť lichobežníka alebo trojuholníka, ale oblasť nejakej zložitej postavy? Existujú univerzálne spôsoby! Ukážeme si ich na príkladoch z banky úloh FIPI.
1. Ako nájsť oblasť neštandardnej postavy? Napríklad ľubovoľný štvoruholník? Jednoduchá technika - rozdeľme tento obrazec na tie, o ktorých vieme všetko, a nájdime jeho plochu - ako súčet plôch týchto obrazcov.
Rozdeľte tento štvoruholník vodorovnou čiarou na dva trojuholníky so spoločnou základňou rovnajúcou sa . Výšky týchto trojuholníkov sú rovnaké A . Potom sa plocha štvoruholníka rovná súčtu plôch dvoch trojuholníkov: .
Odpoveď: .
2. V niektorých prípadoch môže byť oblasť obrázku reprezentovaná ako rozdiel niektorých oblastí.
Nie je také ľahké vypočítať, čomu sa rovná základňa a výška tohto trojuholníka! Môžeme však povedať, že jeho obsah sa rovná rozdielu medzi plochami štvorca so stranou a tromi pravouhlými trojuholníkmi. Vidíte ich na obrázku? Dostaneme: .
Odpoveď: .
3. Niekedy v úlohe musíte nájsť oblasť nie celej postavy, ale jej časti. Zvyčajne hovoríme o ploche sektora - časti kruhu Nájdite plochu sektora kruhu s polomerom, ktorého dĺžka oblúka sa rovná .
Na tomto obrázku vidíme časť kruhu. Plocha celého kruhu sa rovná . Zostáva zistiť, ktorá časť kruhu je zobrazená. Keďže dĺžka celého kruhu je rovnaká (od ), a dĺžka oblúka daného sektora je rovnaká , preto je dĺžka oblúka niekoľkonásobne menšia ako dĺžka celého kruhu. Uhol, pod ktorým tento oblúk spočíva, je tiež faktor menší ako celý kruh (t. j. stupne). To znamená, že plocha sektora bude niekoľkonásobne menšia ako plocha celého kruhu.
Plocha geometrického útvaru- číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.
Vzorce oblasti trojuholníka
- Vzorec pre oblasť trojuholníka podľa strany a výšky
Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu - Vzorec pre oblasť trojuholníka založený na troch stranách a polomere kružnice opísanej
- Vzorec pre oblasť trojuholníka založený na troch stranách a polomere vpísanej kružnice
Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu pol obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice. kde S je plocha trojuholníka,
- dĺžky strán trojuholníka,
- výška trojuholníka,
- uhol medzi stranami a,
- polomer vpísanej kružnice,
R - polomer opísanej kružnice,
Vzorce štvorcovej oblasti
- Vzorec pre oblasť štvorca podľa dĺžky strany
Štvorcová plocha rovná štvorcu dĺžky jeho strany. - Vzorec pre oblasť štvorca pozdĺž diagonálnej dĺžky
Štvorcová plocha rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.S= 1 2 2 kde S - plocha námestia,
- dĺžka strany štvorca,
- dĺžka uhlopriečky štvorca.
Vzorec oblasti obdĺžnika
- Oblasť obdĺžnika rovná súčinu dĺžok jeho dvoch susedných strán
kde S je plocha obdĺžnika,
- dĺžky strán obdĺžnika.
Vzorce oblasti rovnobežníka
- Vzorec pre oblasť rovnobežníka na základe dĺžky a výšky strany
Oblasť rovnobežníka - Vzorec pre oblasť rovnobežníka založený na dvoch stranách a uhle medzi nimi
Oblasť rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžok jej strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.a b sin α
kde S je plocha rovnobežníka,
- dĺžky strán rovnobežníka,
- dĺžka výšky rovnobežníka,
- uhol medzi stranami rovnobežníka.
Vzorce pre oblasť kosoštvorca
- Vzorec pre oblasť kosoštvorca na základe dĺžky a výšky strany
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu. - Vzorec pre oblasť kosoštvorca na základe dĺžky strany a uhla
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jej strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca. - Vzorec pre oblasť kosoštvorca na základe dĺžok jeho uhlopriečok
Oblasť kosoštvorca rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok. kde S je plocha kosoštvorca,
- dĺžka strany kosoštvorca,
- dĺžka výšky kosoštvorca,
- uhol medzi stranami kosoštvorca,
1, 2 - dĺžky uhlopriečok.
