Loģiskās operācijas. Disjunkcija, konjunkcija un noliegums

Loģisko saskaitīšanu (disjunkciju) veido, apvienojot divus apgalvojumus vienā, izmantojot savienojumu “vai”.

Krievu valodā savienojums “vai” tiek lietots dubultā nozīmē.

Piemēram, V priekšlikums Parasti 20:00 skatos TV vai dzeru tēju savienojums “vai” tiek pieņemts neizslēdzošā veidā (vienojošs) jēga, jo tu vari skatīties tikai televizoru vai tikai dzert tēju, bet vienlaikus var arī dzert tēju un skatīties TV, jo tava mamma nav stingra. Šo operāciju sauc nestingra disjunkcija.(Ja mana māte būtu stingra, viņa ļautu man tikai vai nu skatīties televizoru, vai tikai dzert tēju, bet ne apvienotu ēšanu ar televizora skatīšanos.)

Paziņojumā Šim darbības vārdam ir I vai II konjugācija savienojums "vai"
izmanto tikai (dalīšana) sajūtu. Tāda operācija
sauca stingra disjunkcija.. ,. ,-> „,... > (, r>

Stingru un nestingru disjunkciju piemēri:

Paziņojums, apgalvojums	Disjunkcijas veids
Petja sēž uz stadiona rietumu vai austrumu tribīnēm	Stingri
Students brauc ar vilcienu vai lasa grāmatu	Lax
Oljai patīk rakstīt esejas vai risināt loģikas uzdevumus	Lax
Seryozha mācās skolā vai absolvējusi to	Stingri
Rīt līs vai nē (trešās izvēles nav)	Stingri
Cīnīsimies par tīrību. Tīrība tiek panākta šādi: vai nu nepiegružot, vai arī tīrīt bieži	Lax
Zelia pārvietojas pa apļveida vai eliptisku orbītu	Stingri
Ciparus var pievienot vai reizināt	Lax
Bērni ir vai nu labi audzināti, vai nav mūsējie	?

Apzīmējums vājai disjunkcijai:A VAI IN; AVAIIN; A| IN; A V IN; A + B.(Šajā apmācībā: A V IN.)

Sniegsim piemēru divu vienkāršu apgalvojumu disjunkcijai.

Teiksim, no jūsu loga var redzēt stāvlaukumu, kur parasti ir divas automašīnas: mersedess un žigulis, bet var būt viens vai vispār nav.

Apzīmēsim apgalvojumus:

A = Stāvlaukumā atrodas Mercedes. IN= Stāvlaukumā ir žiguļu mašīnas.

(A disjunkcija B) = Tas atrodas autostāvvietā "Mercedes" vai "žiguli".

nodaļa 3. Loģiskās operācijas ____________ [___________________________ SCH

Tabula., ^"-"n..;ch; i■.■;- >i ,;,

No patiesības tabulas izriet, ka divu apgalvojumu disjunkcija ir nepatiesa tad un tikai tad, ja abi apgalvojumi ir nepatiesi, un patiess, ja vismaz viens apgalvojums ir patiess. Dažreiz šī īpašība tiek uzskatīta par disjunkcijas darbības definīciju.

Mnemoniskais noteikums: disjunkcija ir loģiska saskaitīšana, un mums nav šaubu, ka pamanījāt, ka vienādības 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, patiess parastajai saskaitīšanai, ir patiess arī disjunkcijas darbībai, bet 1 V 1 = 1.

Vārdam “savienojums” ir viens burts “un”, bet vārdam “disjunkcija” ir divi burti “un”, kā Un vārdā "vai".

V L - Simbols V (disjunkcija) ir izveidots no latīņu vārda Vel ("vai") pirmā burta.

"Dis" - "atzīmējiet" - V.

Kopu teorijā disjunkcija atbilst darbībai asociācijas komplekti.

Lai izveidotu Eilera-Vena diagrammu, kas atbilst kopu savienībai, mēs atlasām tās patiesības tabulas rindas, kurās AvB=\. Tās ir trīs. Diagrammā mēs iekrāsojam trīs apgabalus, kuros vērtības AUnIN tāds pats kā atlasītajās rindās. ^ _ h." " * "o L su J I J

30 ________________________________ 1. daļa. Matemātiskās loģikas elementi

Grafiskā ilustrācija: ».*■.

A IN A\jB- klasē daudzi skolēni, kuri ir teicamnieki vai sportisti.

j Apsveriet darbību stingri disjunkcijas (ekskluzīvs “vai”). i Sniegsim stingras disjunkcijas piemēru.

,)■ Dodiet šādus apgalvojumus:

"■ A= Stāvlaukumā stāv Mercedes.

>; B = Stāvlaukumā ir žiguļu mašīnas.

es (A stingra disjunkcija B) = Autostāvvietā stāv “Mvrsedve”*vai

"Žiguli". v ?;;

Operācijas "ekskluzīvā "vai" izmantošana paredz, ka stāvvietā var atrasties vai nu tikai mersedess, vai tikai žigulis, un aizliedz situāciju, kad stāvvietā vienlaikus atrodas mersedess un žigulis.

; . - "4",

Stingrs disjunkcijas apzīmējums:A XOR IN; A v IN.

nodaļā 3. Loģiskās operācijas ______________________________________ 31

No patiesības tabulas izriet, ka stingrās disjunkcijas darbība ir patiesa tad un tikai tad, ja patiess ir tikai viens no apgalvojumiem, un nepatiesa, ja abi apgalvojumi ir patiesi vai abi ir nepatiesi. Dažreiz šī īpašība tiek uzskatīta par stingras disjunkcijas darbības definīciju.

Eilera-Vena diagramma, kas attēlo stingru disjunkciju, tiek veidota, izmantojot patiesības tabulu tāpat kā citām loģiskajām operācijām.

Grafiskā ilustrācija:

<ЗЭ

A- klasē daudz izcilnieku; IN- klasē daudz sportistu;

A pie B- daudz skolēnu klasē, kuri ir vai nu izcilnieki, vai sportisti.

d "TUALETE. Dž

Loģiskas sekas (implikācijas) -wr™

Loģiskas sekas (implikācija) veidojas savienojot divus!,

apgalvojumus vienā, izmantojot runas figūru “ja..., Tas ... ». ■

Seku piemēri: "

E = Ja tiek dots zvērests, tad tas ir jāpilda.{

P = Ja skaitlis dalās ar 9, tad tas dalās ar 3. es

Loģikā ir pieļaujams (akceptēts, piekrists) uzskatīt arī ne-.;:

apgalvojumi, kas ir jēgpilni no ikdienas viedokļa. i

Sniegsim piemērus spriedumiem, kas ir ne tikai likumīgi izskatīti; satur loģiku, bet kuriem ir arī nozīme “patiesība”:

AR= Ja govis lido, tad 2 + 2 = 5. X = Ja- Napoleons, tad kaķim ir četras kājas.

Ietekmes apzīmējums:A -> B; A=e IN.(Šajā apmācībā: A=» IN.) Viņi saka: ja A, Tas IN; A nozīmē IN; A ietver IN; IN izriet no A.

1. daļa. Matemātiskās loģikas elementi

3. nodaļa. Loģiskās operācijas f; L.______________________________ 33

Šī darbība nav tik acīmredzama kā iepriekšējās. To var izskaidrot, piemēram, šādi.

Sniedz šādus apgalvojumus: .>--.< а «<, .<-. *>,w ""ihw

L A = Ārā līst.>..;; j .„ , | G,., d

B = Asfalts ir slapjš. ts

(A implikācija 2?) = £bш on Ārā līst, tad asfalts ir slapjš.

Tad ja līs lietus (A= 1) un asfalts ir slapjš (5=1), tad šī ir attiecība
atbilst realitātei, t.i., patiesība. Bet, ja viņi jums to saka
ārā līst (A= 1), un asfalts paliek sauss (B = 0), tad jūs rēķināties
jūs to slēpjat ar meliem. Bet kad ārā nelīst (A= 0), tad asfalts
var būt gan sauss, gan slapjš (piemēram, jūs tikko izbraucāt cauri a
vārpstas mašīna). ъ. ?; t | rfl]

Tabula

Paziņojuma forma: ja A, Tas IN,

G SOW! ,chi , T "/1

"? , L ■ Un " . "L\ un h > < "L

Lt S.Ch;":\0"1 "

Paskaidrosim diagrammas uzbūvi. Mūs interesē implikācijas patiesums, tāpēc mēs atlasām tās patiesības tabulas rindas, kurās A=> IN= 1. Ir trīs šādas līnijas. Diagrammā mēs iekrāsojam trīs apgabalus, kuros vērtības A Un IN tāpat kā atlasītajās rindās:

No patiesības tabulas izriet, ka divu apgalvojumu implikācija ir nepatiesa tad un tikai tad, ja no patiesa apgalvojuma izriet nepatiess apgalvojums (kad patiess pieņēmums noved pie nepatiesa secinājuma). Dažreiz šī īpašība tiek uzskatīta par implikācijas darbības definīciju.

Apskatīsim vienu no iepriekš minētajiem piemēriem par sekām, kas ir pretrunā veselajam saprātam.

(A = 0)n(B = 0)

(A = 0)n (B = 1)

(L = 1) n (I = 1)

Loģiskā vienlīdzība (ekvivalence)

Loģisko vienlīdzību (ekvivalenci) veido, apvienojot divus apgalvojumus vienā, izmantojot frāzes pagriezienu “... ja un tikai tad ...».

