Cunoașterea modului de măsurare a Pământului a apărut în cele mai vechi timpuri și s-a conturat treptat în știința geometriei. Acest cuvânt este tradus din greacă ca „agrimensiune”.
Măsura întinderii unei secțiuni plate a Pământului în lungime și lățime este suprafața. În matematică, este de obicei notat cu litera latină S (din engleză „pătrat” - „zonă”, „pătrat”) sau litera greacă σ (sigma). S desemnează aria unei figuri pe un plan sau aria suprafeței unui corp, iar σ este aria secțiunii transversale a unui fir în fizică. Acestea sunt simbolurile principale, deși pot exista și altele, de exemplu, în domeniul rezistenței materialelor, A este aria secțiunii transversale a profilului.
In contact cu
Formule de calcul
Cunoscând zonele figurilor simple, puteți găsi parametrii celor mai complexe.. Matematicienii antici au dezvoltat formule care pot fi folosite pentru a le calcula cu ușurință. Astfel de figuri sunt triunghi, patrulater, poligon, cerc.
Pentru a găsi aria unei figuri plane complexe, aceasta este împărțită în multe figuri simple, cum ar fi triunghiuri, trapeze sau dreptunghiuri. Apoi, folosind metode matematice, se obține o formulă pentru zona acestei figuri. O metodă similară este utilizată nu numai în geometrie, ci și în analiza matematică pentru a calcula zonele figurilor delimitate de curbe.
Triunghi
Să începem cu cea mai simplă figură - un triunghi. Sunt dreptunghiulare, isoscele și echilaterale. Luați orice triunghi ABC cu laturile AB=a, BC=b și AC=c (∆ ABC). Pentru a-i găsi aria, să ne amintim teoremele sinusului și cosinusului cunoscute de la cursul de matematică din școală. Lăsând toate calculele, ajungem la următoarele formule:
- S=√ - Formula lui Heron, cunoscută de toată lumea, unde p=(a+b+c)/2 este semiperimetrul triunghiului;
- S=a h/2, unde h este înălțimea coborâtă pe latura a;
- S=a b (sin γ)/2, unde γ este unghiul dintre laturile a și b;
- S=a b/2, dacă ∆ ABC este dreptunghiular (aici a și b sunt catete);
- S=b² (sin (2 β))/2, dacă ∆ ABC este isoscel (aici b este unul dintre „șolduri”, β este unghiul dintre „șoldurile” triunghiului);
- S=a² √¾, dacă ∆ ABC este echilateral (aici a este o latură a triunghiului).
Patrulater
Să existe un patrulater ABCD cu AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Pentru a găsi aria S a unui 4-gon arbitrar, trebuie să o împărțiți cu diagonala în două triunghiuri, ale căror zone S1 și S2 nu sunt în general egale.
Apoi utilizați formulele pentru a le calcula și adăugați-le, adică S=S1+S2. Cu toate acestea, dacă un 4-gon aparține unei anumite clase, atunci aria sa poate fi găsită folosind formule cunoscute anterior:
- S=(a+c) h/2=e h, dacă tetragonul este un trapez (aici a și c sunt bazele, e este linia mediană a trapezului, h este înălțimea coborâtă la una din bazele trapezului;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, dacă ABCD este un paralelogram (aici φ este unghiul dintre laturile a și b, h este înălțimea coborâtă pe latura a, d1 și d2 sunt diagonale);
- S=a b=d²/2, dacă ABCD este un dreptunghi (d este o diagonală);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, dacă ABCD este un romb (a este latura rombului, φ este unul dintre unghiurile sale, P este perimetrul);
- S=a²=P²/16=d²/2, dacă ABCD este un pătrat.
Poligon
Pentru a găsi aria unui n-gon, matematicienii o descompun în cele mai simple cifre egale - triunghiuri, găsiți aria fiecăruia dintre ele și apoi adăugați-le. Dar dacă poligonul aparține clasei regulate, atunci utilizați formula:
S=a n h/2=a² n/=P²/, unde n este numărul de vârfuri (sau laturi) poligonului, a este latura n-gonului, P este perimetrul acestuia, h este apotema, adică a segment trasat din centrul poligonului spre una dintre laturile acestuia la un unghi de 90°.