Vzorce lichobežníkovej oblasti
- Heronov vzorec pre lichobežník
Kde S je oblasť lichobežníka,
- dĺžky základov lichobežníka,
- dĺžky strán lichobežníka,
Plochy geometrických útvarov sú číselné hodnoty charakterizujúce ich veľkosť v dvojrozmernom priestore. Túto hodnotu možno merať v systémových a nesystémových jednotkách. Takže napríklad nesystémová jednotka plochy je stotina, hektár. Toto je prípad, ak je meraným povrchom pozemok. Systémová jednotka plochy je štvorec dĺžky. V sústave SI je jednotkou plochej plochy meter štvorcový. V GHS je jednotka plochy vyjadrená ako štvorcový centimeter.
Geometrické a plošné vzorce sú neoddeliteľne spojené. Táto súvislosť spočíva v tom, že výpočet plôch rovinných obrazcov je založený práve na ich aplikácii. Pre mnohé figúry je odvodených niekoľko možností, z ktorých sa počítajú ich štvorcové rozmery. Na základe údajov z problémových stavov vieme určiť najjednoduchšie možné riešenie. To uľahčí výpočet a zníži pravdepodobnosť chýb vo výpočte na minimum. Za týmto účelom zvážte hlavné oblasti obrázkov v geometrii.
Vzorce na nájdenie oblasti akéhokoľvek trojuholníka sú uvedené v niekoľkých možnostiach:
1) Plocha trojuholníka sa vypočíta zo základne a a výšky h. Za základ sa považuje strana postavy, na ktorej je výška znížená. Potom je plocha trojuholníka:
2) Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta rovnakým spôsobom, ak sa prepona považuje za základňu. Ak vezmeme nohu ako základ, potom sa plocha pravého trojuholníka bude rovnať súčinu polovičných nôh.
Vzorce na výpočet plochy akéhokoľvek trojuholníka tam nekončia. Iný výraz obsahuje strany a,b a sínusovú funkciu uhla γ medzi a a b. Sínusovú hodnotu nájdete v tabuľkách. Môžete to zistiť aj pomocou kalkulačky. Potom je plocha trojuholníka:
Pomocou tejto rovnosti sa môžete tiež uistiť, že oblasť pravouhlého trojuholníka je určená dĺžkami nôh. Pretože uhol γ je pravý uhol, takže plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta bez násobenia funkciou sínus.
3) Uvažujme špeciálny prípad - pravidelný trojuholník, ktorého stranu a poznáme podľa podmienky alebo pri riešení zistíme jeho dĺžku. O figúre v úlohe geometrie nie je známe nič viac. Ako potom nájsť oblasť v tomto stave? V tomto prípade sa použije vzorec pre oblasť pravidelného trojuholníka:
Obdĺžnik
Ako nájsť oblasť obdĺžnika a použiť rozmery strán, ktoré majú spoločný vrchol? Výpočtový výraz je:
Ak potrebujete použiť dĺžky uhlopriečok na výpočet plochy obdĺžnika, potom budete potrebovať funkciu sínusu uhla vytvoreného, keď sa pretínajú. Tento vzorec pre oblasť obdĺžnika je:
Námestie
Plocha štvorca je určená ako druhá mocnina dĺžky strany:
Dôkaz vyplýva z definície, že štvorec je obdĺžnik. Všetky strany, ktoré tvoria štvorec, majú rovnaké rozmery. Výpočet plochy takého obdĺžnika preto spočíva v násobení jedného po druhom, t.j. na druhú mocninu strany. A vzorec na výpočet plochy štvorca bude mať požadovanú formu.