1. daļa. Matemātiskās loģikas elementi^

3. nodaļa. Loģiskās darbības

Ekvivalences piemēri: "

1) Leņķi sauc tieši tad un tieši tad, kad viņš vienāds 90°.

2) Divas taisnes ir paralēlas, tad un tikai tad, kad viņi nekrustojas..,

3) Jebkurš materiālais punkts uztur miera stāvokli vai vienmērīgu taisnvirziena kustību tad un tikai tad, ja nav ārējas ietekmes.(Pirmais Ņūtona likums.)

4) Galva domā tad un tikai tad, kad mēle ir mierā.(Joks.)

Visi matemātikas, fizikas likumi, visas definīcijas ir apgalvojumu ekvivalence.

Ekvivalences apzīmējums: A = B; A<=>IN; A ~ B.(Šajā apmācībā: A O IN.)

Sniegsim līdzvērtības piemēru. Sniedz šādus apgalvojumus:

A= Skaitlis dalās ar 3 bez atlikuma (reizi ar trīs). IN= Skaitļa ciparu summa dalās ar 3.

(A ekvivalents B) = Skaitlis dalās ar 3 tad un tikai tad
tā ciparu summa dalās ar 3., ;

Paskaidrojums:

A	IN	A<^В

Patiesības tabula:

	Nozīme
	paziņojumi
Izteikumu nozīme	Skaitlis ir reizināts ar 3
A Un IN par norādīto< значений "*"	tad un tikai tad, kad
*	tā ciparu summa sadalīts pilnībā ar 3
Numurs nav	Skaitļu summa nav	Taisnība
trīskārtējs	trīskārtējs
Numurs nav	Ciparu summa	Meli
trīskārtējs	trīskārtējs
Skaitlis ir daudzkārtējs	Skaitļu summa nav	Meli
trīs	trīskārtējs
Skaitlis ir daudzkārtējs	Ciparu summa	Taisnība
trīs	trīskārtējs

No patiesības tabulas izriet, ka divu apgalvojumu līdzvērtība ir patiesa tad un tikai tad, ja abi apgalvojumi ir patiesi vai abi ir nepatiesi. Dažreiz šī īpašība tiek uzskatīta par ekvivalences darbības definīciju.

Kopu teorijā šī darbība atbilst darbībai līdzvērtība komplekti.

Lai izveidotu atbilstošo kopu ekvivalenci Eilera-Vena diagrammā, mēs atlasām tās patiesības tabulas rindas, kurās A<=> IN= 1. Ir divi no tiem. Diagrammā mēs iekrāsojam divus apgabalus, kuros vērtības AnV tāds pats kā atlasītajās rindās.

Grafiskā ilustrācija: c~J_ ........ 1l...Li

Ш PAMATJĒDZIENI UN DEFINĪCIJAS

Loģiskā darbība- metode sarežģīta apgalvojuma konstruēšanai no dotajiem apgalvojumiem, kurā kompleksā apgalvojuma patiesības vērtību pilnībā nosaka sākotnējo apgalvojumu patiesuma vērtības.

Inversija(loģisks noliegums) tiek veidots no apgalvojuma, predikātam pievienojot partikuli “nē” vai izmantojot runas figūru “nav taisnība, ka...”.

Inversijas simbols: NAV A;-. A; A; NAV A.>"i,t

Tabula
patiesība: ■■■ g -

A	A

Paziņojuma inversija ir patiesa, kad
rādīšana ir nepatiesa, un nepatiesa, ja paziņojums
taisnība. ■--■

! t■ .■ " N ■

1. daļa. Matemātiskās loģikas elementi

G 3. nodaļa. Loģiskās darbības

Savienojums(loģiskā reizināšana) tiek veidota, apvienojot divus apgalvojumus vienā, izmantojot savienojumu “un”.

Saiknes apzīmējums: A I B; A L IN; A& IN; A ■ B; A UN IN.

; (G">* "*

Ekvivalence(loģiskā vienlīdzība) tiek veidota, apvienojot divus apgalvojumus vienā, izmantojot frāzes pagriezienu “... ja un tikai tad, ja...”.

Ekvivalences apzīmējums: A = B; A<=> IN; A ~ B.

Patiesības tabula:

Divu apgalvojumu līdzvērtība ir patiesa tad un tikai tad, ja abi apgalvojumi ir patiesi vai abi ir nepatiesi.

Disjunkcija(loģisks papildinājums) veidojas savienojot divi izteikumus vienā, izmantojot saikli “vai”. ,

Disjunkcijas apzīmējums: A VAI IN; A\B; L V IN; A+ IN.

Patiesības tabula:

Ietekme(loģiskās sekas) veido savienojums divi apgalvojumus vienā, izmantojot runas figūru “ja..., tad...”. Ietekmes apzīmējums: A->B;A=$B.

Pamata kopsavilkums “Loģisko operāciju īpašības”

Patiesības tabula:

A	IN	A^B

Divu apgalvojumu norāde ir nepatiesa tad un tikai tad, ja no patiesa apgalvojuma izriet nepatiess apgalvojums.

Ch1ya" | ; - VI

. ..,... , .-. . ja . ............... --,-

■*}■

<Ч. 1

Saistītā informācija.

Loģiskās operācijas. Disjunkcija, konjunkcija un noliegums

Tātad, kā vienkāršie loģiskie apgalvojumi savienojas viens ar otru, veidojot sarežģītus? Dabiskajā valodā lietojam dažādus saikļus un citas runas daļas. Piemēram, "un", "vai", "vai nu", "nē", "ja", "tad", "tad". Sarežģītu apgalvojumu piemērs: “viņam ir zināšanas Un prasmes", "viņa ieradīsies otrdien, vai trešdien", "Es spēlēšu Tad, kad pildu mājasdarbus", "5 Nav vienāds ar 6". Kā mēs izlemjam, vai tas, kas mums ir teikts, ir patiess vai nē? Kaut kā loģiski, pat kaut kur neapzināti, balstoties uz iepriekšējo dzīves pieredzi, mēs saprotam, ka patiesība ar savienību “un” notiek abu vienkāršo apgalvojumu patiesuma gadījumā. Kad kāds kļūst par melu, viss sarežģītais apgalvojums būs nepatiess. Bet ar savienojošo vārdu “vai” ir jābūt patiesam tikai vienam vienkāršam apgalvojumam, un tad visa izteiksme kļūs patiesa.

Būla algebra šo dzīves pieredzi pārnesa uz matemātikas aparātu, formalizēja un ieviesa stingrus noteikumus nepārprotama rezultāta iegūšanai. Arodbiedrības šeit sāka saukt par loģiskajiem operatoriem.

Loģikas algebra ietver daudzas loģiskas darbības. Tomēr trīs no tiem ir pelnījuši īpašu uzmanību, jo... ar viņu palīdzību jūs varat aprakstīt visas pārējās, un tāpēc, veidojot shēmas, izmantojiet mazāk dažādu ierīču. Šādas operācijas ir savienojums(UN), disjunkcija(VAI) un noliegums(NĒ). Bieži vien tiek apzīmēts savienojums & , disjunkcija - || , un noliegums ir josla virs mainīgā, kas norāda paziņojumu.

Ar savienojumu kompleksa izteiksmes patiesums rodas tikai tad, ja visi vienkāršie izteicieni, kas veido kompleksu, ir patiesi. Visos citos gadījumos sarežģītā izteiksme būs nepatiesa.

Izmantojot disjunkciju, sarežģītas izteiksmes patiesums rodas, ja vismaz viena tajā iekļautā vienkārša izteiksme ir patiesa vai divas uzreiz. Gadās, ka sarežģīta izteiksme sastāv no vairāk nekā diviem vienkāršiem. Šajā gadījumā pietiek ar vienu vienkāršu, lai būtu patiesība, un tad viss apgalvojums būs patiess.

Noliegums ir unāra darbība, jo tā tiek veikta saistībā ar vienu vienkāršu izteiksmi vai saistībā ar sarežģītas izteiksmes rezultātu. Nolieguma rezultātā tiek iegūts jauns apgalvojums, kas ir pretējs sākotnējam.

Patiesības tabulas

Loģiskās darbības ir ērti aprakstīt ar t.s patiesības tabulas, kas atspoguļo sarežģītu apgalvojumu aprēķinu rezultātus dažādām sākotnējo vienkāršo paziņojumu vērtībām. Vienkāršus apgalvojumus apzīmē ar mainīgajiem (piemēram, A un B).

Datora loģiskie pamati

Datoros tiek izmantotas dažādas ierīces, kuru darbību lieliski raksturo loģikas algebra. Šādas ierīces ietver slēdžu grupas, trigerus, papildinātājus.

Turklāt saikne starp Būla algebru un datoriem slēpjas datorā izmantotajā skaitļu sistēmā. Kā jūs zināt, tas ir binārs. Tāpēc datorierīces var saglabāt un pārveidot gan skaitļus, gan loģisko mainīgo vērtības.

Komutācijas ķēdes

Datori izmanto elektriskās ķēdes, kas sastāv no daudziem slēdžiem. Slēdzis var būt tikai divos stāvokļos: aizvērts un atvērts. Pirmajā gadījumā strāva pāriet, otrajā - nē. Ir ļoti ērti aprakstīt šādu ķēžu darbību, izmantojot loģikas algebru. Atkarībā no slēdžu stāvokļa jūs varat saņemt vai nesaņemt signālus izejās.

