Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și tehnici simple pe care le vom acoperi.
Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!
Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie din a doua parte a profilului Unified State Examen de matematică, se folosesc alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.
Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.
1. Cum să găsiți aria unei figuri non-standard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm totul și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.
Împărțiți acest patrulater cu o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale Și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .
Răspuns: .
2. În unele cazuri, aria unei figuri poate fi reprezentată ca diferența unor zone.
Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea acestui triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Ii vezi in poza? Primim: .
Răspuns: .
3. Uneori, într-o sarcină, trebuie să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a unei părți a acesteia. De obicei, vorbim despre aria unui sector - o parte a unui cerc. Găsiți aria unui sector al unui cerc cu raza a cărui lungime a arcului este egală cu .
În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu . Rămâne să aflăm care parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este egală (din moment ce ), iar lungimea arcului unui sector dat este egală , prin urmare, lungimea arcului este de câteva ori mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul la care se sprijină acest arc este, de asemenea, un factor mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.
Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri din planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:
- Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
- Normalizare - un pătrat cu unitate laterală are aria 1;
- Congruență - figurile congruente au aria egală;
- Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.
| Figura geometrică | Formulă | Desen |
|---|---|---|
|
Rezultatul adunării distanțelor dintre punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex va fi egal cu semiperimetrul acestuia. |
||
|
Sectorul cercului. Aria unui sector de cerc este egală cu produsul arcului său și jumătate din rază. |
|
|
|
Segment de cerc. Pentru a obține aria segmentului ASB, este suficient să scădeți aria triunghiului AOB din aria sectorului AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Aria elipsei este egală cu produsul dintre lungimile semiaxelor majore și minore ale elipsei și numărul pi. |
|
|
|
Elipsă. O altă opțiune pentru calcularea ariei unei elipse este prin două dintre razele sale. |
|
|
|
Triunghi. Prin bază și înălțime. Formula pentru aria unui cerc folosind raza și diametrul acestuia. |
||
|
Patrat . Prin partea lui. Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale. |
|
|
|
Pătrat. Prin diagonalele sale. Aria unui pătrat este egală cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale. |
||
|
Poligon regulat. Pentru a determina aria unui poligon regulat, este necesar să-l împărțiți în triunghiuri egale care ar avea un vârf comun în centrul cercului înscris. |
S= r p = 1/2 r n a |
Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.
Formulele ariei triunghiulare
- Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură - Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
- Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris. unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,
Formule de suprafață pătrată
- Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale. - Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.S= 1 2 2 unde S - Aria pătratului,
- lungimea laturii pătratului,
- lungimea diagonalei pătratului.
Formula zonei dreptunghiulare
- Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale
unde S este aria dreptunghiului,
- lungimile laturilor dreptunghiului.
Formule cu arii de paralelogram
- Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Aria unui paralelogram - Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.a b sin α
unde S este aria paralelogramului,
- lungimile laturilor paralelogramului,
- lungimea înălțimii paralelogramului,
- unghiul dintre laturile paralelogramului.
Formule pentru aria unui romb
- Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Zona unui romb este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale. unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.
Formule ale zonei trapezoidale
- Formula lui Heron pentru trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimile bazelor trapezului,
- lungimile laturilor trapezului,