Plochu štvorca možno nájsť iným spôsobom, napríklad ak použijete uhlopriečku:
Ako vypočítať plochu postavy, ktorá je tvorená časťou roviny ohraničenej kruhom? Na výpočet plochy platia tieto vzorce:
Paralelogram
Pre rovnobežník obsahuje vzorec lineárne rozmery strany, výšku a matematickú operáciu - násobenie. Ak je výška neznáma, ako nájsť oblasť rovnobežníka? Existuje aj iný spôsob výpočtu. Bude potrebná určitá hodnota, ktorú získa trigonometrická funkcia uhla, ktorý tvoria susedné strany, ako aj ich dĺžka.
Vzorce pre oblasť rovnobežníka sú:
Rhombus
Ako nájsť oblasť štvoruholníka nazývaného kosoštvorec? Plocha kosoštvorca sa určuje pomocou jednoduchej matematiky s uhlopriečkami. Dôkaz je založený na skutočnosti, že diagonálne segmenty v d1 a d2 sa pretínajú v pravom uhle. Tabuľka sínusov ukazuje, že pre pravý uhol sa táto funkcia rovná jednote. Preto sa plocha kosoštvorca vypočíta takto:
Oblasť kosoštvorca možno nájsť aj iným spôsobom. To tiež nie je ťažké dokázať, keďže jeho strany sú rovnako dlhé. Potom ich súčin nahraďte podobným výrazom pre rovnobežník. Koniec koncov, špeciálnym prípadom tejto konkrétnej postavy je kosoštvorec. Tu je γ vnútorný uhol kosoštvorca. Plocha kosoštvorca sa určuje takto:
Lichobežník
Ako nájsť oblasť lichobežníka cez základne (a a b), ak problém naznačuje ich dĺžky? Tu, bez známej hodnoty výšky h, nebude možné vypočítať plochu takéhoto lichobežníka. Pretože táto hodnota obsahuje výraz pre výpočet:
Rovnakým spôsobom možno vypočítať aj štvorcový rozmer obdĺžnikového lichobežníka. Berie sa do úvahy, že v obdĺžnikovom lichobežníku sa kombinujú pojmy výška a strana. Preto pre obdĺžnikový lichobežník musíte namiesto výšky zadať dĺžku bočnej strany.
Valec a rovnobežnosten
Uvažujme, čo je potrebné na výpočet povrchu celého valca. Oblasť tohto obrázku je dvojica kruhov nazývaných základne a bočný povrch. Kruhy tvoriace kruhy majú polomer dĺžky r. Pre plochu valca sa vykoná nasledujúci výpočet:
Ako nájsť oblasť rovnobežnostena, ktorý pozostáva z troch párov plôch? Jeho miery zodpovedajú konkrétnemu páru. Protiľahlé tváre majú rovnaké parametre. Najprv nájdite S(1), S(2), S(3) - štvorcové rozmery nerovnakých plôch. Potom je povrch rovnobežnostenu:
Prsteň
Dva kruhy so spoločným stredom tvoria krúžok. Obmedzujú tiež oblasť prsteňa. V tomto prípade oba vzorce výpočtu zohľadňujú rozmery každého kruhu. Prvý z nich, počítajúci plochu prstenca, obsahuje väčší polomer R a menší polomer r. Častejšie sa nazývajú vonkajšie a vnútorné. V druhom výraze je plocha kruhu vypočítaná cez väčší priemer D a menší priemer d. Plocha krúžku na základe známych polomerov sa teda vypočíta takto:
Plocha krúžku sa pomocou dĺžok priemerov určuje takto:
Polygón
Ako nájsť oblasť mnohouholníka, ktorého tvar nie je pravidelný? Neexistuje žiadny všeobecný vzorec pre oblasť takýchto čísel. Ale ak je to znázornené na súradnicovej rovine, napríklad by to mohol byť kockovaný papier, ako potom v tomto prípade nájsť plochu? Tu používajú metódu, ktorá nevyžaduje približne meranie postavy. Robia to: ak nájdu body, ktoré spadajú do rohu bunky alebo majú celé súradnice, berú sa do úvahy iba tie. Ak chcete potom zistiť, o akú oblasť ide, použite vzorec overený Peake. Je potrebné pridať počet bodov umiestnených vo vnútri prerušovanej čiary s polovicou bodov, ktoré na nej ležia, a odpočítať jeden, t. j. vypočíta sa takto:
kde B, G - počet bodov umiestnených vo vnútri a na celej prerušovanej čiare.