Vārti, flip-flops un papildinātāji

Vārti ir loģisks elements, kas pieņem dažas binārās vērtības un rada citas atkarībā no tā ieviešanas. Piemēram, ir vārti, kas realizē loģisko reizināšanu (konjunkciju), saskaitīšanu (disjunkciju) un noliegšanu.

Trigeri un papildinātāji ir salīdzinoši sarežģītas ierīces, kas sastāv no vienkāršākiem elementiem - vārtiem.

Sprūda spēj saglabāt vienu bināro ciparu, jo tas var būt divos stabilos stāvokļos. Trigerus galvenokārt izmanto procesoru reģistros.

Summētāji tiek plaši izmantoti procesoru aritmētiskajās loģiskajās vienībās (ALU) un veic bināro bitu summēšanu.

Datoru, pareizāk sakot, aparatūras uzbūve balstās uz t.s vārsti. Tie ir diezgan vienkārši elementi, kurus var kombinēt savā starpā, tādējādi veidojot dažādas shēmas. Dažas shēmas ir piemērotas īstenošanai aritmētiskās darbības, un, pamatojoties uz citiem, viņi veido dažādus atmiņa DATORS.

Ventel ir ierīce, kas no tajā ievadītajiem datiem (signāliem) rada Būla darbības rezultātu.

Vienkāršākais vārsts ir tranzistora invertors, kas pārveido zemu spriegumu augstspriegumam vai otrādi (no augstu uz zemu). To var uzskatīt par loģiskās nulles pārvēršanu loģiskā vai otrādi. Tie. mēs iegūstam vārstu NAV.

Savienojot tranzistoru pāri dažādos veidos, tiek iegūti vārti VAI NĒ Un UN NĒ. Šie vārti vairs nepieņem vienu, bet divus vai vairākus ieejas signālus. Izejas signāls vienmēr ir vienāds un ir atkarīgs (rada augstu vai zemu spriegumu) no ieejas signāliem. NOR vārtu gadījumā augstu spriegumu (loģisko) var sasniegt tikai tad, ja visas ieejas ir zemas. NAND vārtu gadījumā ir otrādi: loģiskais tiek iegūts, ja visi ieejas signāli ir nulle. Kā redzat, tas ir pretējs tādām pazīstamajām loģiskajām darbībām kā UN un VAI. Tomēr NAND un NOR vārti parasti tiek izmantoti, jo to realizācija ir vienkāršāka: AND-NOT un NOR-NOT realizē divi tranzistori, savukārt loģiskos UN un VAI realizē trīs.

Vārtu izvadi var izteikt kā ieeju funkciju.

Ir nepieciešams ļoti maz laika, lai tranzistors pārslēgtos no viena stāvokļa uz otru (pārslēgšanās laiku mēra nanosekundēs). Un šī ir viena no būtiskajām priekšrocībām shēmām, kas veidotas uz to pamata.

Loģiskajām vērtībām parasti tiek izmantotas trīs darbības:

Savienojums– loģiskā reizināšana (UN) – un, &, ∧.
Disjunkcija– loģiskais papildinājums (OR) – vai, |, v.
Loģiskais noliegums (NAV) - nē,.

Loģiskās izteiksmes var pārvērst atbilstoši loģikas algebras likumi:

Refleksijas likumi
a ∨ a = a
a ∧ a = a
Komutativitātes likumi
a ∨ b = b ∨ a
a ∧ b = b ∧ a
Asociativitātes likumi
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
Sadales likumi
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Nolieguma nolieguma likums
(a) = a
De Morgana likumi
(a ∧ b) = a ∨ b
(a ∨ b) = a ∧ b
Absorbcijas likumi
a ∨ (a ∧ b) = a
a ∧ (a ∨ b) = a

Katra loģiskā formula definē kādu Būla funkciju. No otras puses, jebkurai Būla funkcijai var uzrakstīt bezgalīgi daudz formulu, kas to attēlo. Viens no galvenajiem loģiskās algebras uzdevumiem ir atrašana kanoniski x formas (t.i., formulas, kas konstruētas pēc noteikta likuma, kanons), kā arī vienkāršākās formulas, kas attēlo Būla funkcijas.

Ja loģisko funkciju izsaka ar mainīgo lielumu disjunkciju, konjunkciju un noliegumu, tad šo attēlojuma formu sauc normāli. Starp parastajām formām ir tādas, kurās funkcijas ir rakstītas unikālā veidā. Tos sauc ideāls.

Loģikas algebrā īpaša loma ir disjunktīvo un konjunktīvo perfekto normālo formu klasēm. Tie ir balstīti uz elementārās disjunkcijas un elementārās konjunkcijas jēdzieniem.

Formulu sauc elementāra saikne, ja tā ir viena vai vairāku mainīgo konjunkcija ar noliegumu vai bez tā. Tiek aplūkots viens mainīgais vai tā noliegums vientermiņa elementārais savienojums.

Formulu sauc elementāra disjunkcija, ja tā ir mainīgo lielumu disjunkcija (varbūt monomāla) un mainīgo lielumu noliegums.

DNF UN SDNF

Formulu sauc disjunktīva normālā forma(DNF), ja tas ir neatkārtotu elementāru savienojumu disjunkcija. DNF ir rakstīti šādi: А1 v А2 v ... v Аn, kur katrs An- elementārais savienojums.

Formula A no k tiek saukti mainīgie perfekta disjunktīva normālā forma(SDNF), ja:
1.A ir DNF, kurā katrs elementārs savienojums ir savienojums k mainīgie x1, x2, …, xk, un šī savienojuma i-tajā vietā ir vai nu mainīgais xi vai tā noliegšana;
2. Visi elementārie savienojumi šādā DNF ir pa pāriem atšķirīgi.

Piemēram: A = x1 UN NAV x2 v x1 un x2

Perfekta disjunktīva normālā forma ir formula, kas konstruēta saskaņā ar stingri noteiktiem noteikumiem līdz tajā esošo elementāro savienojumu (disjunktīvo terminu) secībai.

Tas ir piemērs unikālam Būla funkcijas attēlojumam formulas (algebriskā) apzīmējuma veidā.

SDNF teorēma

Ļaujiet f(x1 x2, …, xn)– Būla funkcija n mainīgie, kas nav identiski nulle. Tad ir perfekta disjunktīva normālā forma, kas izsaka funkciju f.

Algoritms SDNF konstruēšanai, izmantojot patiesības tabulu:

1. Patiesības tabulā atzīmējam mainīgo kopas, kurām funkcijas vērtība f = 1.
2.Katrai atzīmētajai kopai visu mainīgo konjunkciju rakstām šādi: ja kāda mainīgā vērtība šajā kopā ir vienāda ar 1, tad konjunkcijā iekļaujam pašu mainīgo, pretējā gadījumā tā noliegumu.
3. Savienojam visas iegūtās konjunkcijas ar disjunkcijas operācijām.

KNF UN SKNF

Formulu sauc konjunktīva normālā forma(CNF), ja tas ir neatkārtotu elementāru disjunkciju konjunkcija. CNF ir rakstīti šādā formā: A1 & A2 & ... & An, kur katrs An– elementāra disjunkcija.

Formula A no k tiek saukti mainīgie ideāla konjunktīva normālā forma(SKNF), ja:
1. A ir CNF, kurā katra elementārā disjunkcija ir disjunkcija k mainīgie x1, x2, …, xk, un šīs disjunkcijas i-tajā vietā ir vai nu mainīgais xi, vai tā noliegums;
2. Visas elementārās disjunkcijas šādā CNF ir pa pāriem atšķirīgas.

Piemēram: A = (x1 v NOT x2) & (x1 v x2)

SCNF teorēma

Ļaujiet f(x1 x2, …, xn)– Būla funkcija n mainīgie, kas nav identiski nulle. Tad ir perfekta konjunktīva normālā forma, kas izsaka funkciju f.

Algoritms SCNF konstruēšanai, izmantojot patiesības tabulu:

1. Patiesības tabulā atzīmējam mainīgo kopas, kurām funkcijas vērtība f = 0.
2. Katrai atzīmētajai kopai visu mainīgo disjunkciju rakstām šādi: ja kāda mainīgā vērtība šajā kopā ir vienāda ar 0, tad disjunkcijā iekļaujam pašu mainīgo pretējā gadījumā tā noliegumu;
3. Visas iegūtās disjunkcijas savienojam ar konjunkcijas operācijām.

No SDNF un SCNF konstruēšanas algoritmiem izriet, ka, ja lielākajai daļai mainīgo vērtību kopu funkcija ir vienāda ar 0, tad, lai iegūtu tās formulu, ir vieglāk konstruēt SDNF, pretējā gadījumā - SCNF.

Loģisko funkciju samazināšana, izmantojot Karnaugh Maps

Karnaugh karte ir grafisks veids, kā samazināt pārslēgšanās (būla) funkcijas, nodrošinot relatīvu vieglu darbu ar lielām izteiksmēm un novēršot iespējamās sacīkstes. Attēlo pāru nepilnīgas līmēšanas un elementāras absorbcijas darbības. Karnaugh kartes tiek uzskatītas par atbilstoši pārkārtotas funkcijas patiesības tabulu. Carnaugh kartes var uzskatīt par īpašu plakanu n-dimensiju Būla kuba attīstību.