Cerc
Un cerc este un poligon perfect cu un număr infinit de laturi. Trebuie să calculăm limita expresiei din dreapta în formula pentru aria unui poligon cu numărul de laturi n care tind spre infinit. În acest caz, perimetrul poligonului se va transforma în lungimea unui cerc cu raza R, care va fi limita cercului nostru, și va deveni egal cu P=2 π R. Înlocuiți această expresie în formula de mai sus. Vom obține:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Să găsim limita acestei expresii ca n→∞. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare că lim (cos (180°/n)) pentru n→∞ este egal cu cos 0°=1 (lim este semnul limitei), iar lim = lim pentru n→∞ este egal cu 1/π (am convertit măsura gradului într-un radian, folosind relația π rad=180°, și am aplicat prima limită remarcabilă lim (sin x)/x=1 la x→∞). Înlocuind valorile obținute în ultima expresie pentru S, ajungem la formula binecunoscută:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Unități
Se folosesc unități de măsură sistemice și nesistemice. Unitățile de sistem aparțin SI (System International). Acesta este un metru pătrat (metru pătrat, m²) și unități derivate din acesta: mm², cm², km².
În milimetri pătrați (mm²), de exemplu, măsoară aria secțiunii transversale a firelor în inginerie electrică, în centimetri pătrați (cm²) - secțiunea transversală a unei grinzi în mecanica structurală, în metri pătrați (m²) - într-un apartament sau casă, în kilometri pătrați (km²) - în geografie .
Cu toate acestea, uneori se folosesc unități de măsură nesistemice, cum ar fi: țesătură, ar (a), hectar (ha) și acre (ac). Să prezentăm următoarele relații:
- 1 sută de metri pătrați=1 a=100 m²=0,01 hectare;
- 1 ha=100 a=100 acri=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
- 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 acri = 0,405 hectare.
Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri din planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:
- Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
- Normalizare - un pătrat cu unitate laterală are aria 1;
- Congruență - figurile congruente au aria egală;
- Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.
| Figura geometrică | Formulă | Desen |
|---|---|---|
|
Rezultatul adunării distanțelor dintre punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex va fi egal cu semiperimetrul acestuia. |
||
|
Sectorul cercului. Aria unui sector de cerc este egală cu produsul arcului său și jumătate din rază. |
|
|
|
Segment de cerc. Pentru a obține aria segmentului ASB, este suficient să scădeți aria triunghiului AOB din aria sectorului AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Aria elipsei este egală cu produsul dintre lungimile semiaxelor majore și minore ale elipsei și numărul pi. |
|
|
|
Elipsă. O altă opțiune pentru calcularea ariei unei elipse este prin două dintre razele sale. |
|
|
|
Triunghi. Prin bază și înălțime. Formula pentru aria unui cerc folosind raza și diametrul acestuia. |
||
|
Patrat . Prin partea lui. Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale. |
|
|
|
Pătrat. Prin diagonalele sale. Aria unui pătrat este egală cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale. |
||
|
Poligon regulat. Pentru a determina aria unui poligon regulat, este necesar să-l împărțiți în triunghiuri egale care ar avea un vârf comun în centrul cercului înscris. |
S= r p = 1/2 r n a |
Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și tehnici simple pe care le vom acoperi.
Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!
Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie din a doua parte a profilului Unified State Examen de matematică, se folosesc alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.
Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.
1. Cum să găsiți aria unei figuri nestandard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm totul și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.
Împărțiți acest patrulater cu o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale Și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .
Răspuns: .
2. În unele cazuri, aria unei figuri poate fi reprezentată ca diferența unor zone.
Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea acestui triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Ii vezi in poza? Primim: .
Răspuns: .
3. Uneori, într-o sarcină, trebuie să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a unei părți a acesteia. De obicei, vorbim despre aria unui sector - o parte a unui cerc. Găsiți aria unui sector al unui cerc cu raza a cărui lungime a arcului este egală cu .
În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu . Rămâne să aflăm care parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este egală (din moment ce ), iar lungimea arcului unui sector dat este egală , prin urmare, lungimea arcului este de câteva ori mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul la care se sprijină acest arc este, de asemenea, un factor mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.
Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.
Formulele ariei triunghiulare
- Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură - Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
- Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris. unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,
Formule de suprafață pătrată
- Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale. - Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.S= 1 2 2 unde S este aria pătratului,
- lungimea laturii pătratului,
- lungimea diagonalei pătratului.