Karno kartes 1952. gadā izgudroja Edvards V. Veičs un 1953. gadā uzlaboja Moriss Kārno, Bell Labs fiziķis, un tās bija paredzētas, lai palīdzētu vienkāršot digitālās elektroniskās shēmas.

Karna kartē Būla mainīgie tiek pārsūtīti no patiesības tabulas un sakārtoti, izmantojot Grey kodu, kurā katrs nākamais cipars atšķiras no iepriekšējā tikai ar vienu ciparu.

Galvenā metode loģisko funkciju samazināšanai, kas parādīta SDNF vai SCNF formā, ir pāru nepilnīgas līmēšanas un elementāras absorbcijas darbība. Pāru līmēšanas operācija tiek veikta starp diviem terminiem (biedriem), kas satur identiskus mainīgos, kuru rašanās (tiešā un apgrieztā) sakrīt visiem mainīgajiem, izņemot vienu. Šajā gadījumā visus mainīgos, izņemot vienu, var izņemt no iekavām, un viena mainīgā, kas paliek iekavās, tiešos un apgrieztos gadījumus var salīmēt kopā. Piemēram:

Absorbcijas iespēja izriet no acīmredzamām vienādībām

Tādējādi galvenais uzdevums SDNF un SCNF samazināšanā ir atrast līmēšanai piemērotus terminus ar sekojošu absorbciju, kas lielām formām var būt diezgan sarežģīts uzdevums. Carnaugh kartes nodrošina vizuālu veidu, kā atrast šādus terminus.

Attēlā parādīta vienkārša patiesības tabula divu mainīgo funkcijai, šai tabulai atbilstošs 2-dimensiju kubs (kvadrāts), kā arī 2-dimensiju kubs ar SDNF terminu apzīmējumu un līdzvērtīga tabula terminu grupēšanai:

Veiča diagrammas metode.

"Metode ļauj ātri iegūt minimālus Būla funkcijas f DNF no neliela skaita mainīgo. Metodes pamatā ir Būla funkciju norādīšana ar kāda īpaša veida diagrammām, ko sauc par Veiča diagrammām. Divu mainīgo Būla funkcijai Veiča diagrammai ir forma (4.4.1. tabula).

Katra diagrammas šūna atbilst Būla funkcijas mainīgo kopai tās patiesības tabulā. (4.4.1. tabulā) šī atbilstība ir parādīta Veitch diagrammas šūnā tiek ievietota vienība, ja Būla funkcija ņem vienības vērtību attiecīgajā kopā. Būla funkcijas nulles vērtības Veitch diagrammā nav iestatītas. Trīs mainīgo Būla funkcijai Veiča diagrammai ir šāda forma (4.4.2. tabula).

Pievienojot to pašu tabulu, tiek iegūta diagramma 4 mainīgo funkcijai (4.4.3. tabula).

Tādā pašā veidā, tas ir, pievienojot vēl vienu diagrammu ar 3 mainīgajiem tikko apskatītajai, jūs varat iegūt diagrammu funkcijai no 5 mainīgajiem utt., bet diagrammas funkcijām ar vairāk nekā 4 mainīgajiem tiek izmantotas reti. Tipiskas ir šādas diagrammas:

Kombinēto ķēžu sintēzi var ilustrēt, atrisinot vienkāršu uzdevumu.

1. problēma

Uzņemšanas komisija, kurā ir trīs komisijas locekļi un viens priekšsēdētājs, ar balsu vairākumu lemj par pretendenta likteni. Ja balsis sadalās vienādi, vairākumu nosaka grupa, kurā atrodas atlases komisijas priekšsēdētājs. Izveidojiet automātu, kas nodrošina balsu vairākuma noteikšanu.

Risinājums

Ņemot vērā iepriekš minētos pieņēmumus, problēmas nosacījumu var viennozīmīgi attēlot patiesības tabulas veidā.

Tabulu aizpildām, ņemot vērā to, ka funkcija f ir pilnībā definēta, t.i. tas ir definēts uz visām iespējamām mainīgo x1 - x4 kopām. n ievades mainīgajiem ir N = 2n mainīgo lielumu kopas. Mūsu piemērā N = 24 = 16 kopas.

Šīs kopas var rakstīt jebkurā secībā, bet labāk ir augošā binārā koda secībā.

Decimālskaitļu sistēma

Šīs skaitļu sistēmas p bāze ir vienāda ar desmit. Šī skaitļu sistēma izmanto desmit ciparus. Pašlaik šo skaitļu apzīmēšanai izmantotie simboli ir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Skaitlis decimālajā skaitļu sistēmā tiek rakstīts kā vienību, desmitu, simtu, tūkstošu summa. , un tā tālāk. Tas ir, blakus esošo ciparu svari atšķiras desmitkārtīgi. Tādā pašā veidā tiek rakstīti skaitļi, kas ir mazāki par vienu. Šajā gadījumā skaitļa cipari tiks saukti par vienības desmitdaļām, simtdaļām vai tūkstošdaļām.

Apskatīsim decimālskaitļa rakstīšanas piemēru. Lai parādītu, ka piemērā tiek izmantota decimālo skaitļu sistēma, mēs izmantojam indeksu 10. Ja papildus skaitļu rakstīšanas decimālajai formai nav paredzēts izmantot citu ierakstīšanas veidu, tad indeksu parasti neizmanto:

A 10 = 247,56 10 = 2*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +5*10 -1 +6*10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0,5 10 +0 .06 10

Šeit skaitļa nozīmīgākais cipars tiks saukts par simtiem. Iepriekš minētajā piemērā simti atbilst skaitlim 2. Nākamais cipars tiks saukts par desmitiem. Iepriekš minētajā piemērā skaitlis 4 atbilst desmitiem. Nākamais cipars tiks saukts par vieniniekiem. Iepriekš minētajā piemērā vienības atbilst skaitlim 7. Desmitdaļas atbilst skaitlim 5, bet simtdaļas – 6.

Binārā skaitļu sistēma

Šīs skaitļu sistēmas p bāze ir vienāda ar divi. Šajā skaitļu sistēmā tiek izmantoti divi cipari. Lai neizgudrotu jaunus simbolus skaitļu apzīmēšanai, binārajā skaitļu sistēmā tika izmantoti decimālciparu simboli 0 un 1 Lai skaitļa rakstīšanā nesajauktu skaitļu sistēmu, izmanto indeksu 2, in papildus skaitļu rakstīšanas binārajai formai nav paredzēts izmantot citu formu, tad šo rādītāju var izlaist.

Skaitlis šajā skaitļu sistēmā tiek rakstīts kā vieninieku, divnieku, četrinieku, astoņnieku un tā tālāk summa. Tas ir, blakus esošo ciparu svari atšķiras ar koeficientu divi. Tādā pašā veidā tiek rakstīti skaitļi, kas ir mazāki par vienu. Šajā gadījumā skaitļa cipari tiks saukti par vienības pusēm, ceturtdaļām vai astotdaļām.

Apskatīsim bināra skaitļa rakstīšanas piemēru:

A 2 = 101110,101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 + 1* 2-3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0,5 10 +0,125 10 =46,625 10

Rakstot otrajā rindā bināro ciparu decimālo ekvivalentu piemēru, mēs neierakstījām divu pakāpju, kas tiek reizināti ar nulli, jo tas tikai novestu pie formulas pārblīvēšanas un līdz ar to apgrūtinātu materiāla izpratni. .

Par bināro skaitļu sistēmas trūkumu var uzskatīt lielo ciparu skaitu, kas nepieciešams skaitļu rakstīšanai. Šīs skaitļu sistēmas priekšrocība ir aritmētisko darbību veikšanas vienkāršība, kas tiks apspriesta vēlāk.

Oktālo skaitļu sistēma

Šīs skaitļu sistēmas p bāze ir vienāda ar astoņiem. Astoņtālo skaitļu sistēmu var uzskatīt par īsāku bināro skaitļu rakstīšanas veidu, jo skaitlis astoņi ir divi. Šī skaitļu sistēma izmanto astoņus ciparus. Lai neizgudrotu jaunus simbolus skaitļu apzīmēšanai, oktālo skaitļu sistēmā tika izmantoti decimālskaitļu simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 un 7. Lai nesajauktu skaitļu sistēmu, indekss 8 tiek lietots skaitļa rakstīšanā Papildus oktālajai skaitļu rakstīšanas formai nav paredzēts izmantot citus apzīmējumus, tad šo rādītāju var izlaist.

Skaitlis šajā skaitļu sistēmā tiek rakstīts kā vieninieku, astoņnieku, sešdesmit četrinieku un tā tālāk summa. Tas ir, blakus esošo ciparu svari atšķiras ar koeficientu astoņi. Tādā pašā veidā tiek rakstīti skaitļi, kas ir mazāki par vienu. Šajā gadījumā skaitļa cipari tiks saukti par astotajiem, sešdesmit četriem un tā tālāk, viena daļa.

Apskatīsim oktāla skaitļa rakstīšanas piemēru:

A 8 = 125,46 8 = 1*8 2 +2*8 1 +5*8 0 +4*8 -1 +6*8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 + 6 10 /64 10 = 85,59375 10

Iepriekš minētā piemēra otrā rinda faktiski pārvērš oktālā formā rakstītu skaitli tā paša skaitļa decimāldaļā. Tas ir, mēs faktiski izskatījām vienu no veidiem, kā pārvērst skaitļus no viena attēlojuma veida citā.

Tā kā formula izmanto vienkāršas daļskaitļus, iespējams, ka precīza tulkošana no viena attēlojuma veida uz citu kļūst neiespējama. Šajā gadījumā tie ir ierobežoti līdz noteiktam daļskaitļu skaitam.

Digitālo komparatoru veidi

Salīdzinātājs dažādu polaritātes signālu salīdzināšanai

Salīdzinātājs vienpolāru signālu salīdzināšanai

Salīdzinātājs vienpolu spriegumu salīdzināšanai ar histerēzes raksturlielumu. Aplūkotajos salīdzinātājos var iegūt raksturlielumus ar histerēzes īpašībām. Histerēzes ieviešana salīdzinājuma darbībā nedaudz samazina salīdzināšanas precizitāti, bet padara to imūnu pret troksni un traucējumiem. Histerēzi panāk, ieslēdzot augstāku atsauces spriegumu, kad spriegums mainās no zema uz augstu, salīdzinot ar vērtību, ko izmanto, kad spriegums mainās no augsta uz zemu. Šajā gadījumā augstu atsauces sprieguma vērtību sauc par augšējo reakcijas slieksni, bet zemo vērtību sauc par apakšējo reakcijas slieksni. Tas tiek panākts, ieviešot pozitīvas atsauksmes.

Daudzbitu salīdzinātāji

Kā piemēru apskatīsim K555SP1 sērijas četru bitu digitālo komparatoru, kura astoņas ieejas tiek izmantotas divu četru bitu vārdu savienošanai: A0. A3, B0. B3 jāsalīdzina. Vadības ieejas I(A>B), (A = B) un I(A< В) могут быть использованы для наращивания разрядности компаратора. Предусмотрены три выхода результата сравнения: А>B, A = B un A<В.

Šāda salīdzinātāja patiesības tabula (1. tabula) ir sadalīta rindu pēc rindas trīs sadaļās.

Pirmā sadaļa (tabulas augšējās astoņas rindas) definē gadījumu, kad salīdzinātājs darbojas, kad salīdzināmie četru bitu vārdi nav vienādi. Šajā gadījumā signāli pie ieejām, kas palielina bitu dziļumu kā reakcija uz salīdzināmo vārdu apakšējo bitu signāliem, nekādi neietekmē salīdzināšanas rezultātu.

Rīsi. 1. Salīdzinājuma tipa SP1 parastais grafiskais attēlojums

Šīs tabulas otrās sadaļas trīs rindas raksturo komparatora darbību ar secīgu bitu dziļuma palielināšanas metodi, t.i. kad zemas kārtas komparatora izejas ir savienotas ar augstākās pakāpes komparatora vadības ieejām.

Viena bita komparatori

Viena bita salīdzinājumam ir divas ieejas, kas vienlaikus saņem viena bita bināros skaitļus x1 un x2, un trīs izejas (=, >,<). Из таблицы истинности логические уравнения компаратора при сравнении x1 с x2 получаются в виде

Šāda salīdzinājuma ieviešana NAND bāzē ļauj iegūt šādu attēlu (2. att.):

2. attēls. Viena bita binārais komparators.

1. tabula. Četru bitu komparatora tipa SP1 patiesības tabula

Salīdzinātājs(analogie signāli) (ang. komparators - salīdzināšanas ierīce) - elektroniska shēma, kas savās ieejās saņem divus analogos signālus un rada loģisku “1”, ja signāls tiešajā ieejā (“+”) ir lielāks nekā apgrieztajā ieejā (“−”) un loģisks “0”, ja signāls tiešajā ieejā ir mazāks nekā apgrieztajā ieejā.

Viens binārais salīdzinājuma spriegums sadala visu ieejas sprieguma diapazonu divās apakšdiapazonās. Binārais loģiskais signāls (bits) binārā komparatora izejā norāda, kurā no diviem apakšdiapazoniem atrodas ieejas spriegums.

Vienkāršākais salīdzinājums ir diferenciālais pastiprinātājs. Salīdzinātājs atšķiras no lineārā darbības pastiprinātāja (operācijas pastiprinātāja) gan ieejas, gan izejas posma konstrukcijā:

Salīdzinājuma ievades pakāpei ir jāiztur plašs ieejas spriegumu diapazons starp invertējošām un neinvertējošām ieejām līdz barošanas spriegumu svārstībām un ātri jāatgūst, mainoties šī sprieguma zīmei.
Salīdzinājuma izejas posms loģisko līmeņu un strāvu ziņā ir savietojams ar noteikta veida loģiskās ķēdes ieejām (TTL, ESL tehnoloģijas utt.). Ir iespējami izvades posmi, kuru pamatā ir viens tranzistors ar atvērtu kolektoru (saderīgs ar TTL un CMOS loģiku).
Lai izveidotu histerētisku pārneses raksturlielumu, salīdzinājumi bieži tiek pārklāti ar pozitīvām atsauksmēm. Šis pasākums novērš strauju nevēlamu izejas stāvokļa pārslēgšanu ieejas signāla trokšņa dēļ, kad ieejas signāls lēnām mainās.

Kad atsauces salīdzināšanas spriegums tiek pielietots invertējošajai ieejai, ieejas signāls tiek pievadīts neinvertējošajai ieejai, un salīdzinājums ir neinvertējošs (sekotājs, buferis).

Pieliekot atsauces salīdzināšanas spriegumu neinvertējošajai ieejai, ieejas signāls tiek pievadīts invertējošajai ieejai, un salīdzinājums invertē (invertē).

Salīdzinātāji, kuru pamatā ir atgriezeniskās saites loģiskie elementi, tiek izmantoti nedaudz retāk (skatiet, piemēram, Schmitt trigeri - nevis pēc būtības salīdzinātājs, bet gan ierīce ar ļoti līdzīgu pielietojuma jomu).

Matemātiski modelējot komparatoru, salīdzinājuma izejas sprieguma problēma rodas, ja spriegumi abās salīdzinājuma ieejās ir vienādi. Šajā brīdī salīdzinājums atrodas nestabila līdzsvara stāvoklī. Problēmu var atrisināt daudzos dažādos veidos, kas aprakstīti apakšsadaļā “Programmatūras salīdzinājums”.

Impulsu skaitītājs– elektroniska ierīce, kas paredzēta ieejai pievadīto impulsu skaita skaitīšanai. Saņemto impulsu skaits tiek izteikts binārajā skaitļu sistēmā.

Impulsu skaitītāji ir reģistru veids (skaitīšanas reģistri), un tie ir veidoti attiecīgi uz flip-flop un loģiskiem elementiem.

Galvenie skaitītāju rādītāji ir skaitīšanas koeficients K 2n - impulsu skaits, ko skaitītājs var saskaitīt. Piemēram, skaitītājam, kas sastāv no četrām flip-flop, maksimālais skaitīšanas koeficients var būt 24=16. Četru trigeru skaitītājam minimālais izvades kods ir 0000, maksimālais ir -1111, un ar skaitīšanas koeficientu Kc = 10 izvades skaitīšana apstājas pie koda 1001 = 9.

Attēlā 1, a parādīta četru bitu skaitītāja ķēde, izmantojot virknē savienotus T-flip-flops. Skaitīšanas impulsi tiek piegādāti uz pirmā flip-flop skaitīšanas ieeju. Nākamo flip-flopu skaitīšanas ieejas ir savienotas ar iepriekšējo flip-flop izejām.

Ķēdes darbību ilustrē laika diagrammas, kas parādītas 1. attēlā, b. Kad pienāk pirmais skaitīšanas impulss, tam samazinoties, pirmais trigeris nonāk stāvoklī Q1 = 1, t.i. Skaitītājā tiek ierakstīts digitālais kods 0001 Otrā skaitīšanas impulsa beigās pirmais trigeris pārslēdzas uz “0” stāvokli, bet otrais pārslēdzas uz “1”. Skaitītājs reģistrē skaitli 2 ar kodu 0010.

1. attēls – Binārais četru bitu skaitītājs: a) ķēde, b) grafiskais apzīmējums, c) darbības laika diagrammas

No diagrammas (1. att., b) ir skaidrs, ka, piemēram, pēc 5. impulsa krituma skaitītājā tiek ierakstīts kods 0101, pēc 9. - 1001 utt. 15. impulsa beigās visi skaitītāja biti tiek iestatīti uz “1” stāvokli, un 16. impulsa krišanas brīdī visi trigeri tiek atiestatīti, t.i., skaitītājs pāriet sākotnējā stāvoklī. Lai piespiestu skaitītāju uz nulli, ir “atiestatīšanas” ieeja.

Binārā skaitītāja skaitīšanas koeficients tiek atrasts no attiecības Ксч = 2n, kur n ir skaitītāja bitu (trigeru) skaits.

Impulsu skaita skaitīšana ir visizplatītākā darbība digitālajās informācijas apstrādes ierīcēs.

Binārā skaitītāja darbības laikā impulsa atkārtošanās ātrums pie katra nākamā trigera izejas tiek samazināts uz pusi, salīdzinot ar tā ievades impulsu frekvenci (1. att., b). Tāpēc skaitītājus izmanto arī kā frekvences dalītājus.