Formula zonei dreptunghiulare
- Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale
unde S este aria dreptunghiului,
- lungimile laturilor dreptunghiului.
Formule cu arii de paralelogram
- Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Aria unui paralelogram - Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.a b sin α
unde S este aria paralelogramului,
- lungimile laturilor paralelogramului,
- lungimea înălțimii paralelogramului,
- unghiul dintre laturile paralelogramului.
Formule pentru aria unui romb
- Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale. unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.
Formule ale zonei trapezoidale
- Formula lui Heron pentru trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimile bazelor trapezului,
- lungimile laturilor trapezului,
Zonele figurilor geometrice sunt valori numerice care le caracterizează dimensiunea în spațiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață nesistemică este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața care se măsoară este o bucată de pământ. Unitatea de unitate a ariei sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI, unitatea de măsură a suprafeței plane este metrul pătrat. În GHS, unitatea de suprafață este exprimată ca un centimetru pătrat.
Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul ariilor figurilor plane se bazează tocmai pe aplicarea acestora. Pentru multe figuri, sunt derivate mai multe opțiuni din care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cea mai simplă soluție posibilă. Acest lucru va facilita calculul și va reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare principalele zone ale figurilor din geometrie.
Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe opțiuni:
1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este considerată a fi partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:
2) Aria unui triunghi dreptunghic se calculează în același mod dacă ipotenuza este considerată baza. Dacă luăm piciorul ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.
Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,b și funcția sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. O poți afla și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:
Folosind această egalitate, vă puteți asigura, de asemenea, că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile picioarelor. Deoarece unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.
3) Luați în considerare un caz special - un triunghi regulat, a cărui latură a este cunoscută după condiție sau lungimea sa poate fi găsită la rezolvare. Nu se mai știe nimic despre figura din problema de geometrie. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:
Dreptunghi
Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:
Dacă trebuie să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci veți avea nevoie de o funcție a sinusului unghiului format atunci când se intersectează. Această formulă pentru aria unui dreptunghi este:
Pătrat
Aria unui pătrat este determinată ca a doua putere a lungimii laturii:
Dovada rezultă din definiția că un pătrat este dreptunghi. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calcularea ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.
Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați diagonala:
Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:
Paralelogram
Pentru un paralelogram, formula conține dimensiunile liniare ale laturii, înălțimea și operația matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Va fi necesară o anumită valoare, care va fi luată de funcția trigonometrică a unghiului format de laturile adiacente, precum și lungimea acestora.
Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:
Romb
Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb se determină folosind matematică simplă cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale din d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Tabelul sinusurilor arată că pentru un unghi drept această funcție este egală cu unitatea. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:
Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. Nici acest lucru nu este greu de demonstrat, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ este unghiul interior al rombului. Aria unui romb se determină după cum urmează:
Trapez
Cum să găsiți aria unui trapez prin bazele (a și b), dacă problema indică lungimile acestora? Aici, fără o valoare cunoscută a lungimii înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. Deoarece această valoare conține expresia pentru calcul:
Dimensiunea pătrată a unui trapez dreptunghiular poate fi, de asemenea, calculată în același mod. Se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular se îmbină conceptele de înălțime și latură. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii laterale în loc de înălțime.
Cilindru și paralelipiped
Să luăm în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria acestei figuri este o pereche de cercuri numite baze și o suprafață laterală. Cercurile care formează cercuri au raza lungimii egale cu r. Pentru aria unui cilindru are loc următorul calcul:
Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale se potrivesc cu perechea specifică. Fețele opuse au aceiași parametri. Mai întâi, găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Atunci aria suprafeței paralelipipedului este:
Inel
Două cercuri cu un centru comun formează un inel. De asemenea, limitează zona inelului. În acest caz, ambele formule de calcul iau în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul dintre ele, care calculează aria inelului, conține razele R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată prin diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului pe baza razelor cunoscute se calculează după cum urmează:
Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:
Poligon
Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este regulată? Nu există o formulă generală pentru aria unor astfel de cifre. Dar dacă este reprezentat pe un plan de coordonate, de exemplu, ar putea fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Peake. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul liniei întrerupte cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează astfel:
unde B, G - numărul de puncte situate în interiorul și respectiv pe întreaga linie întreruptă.