Kodētājs(ko sauc arī par kodētāju) pārvērš signālu ciparu kodā, visbiežāk decimālskaitļus binārajā skaitļu sistēmā.

Kodētājam ir m ieejas, kas secīgi numurētas ar decimālskaitļiem (0, 1,2,..., m - 1), un n izejas. Ieeju un izeju skaitu nosaka atkarība 2n = m (2. att., a). Simbols "CD" ir veidots no angļu valodas vārda Coder burtiem.

Pielietojot signālu vienai no ieejām, izejās parādās n-bitu binārs skaitlis, kas atbilst ievades numuram. Piemēram, kad 4. ieejai tiek ievadīts impulss, izejās parādās ciparu kods 100 (2. att., a).

Dekoderi (saukti arī par dekodētājiem) tiek izmantoti, lai bināros skaitļus pārvērstu atpakaļ mazos decimālskaitļos. Dekodera ieejas (2. att., b) ir paredzētas bināro skaitļu piegādei, izejas ir secīgi numurētas ar decimālskaitļiem. Kad ieejām tiek pievienots binārs skaitlis, noteiktā izejā parādās signāls, kura numurs atbilst ievades numuram. Piemēram, pielietojot kodu 110, signāls parādīsies 6. izejā.

2. attēls – a) UGO kodētājs, b) UGO dekodētājs

Multiplekseris- ierīce, kurā izeja ir pievienota vienai no ieejām, saskaņā ar adreses kodu. Tas. Multiplekseris ir elektronisks slēdzis vai komutators.

3.attēls – Multiplekseris: a) grafiskais apzīmējums, b) stāvokļu tabula

Ieejām A1, A2 tiek piegādāts adreses kods, kas nosaka, kura no signāla ieejām tiks pārraidīta uz ierīces izeju (3. att.).

Lai pārveidotu informāciju no digitālās uz analogo formu, viņi izmanto ciparu-analogie pārveidotāji (DAC), un apgrieztajai transformācijai - analogo-ciparu pārveidotāji (ADC).

DAC ieejas signāls ir binārs vairāku bitu skaitlis, un izejas signāls ir spriegums Uout, kas ģenerēts, pamatojoties uz atsauces spriegumu.

Analogā-digitālā konvertēšanas procedūra (4. att.) sastāv no diviem posmiem: laika paraugu ņemšana (izlases ņemšana) un līmeņa kvantēšana. Paraugu ņemšanas process sastāv no nepārtraukta signāla vērtību mērīšanas tikai atsevišķos laika punktos.

4. attēls. Pārveidošanas process no analogās uz digitālo

Kvantēšanai ievades signāla izmaiņu diapazons tiek sadalīts vienādos intervālos - kvantēšanas līmeņos. Mūsu piemērā ir astoņi, bet parasti to ir daudz vairāk. Kvantēšanas darbība ir saistīta ar intervāla noteikšanu, kurā ietilpst izlases vērtība, un digitālā koda piešķiršanu izvades vērtībai.

Reģistrs ir funkcionāla vienība, kas apvieno vairākus viena veida trigerus.

Reģistru veidi:

1) Aizbīdņu reģistri– veidots uz fiksatoriem (K155TM5; K155TM7), kuros ierakstīšana tiek veikta pēc stroboskopa signāla līmeņa.

K155TM8 trigerī ierakstīšanu veic stroboskopa signāla pozitīvā mala.

2) Maiņu reģistri– veic tikai secīgas kodu saņemšanas funkciju.

3) Universālie reģistri– var saņemt informāciju paralēli un sērijas kodu.

4) Speciālie reģistri– K589IR12 ir papildu lietošanas iespējas.

Maiņu reģistrs

Šis ir reģistrs, kura saturs, kad tiek pielietots vadības signāls, var tikt novirzīts uz augstākajiem vai zemākajiem cipariem. Piemēram, kreisā nobīde ir parādīta 9. tabulā.

9. tabula Koda maiņa pa kreisi

Universālie reģistri

Tiem ir ārējās izejas un ieejas visiem bitiem, kā arī seriālā DS ieeja.

Ir divu veidu universālie reģistri:

1) reģistrs, kas veic nobīdi tikai vienā virzienā un paralēli saņem kodu (piemēram, K155IR1; K176IR3).

2) ar četriem darbības režīmiem: pārslēgt pa labi/pa kreisi; paralēla uztveršana; krātuve (piemēram, 8 bitu reģistrs K155IR13; 4 bitu reģistrs K500IR141).

Galvenā elementārā darbība, kas tiek veikta ar ciparu kodiem digitālajās ierīcēs, ir aritmētiskā saskaitīšana.

Loģiskais papildinātājs darbības mezgls, kas veic aritmētika saskaitot divu skaitļu kodus. Aritmētiskās saskaitīšanas laikā tiek veiktas citas papildu darbības: skaitļu zīmju ņemšana vērā, terminu secību sakārtošana un tamlīdzīgi. Šīs darbības tiek veiktas aritmētiskās loģikas vienībās (ALU) vai apstrādes elementos, kuru kodols ir summatori.

Papildinātāji tiek klasificēti pēc dažādiem kritērijiem.

Atkarībā no skaitļu sistēmas atšķirt:

binārs;
binārā decimāldaļa (parasti bināri kodēta);
decimālzīme;
citi (piemēram, amplitūda).

Pēc pievienoto skaitļu vienlaicīgi apstrādāto ciparu skaita:

viens cipars,
vairāku bitu.

Pēc viena bita bināro summatoru ieeju un izeju skaita:

ceturtdaļsummētāji (elementi "sum modulo 2"; "ekskluzīvi VAI" elementi), kam raksturīgi divi ievadi, kuriem tiek piegādāti divi viencipara skaitļi, un viena izeja, kurai tiek realizēta to aritmētiskā summa;
pussummētāji, kam raksturīgas divas ieejas, kurām tiek piegādāti vienādi divu skaitļu cipari, un divas izejas: viena realizē aritmētisko summu noteiktā ciparā, bet otra veic pārsūtīšanu uz nākamo (augstāko ciparu) ;
Pilnīgi viena bita binārie summatori, kam raksturīgas trīs ieejas, kurām tiek pievienoti tie paši divu skaitļu cipari un pārsūtīšana no iepriekšējā (apakšējā) cipara, un divas izejas: vienā aritmētiskā summa šajā cipars tiek realizēts, un, no otras puses, pāreja uz nākamo (augstāko) izlādi).

Pievienoto skaitļu attēlošanas un apstrādes veidā vairāku bitu papildinātāji ir sadalīti:

secīgs, kurā skaitļi tiek apstrādāti pa vienam, ciparam pa ciparam tajā pašā iekārtā;
paralēli, kurā termini tiek pievienoti vienlaikus pa visiem cipariem, un katram ciparam ir savs aprīkojums.

Vienkāršākajā gadījumā paralēlais summators sastāv no n viena bita summatoriem, kas secīgi (no vismazākā līdz visnozīmīgākajam) savienoti ar pārnēsāšanas shēmām. Tomēr šādai summas shēmai ir raksturīga salīdzinoši zema veiktspēja, jo summas un pārneses signālu ģenerēšana katrā i-tajā bitā notiek tikai pēc pārsūtīšanas signāla saņemšanas no (i-1) bita summatoru nosaka signāla izplatīšanās laiks pa pārraides ķēdi. Šī laika samazināšana ir galvenais uzdevums, veidojot paralēlos summētājus.

Lai samazinātu pārraides signāla izplatīšanās laiku, izmantojiet: Konstruktīvi lēmumi

LOĢISKO DARBĪBU ĪPAŠĪBAS

1. Apzīmējumi

1.1. Loģisko savienojumu (operāciju) apzīmējumi:

a) noliegums(inversija, loģiskā NAV) tiek apzīmēta ar ¬ (piemēram, ¬A);

b) savienojums(loģiskā reizināšana, loģiskā UN) tiek apzīmēta ar /\
(piemēram, A /\ B) vai & (piemēram, A un B);

c) disjunkcija(loģisks papildinājums, loģiskais VAI) ir apzīmēts ar \/
(piemēram, A \/ B);

d) sekojošs(implikācija) tiek apzīmēta ar → (piemēram, A → B);

e) identitāti apzīmē ar ≡ (piemēram, A ≡ B). Izteiksme A ≡ B ir patiesa tad un tikai tad, ja A un B vērtības ir vienādas (vai nu tās ir patiesas, vai abas ir nepatiesas);

f) simbols 1 tiek izmantots patiesības apzīmēšanai (patiess apgalvojums); simbols 0 – lai norādītu uz meliem (nepatiess apgalvojums).

1.2. Tiek izsauktas divas Būla izteiksmes, kas satur mainīgos ekvivalents (ekvivalents), ja šo izteiksmju vērtības sakrīt ar jebkuru mainīgo vērtību. Tādējādi izteiksmes A → B un (¬A) \/ B ir ekvivalentas, bet A /\ B un A \/ B nav (izteiksmju nozīmes ir atšķirīgas, piemēram, ja A = 1, B = 0 ).

1.3. Loģisko operāciju prioritātes: inversija (negācija), konjunkcija (loģiskā reizināšana), disjunkcija (loģiskā saskaitīšana), implikācija (sekošana), identitāte. Tādējādi ¬A \/ B \/ C \/ D nozīmē to pašu, ko

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

Ir iespējams rakstīt A \/ B \/ C vietā (A \/ B) \/ C. Tas pats attiecas uz savienojumu: ir iespējams rakstīt A /\ B /\ C vietā (A /\ B) ) /\ C.

2. Īpašības

Zemāk esošais saraksts NAV paredzēts pilnīgs, bet, cerams, ir pietiekami reprezentatīvs.

2.1. Vispārējās īpašības

Par komplektu n ir tieši loģiski mainīgie 2 n dažādas nozīmes. Patiesības tabula loģiskai izteiksmei no n mainīgie satur n+1 kolonnu un 2 n līnijas.

2.2.Disjunkcija

Ja vismaz viena no apakšizteiksmēm, kurām tiek piemērota disjunkcija, ir patiesa kādai mainīgo vērtību kopai, tad šai vērtību kopai ir patiesa visa disjunkcija.
Ja visas izteiksmes no noteikta saraksta ir patiesas uz noteiktu mainīgo vērtību kopu, tad arī šo izteiksmju disjunkcija ir patiesa.
Ja visas izteiksmes no noteikta saraksta ir nepatiesas uz noteiktu mainīgo vērtību kopu, tad arī šo izteiksmju disjunkcija ir nepatiesa.
Disjunkcijas nozīme nav atkarīga no apakšizteikumu rakstīšanas secības, kurām tā tiek piemērota.

2.3. Savienojums

Ja vismaz viena no apakšizteiksmēm, kurām tiek lietota saite, ir nepatiesa kādai mainīgo vērtību kopai, tad visa konjunkcija ir nepatiesa šai vērtību kopai.
Ja visas izteiksmes no noteikta saraksta ir patiesas uz noteiktu mainīgo vērtību kopu, tad arī šo izteiksmju konjunkcija ir patiesa.
Ja visas izteiksmes no noteikta saraksta ir nepatiesas uz noteiktu mainīgo vērtību kopu, tad arī šo izteiksmju konjunkcija ir nepatiesa.
Saikļa nozīme nav atkarīga no apakšizteiksmju rakstīšanas secības, kurām tas tiek piemērots.

2.4. Vienkārši disjunkcijas un konjunkcijas

Sauksim (ērtības labad) saikni vienkārši, ja apakšizteiksmes, kurām tiek lietots savienojums, ir atšķirīgi mainīgie vai to noliegumi. Līdzīgi sauc arī disjunkciju vienkārši, ja apakšizteiksmes, kurām tiek piemērota disjunkcija, ir atšķirīgi mainīgie vai to noliegumi.

Vienkāršs savienojums tiek novērtēts ar 1 (patiess) tieši vienā mainīgo vērtību kopā.
Vienkārša disjunkcija tiek novērtēta līdz 0 (false) tieši vienai mainīgo vērtību kopai.

2.5. Ietekme

Ietekme A →B ir līdzvērtīgs disjunkcijai (¬ A) \/ B.Šo disjunkciju var uzrakstīt arī šādi: ¬ A\/B.
Ietekme A →Bņem vērtību 0 (false) tikai tad, ja A=1 Un B=0. Ja A=0, tad sekas A →B patiess jebkurai vērtībai B.

Saiklis: atbilst savienojumam: “un”, kas apzīmēts ar zīmi^, apzīmē loģisko reizināšanu.

Divu loģisku ~ savienojums ir patiess tad un tikai tad, ja abi apgalvojumi ir patiesi. Var vispārināt jebkuram mainīgo skaitam A^B^C = 1, ja A=1, B=1, C=1.

Patiesības tabula operācijai “Savienojums”:

Tabula Nr.2

Disjunkcija

Loģiskā darbība atbilst savienībai VAI, kas apzīmēta ar zīmi v, citādi saukta par LOĢISKO PAPILDINĀJUMU.

Divu loģisko mainīgo disjunkcija ir nepatiesa, ja ir nepatiesa, un oļi ir nepatiesi, ja abi apgalvojumi ir nepatiesi.

Šo definīciju var vispārināt ar jebkuru loģisko mainīgo skaitu, kas apvienoti ar disjunkciju.

A v B v C = 0 tikai tad, ja A = O, B = O, C - 0.

Patiesības tabula operācijai “Disjunkcija”:

Tabula Nr.3

Inversija

Loģiskā darbība atbilst daļiņai not, tiek apzīmēta ar ¬ vai ¯ un ir loģisks noliegums.

Būla mainīgā apgrieztā vērtība ir patiesa, ja mainīgais ir nepatiess, un otrādi: apgrieztais ir nepatiess, ja mainīgais ir patiess.

Patiesības tabula operācijai "Inversija":

Tabula Nr.5

Ekvivalence “Un tad B un tikai tad” tiek apzīmēta ar A ~ B

Tabula Nr.6

Aprēķinot loģiskās izteiksmes (formulas) vērtību, loģiskās darbības tiek aprēķinātas noteiktā secībā pēc to prioritātes:

inversija;

savienojums;

disjunkcija;

implikācija un līdzvērtība;

Tās pašas prioritātes darbības tiek veiktas no kreisās puses uz labo. Iekavas tiek izmantotas, lai mainītu darbību secību.

Paziņojumu formalizēšana

Dabiskās valodas tiek izmantotas, lai izveidotu aprakstošus informācijas modeļus. Zinātnes vēsturē ir zināmi daudzi aprakstoši informācijas modeļi; piemēram, Kopernika piedāvātais heliocentriskais pasaules modelis tika formulēts šādi:

Zeme griežas ap savu asi un ap Sauli;

visas planētas riņķo ap Sauli;

Ar formālo valodu palīdzību tiek veidoti formālie informācijas modeļi (matemātiskie, loģiskie utt.). Viena no visplašāk izmantotajām formālajām valodām ir matemātika. Modeļus, kas izveidoti, izmantojot matemātiskos jēdzienus un formulas, sauc par matemātiskajiem modeļiem. Matemātikas valoda ir formālu valodu kopums.

Algebras valoda ļauj formalizēt funkcionālās atkarības starp lielumiem. Tādējādi Ņūtons formalizēja pasaules heliocentrisko sistēmu, atklājot mehānikas likumus un universālās gravitācijas likumus un pierakstot tos algebrisko funkcionālo atkarību veidā. Piemēram, skolas fizikas kursā tiek aplūkotas daudzas dažādas funkcionālās atkarības, kas izteiktas algebras valodā, kas ir pētāmo parādību vai procesu matemātiskie modeļi.

Loģiskās algebras valoda (propozīcijas algebra) ļauj veidot formālus loģiskos modeļus. Izmantojot propozicionālo algebru, jūs varat formalizēt (rakstīt loģisku izteiksmju veidā) vienkāršus un sarežģītus apgalvojumus, kas izteikti dabiskajā valodā. Loģisko modeļu veidošana ļauj atrisināt loģiskās problēmas, veidot datoru ierīču loģiskos modeļus (sudevēju, trigeru) utt.

Informācijas modeļu veidošanas procesu, izmantojot formālās valodas, sauc par formalizāciju.

Apkārtējās pasaules izpratnes procesā cilvēce pastāvīgi izmanto modelēšanu un formalizāciju. Pētot jaunu objektu, pirmkārt, tā aprakstošais informācijas modelis parasti tiek veidots dabiskajā valodā, pēc tam tas tiek formalizēts, tas ir, izteikts, izmantojot formālās valodas (matemātiku, loģiku utt.).

Loģikas algebra un datora loģiskie pamati

Loģikas algebra (Būla algebra) ir matemātikas nozare, kas radās 19. gadsimtā, pateicoties angļu matemātiķa pūlēm J. Bouļa. Sākumā Būla algebrai nebija praktiskas nozīmes. Taču jau 20. gadsimtā tās noteikumi atrada pielietojumu dažādu elektronisko shēmu darbības un attīstības raksturošanā. Loģiskās algebras likumus un aparātu sāka izmantot dažādu datoru daļu (atmiņas, procesora) projektēšanā. Lai gan šī nav vienīgā šīs zinātnes pielietojuma joma.

Kas tas ir? loģikas algebra? Pirmkārt, tas pēta metodes sarežģītu loģisku apgalvojumu patiesuma vai nepatiesuma noteikšanai, izmantojot algebriskās metodes. Otrkārt, Būla algebra to dara tā, ka sarežģītu loģisko paziņojumu apraksta funkcija, kuras rezultāts var būt patiess vai nepatiess (1 vai 0). Šajā gadījumā arī funkciju argumentiem (vienkāršiem priekšrakstiem) var būt tikai divas vērtības: 0 vai 1.

Kas ir vienkārši loģisks apgalvojums? Tās ir tādas frāzes kā “divi ir vairāk nekā viens”, “5,8 ir vesels skaitlis”. Pirmajā gadījumā mums ir patiesība, bet otrajā - nepatiesība. Loģikas algebra neattiecas uz šo apgalvojumu būtību. Ja kāds nolemj, ka apgalvojums “Zeme ir kvadrātveida” ir patiess, tad loģikas algebra to pieņems kā faktu. Fakts ir tāds, ka Būla algebra nodarbojas ar sarežģītu loģisku paziņojumu rezultātu aprēķināšanu, pamatojoties uz iepriekš zināmām vienkāršu paziņojumu vērtībām.

Loģiskās operācijas. Disjunkcija, konjunkcija un noliegums

Kā mēs izlemjam, vai tas, kas mums ir teikts, ir patiess vai nē? Kaut kā loģiski, pat kaut kur neapzināti, balstoties uz iepriekšējo dzīves pieredzi, mēs saprotam, ka patiesība ar savienību “un” notiek abu vienkāršo apgalvojumu patiesuma gadījumā. Kad kāds kļūst par melu, viss sarežģītais apgalvojums būs nepatiess. Bet ar savienojošo vārdu “vai” ir jābūt patiesam tikai vienam vienkāršam apgalvojumam, un tad visa izteiksme kļūs patiesa.

Loģikas algebra ietver daudzas loģiskas darbības. Tomēr trīs no tiem ir pelnījuši īpašu uzmanību, jo... ar viņu palīdzību jūs varat aprakstīt visas pārējās, un tāpēc, veidojot shēmas, izmantojiet mazāk dažādu ierīču. Šādas darbības ir konjunkcija (UN), disjunkcija (OR) un noliegums (NOT). Bieži vien savienojums tiek apzīmēts ar &, disjunkcija ar || un noliegums ar joslu virs mainīgā, kas apzīmē paziņojumu.

Plkst konjunction@/a> patiess ar nepatiesa izteiksme rodas tikai tad, ja visas vienkāršās izteiksmes, kas veido kompleksu, ir patiesas. Visos citos gadījumos sarežģītā izteiksme būs nepatiesa.

Plkst disjunkciju patiesība Sarežģīta izteiksme rodas, ja vismaz viena tajā iekļautā vienkārša izteiksme ir patiesa vai divas uzreiz. Gadās, ka sarežģīta izteiksme sastāv no vairāk nekā diviem vienkāršiem. Šajā gadījumā pietiek ar vienu vienkāršu, lai būtu patiesība, un tad viss apgalvojums būs patiess.

Negācija- šī ir unāra darbība, jo tā tiek veikta saistībā ar vienu vienkāršu izteiksmi vai saistībā ar sarežģītas izteiksmes rezultātu. Nolieguma rezultātā tiek iegūts jauns apgalvojums, kas ir pretējs sākotnējam.

Loģiskajām vērtībām parasti tiek izmantotas trīs darbības:

Saikne - loģiskā reizināšana (UN) - un, &, ∧.

Disjunkcija — loģiskā saskaitīšana (OR) — vai, |, v.

Loģiskais noliegums (NOT) - nav,.

Ir ērti aprakstīt loģiskās darbības ar tā sauktajām patiesības tabulām, kas atspoguļo sarežģītu apgalvojumu aprēķinu rezultātus dažādām sākotnējo vienkāršo paziņojumu vērtībām. Vienkāršus apgalvojumus apzīmē ar mainīgajiem (piemēram, A un B).

Datora loģiskie pamati

Datoros tiek izmantotas dažādas ierīces, kuru darbību lieliski raksturo loģikas algebra. Šādas ierīces ietver slēdžu grupas, trigerus, papildinātājus.

Komutācijas ķēdes

Vārti, flip-flops un papildinātāji

Trigeri Un papildinātāji- tās ir salīdzinoši sarežģītas ierīces, kas sastāv no vienkāršākiem elementiem - vārstiem.

Sprūda spēj saglabāt vienu bināro ciparu, jo tas var būt divos stabilos stāvokļos. Trigerus galvenokārt izmanto procesoru reģistros.

Summētāji tiek plaši izmantoti procesoru aritmētiskajās loģiskajās vienībās (ALU) un veic bināro bitu summēšanu.

Informācija un informācijas procesi. Informācijas veidi, tās binārā kodēšana. Informācijas apjoms, pieejas jēdziena “informācijas daudzums” definēšanai, informācijas mērvienības. Skaitliskās, teksta, grafiskās, audio informācijas binārā kodēšana

Informācija(no latīņu valodas informatio - "skaidrojums, prezentācija, apzināšanās") - informācija par kaut ko neatkarīgi no tā pasniegšanas veida.

Pašlaik informācijai kā zinātniskam terminam nav vienotas definīcijas. No dažādu zināšanu jomu viedokļa šo jēdzienu raksturo tā specifiskā īpašību kopa. Jēdziens “informācija” ir pamata datorzinātņu kursā, kur to nav iespējams definēt ar citiem, “vienkāršākiem” jēdzieniem.

Informācijas īpašības:

Objektivitāte (informācija ir objektīva, ja tā nav atkarīga no kāda viedokļa vai sprieduma);

Uzticamība (informācija ir uzticama, ja tā atspoguļo patieso situāciju);

Pilnīgums (informācija ir pilnīga, ja tā ir pietiekama izpratnei un lēmuma pieņemšanai);

Atbilstība (informācija ir aktuāla, savlaicīga, ja tā ir svarīga, nozīmīga pašreizējam laikam);

Lietderība (vērtē pēc uzdevumiem, kurus varam atrisināt ar tās palīdzību);

Saprotamība (informācija ir saprotama, ja tā ir izteikta saņēmējam pieejamā valodā);

Pieejamība (informācija ir pieejama, ja varam dabūt).

Informācijas process- secīgu darbību (operāciju) kopums, kas tiek veikts ar informāciju (datu, informācijas, faktu, ideju veidā, hipotēzes, teorijas utt.), lai iegūtu jebkādu rezultātu (sasniegtu mērķi).

Informācija izpaužas tieši informācijas procesos. Informācijas procesi vienmēr notiek kaut kādā sistēmā (sociālā, sociāli tehniskā, bioloģiskā utt.).

Vispārinātākie informācijas procesi ir informācijas vākšana, pārveidošana un izmantošana.

Galvenie informātikas kursā apgūtie informācijas procesi ir: informācijas meklēšana, atlase, uzglabāšana, pārraide, kodēšana, apstrāde un aizsardzība.

Informācijas procesi, kas tiek veikti, izmantojot noteiktas informācijas tehnoloģijas, veido cilvēka informatīvās darbības pamatu.

Dators ir universāla ierīce informācijas procesu automatizētai izpildei.

Cilvēki strādā ar dažāda veida informāciju. Cilvēku komunikācija savā starpā mājās un skolā, darbā un uz ielas ir informācijas nodošana. Skolotāja stāsts vai drauga stāsts, televīzijas raidījums, telegramma, vēstule, mutiska ziņa utt. - tie visi ir informācijas nodošanas piemēri.

Un mēs jau par to runājām ka vienu un to pašu informāciju var pārraidīt un saņemt dažādos veidos. Tātad, lai atrastu ceļu uz muzeju nepazīstamā pilsētā, varat jautāt garāmgājējam, saņemt palīdzību no informācijas dienesta, mēģināt to izdomāt pats, izmantojot pilsētas karti, vai meklēt ceļvedi. Kad klausāmies skolotāja skaidrojumu, lasām grāmatas vai avīzes, skatāmies TV ziņas, apmeklējam muzejus un izstādes – šajā laikā mēs saņemam informāciju.

Cilvēks saņemto informāciju glabā savā galvā. Cilvēka smadzenes ir milzīga informācijas krātuve. Piezīmju bloks vai piezīmju grāmatiņa, jūsu dienasgrāmata, skolas piezīmju grāmatiņas, bibliotēka, muzejs, kasete ar jūsu iecienītāko melodiju ierakstiem, videolentes - tie visi ir informācijas glabāšanas piemēri.

Informāciju var apstrādāt: teksta tulkošana no angļu valodas krievu valodā un otrādi, doto terminu summas aprēķināšana, uzdevuma risināšana, attēlu vai kontūru karšu krāsošana - tie visi ir informācijas apstrādes piemēri. Jums visiem kādreiz patika krāsot krāsojamās grāmatās. Izrādās, ka šajā laikā jūs nodarbojāties ar svarīgu procesu - informācijas apstrādi, melnbalta zīmējuma pārvēršanu krāsainā.

Informāciju var pat pazaudēt. Teiksim, Dima Ivanovs aizmirsa mājās savu dienasgrāmatu un tāpēc pierakstīja mājasdarbu uz lapiņas. Bet, spēlējot pārtraukumā, viņš no tās izveidoja lidmašīnu un palaida to gaisā. Ierodoties mājās, Dima nevarēja izpildīt mājasdarbu, viņš pazaudēja informāciju. Tagad viņam vai nu jāmēģina atcerēties, kas viņam tika uzdots, vai jāzvana klasesbiedram, lai iegūtu nepieciešamo informāciju, vai arī jādodas uz skolu ar nepabeigtiem mājas darbiem.

Binārā kodēšana - viens no visizplatītākajiem informācijas pasniegšanas veidiem. Datoros, robotos un ciparvadāmās mašīnās, kā likums, visa informācija, ar ko ierīce nodarbojas, tiek kodēta binārā alfabēta vārdu veidā.

Binārais alfabēts sastāv no diviem cipariem 0 un 1.

Digitālie datori (personālie datori pieder pie digitālās klases) izmanto jebkuras informācijas bināro kodēšanu. Tas galvenokārt skaidrojams ar to, ka tehniski bija vieglāk uzbūvēt tehnisku ierīci, kas precīzi atšķir 2 dažādus signāla stāvokļus, nekā tādu, kas precīzi atšķir 5 vai 10 dažādus stāvokļus.

Binārās kodēšanas trūkumi ietver ļoti garus binārā koda ierakstus, kas apgrūtina darbu ar tiem.