Paprastų figūrų formulės. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Žinios, kaip matuoti Žemę, atsirado senovėje ir pamažu formavosi geometrijos moksle. Šis žodis iš graikų kalbos išverstas kaip „žemės matavimas“.

Plokščios Žemės atkarpos ilgio ir pločio matas yra plotas. Matematikoje jis paprastai žymimas lotyniška raide S (iš anglų kalbos „square“ - „area“, „quare“) arba graikiška raide σ (sigma). S žymi figūros plotą plokštumoje arba kūno paviršiaus plotą, o σ yra laido skerspjūvio plotas fizikoje. Tai yra pagrindiniai simboliai, nors gali būti ir kitų, pavyzdžiui, medžiagų stiprumo srityje A yra profilio skerspjūvio plotas.

Susisiekus su

Skaičiavimo formulės

Žinodami paprastų figūrų sritis, galite rasti sudėtingesnių figūrų parametrus.. Senovės matematikai sukūrė formules, kuriomis galima lengvai jas apskaičiuoti. Tokios figūros yra trikampis, keturkampis, daugiakampis, apskritimas.

Norėdami rasti sudėtingos plokštumos figūros plotą, ji suskaidoma į daugybę paprastų figūrų, tokių kaip trikampiai, trapecijos ar stačiakampiai. Tada, naudojant matematinius metodus, gaunama šios figūros ploto formulė. Panašus metodas naudojamas ne tik geometrijoje, bet ir matematinės analizės metu skaičiuojant figūrų, apribotų kreivių, plotus.

Trikampis

Pradėkime nuo paprasčiausios figūros – trikampio. Jie yra stačiakampiai, lygiašoniai ir lygiakraščiai. Paimkite bet kurį trikampį ABC, kurio kraštinės AB=a, BC=b ir AC=c (∆ ABC). Norėdami rasti jo plotą, prisiminkime sinuso ir kosinuso teoremas, žinomas iš mokyklinio matematikos kurso. Atsisakę visų skaičiavimų, gauname šias formules:

S=√ - visiems žinoma Herono formulė, kur p=(a+b+c)/2 yra trikampio pusperimetras;
S = a h/2, kur h yra aukštis, nuleistas į a pusę;
S=a b (sin γ)/2, kur γ yra kampas tarp kraštinių a ir b;
S=a b/2, jei ∆ ABC yra stačiakampis (čia a ir b yra kojos);
S=b² (sin (2 β))/2, jei ∆ ABC yra lygiašonis (čia b yra vienas iš „klunų“, β – kampas tarp trikampio „klunų“);
S=a² √¾, jei ∆ ABC lygiakraštis (čia a yra trikampio kraštinė).

Keturkampis

Tebūnie keturkampis ABCD, kurio AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Norėdami rasti savavališko 4 kampo plotą S, turite jį padalyti iš įstrižainės į du trikampius, kurių plotai S1 ir S2 paprastai nėra lygūs.

Tada apskaičiuokite jas naudodami formules ir sudėkite, t.y. S=S1+S2. Tačiau jei 4-kampis priklauso tam tikrai klasei, tada jo plotą galima rasti naudojant anksčiau žinomas formules:

S=(a+c) h/2=e h, jei tetragonas yra trapecijos formos (čia a ir c – pagrindai, e – trapecijos vidurio linija, h – aukštis, nuleistas iki vieno iš trapecijos pagrindų);
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jei ABCD yra lygiagretainis (čia φ – kampas tarp kraštinių a ir b, h – aukštis, nukritęs į kraštinę a, d1 ir d2 – įstrižainės);
S=a b=d²/2, jei ABCD yra stačiakampis (d yra įstrižainė);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jei ABCD yra rombas (a – rombo kraštinė, φ – vienas iš jo kampų, P – perimetras);
S=a²=P²/16=d²/2, jei ABCD yra kvadratas.

Poligonas

Norėdami rasti n kampo plotą, matematikai suskirsto jį į paprasčiausias lygias figūras - trikampius, suras kiekvieno iš jų plotą ir prideda. Bet jei daugiakampis priklauso reguliaraus klasei, naudokite formulę:

S=a n h/2=a² n/=P²/, kur n – daugiakampio viršūnių (arba kraštinių) skaičius, a – n kampo kraštinė, P – perimetras, h – apotemas, t.y. atkarpa, nubrėžta nuo daugiakampio centro iki vienos iš jo kraštinių 90° kampu.

Apskritimas

Apskritimas yra puikus daugiakampis su begaliniu kraštinių skaičiumi. Turime apskaičiuoti dešinėje esančios išraiškos ribą daugiakampio, kurio kraštinių skaičius n linkęs į begalybę, ploto formulėje. Šiuo atveju daugiakampio perimetras pavirs R spindulio apskritimo, kuris bus mūsų apskritimo riba, ilgiu ir taps lygus P=2 π R. Pakeiskite šią išraišką aukščiau pateikta formule. Mes gausime:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Raskime šios išraiškos ribą kaip n→∞. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į tai, kad lim (cos (180°/n)) n→∞ yra lygus cos 0°=1 (lim yra ribos ženklas), o lim = lim, kai n→∞ yra lygus 1/π (laipsnio matą pavertėme radianu, naudodami santykį π rad=180°, ir pritaikėme pirmąją žymiąją ribą lim (sin x)/x=1 ties x→∞). Pakeisdami gautas reikšmes paskutine S išraiška, gauname gerai žinomą formulę:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Vienetai

Naudojami sisteminiai ir nesisteminiai matavimo vienetai. Sistemos vienetai priklauso SI (System International). Tai kvadratinis metras (kv. metras, m²) ir iš jo gaunami vienetai: mm², cm², km².

Pavyzdžiui, kvadratiniais milimetrais (mm²) jie matuoja elektros inžinerijos laidų skerspjūvio plotą, kvadratiniais centimetrais (cm²) - sijos skerspjūvį konstrukcijų mechanikoje, kvadratiniais metrais (m²) - bute ar name, kvadratiniais kilometrais (km²) - geografiškai .

Tačiau kartais naudojami nesisteminiai matavimo vienetai, tokie kaip: pynimas, ar (a), hektaras (ha) ir akras (as). Pateiksime tokius ryšius:

1 šimtas kvadratinių metrų = 1 a = 100 m² = 0,01 hektaro;
1 ha = 100 a = 100 akrų = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 ac;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 arai = 0,405 ha.

Ploto formulė Būtina nustatyti figūros plotą, kuris yra tikrosios vertės funkcija, apibrėžta tam tikroje Euklido plokštumos figūrų klasėje ir tenkinanti 4 sąlygas:

Pozityvumas – plotas negali būti mažesnis už nulį;
Normalizavimas - kvadratas su šoniniu vienetu turi 1 plotą;
Sutapimas – sutampančios figūros turi vienodą plotą;
Adityvumas - 2 figūrų sąjungos plotas be bendrų vidinių taškų yra lygus šių figūrų plotų sumai.

Geometrinių figūrų ploto formulės.

Geometrinė figūra	Formulė	Piešimas
Sudėjus atstumus tarp išgaubto keturkampio priešingų kraštinių vidurio taškų, rezultatas bus lygus jo pusiau perimetrui.
Apskritimo sektorius. Apskritimo sektoriaus plotas lygus jo lanko ir pusės spindulio sandaugai.
Apskritimo segmentas. Norint gauti segmento ASB plotą, pakanka trikampio AOB plotą atimti iš sektoriaus AOB ploto.	S = 1/2 R(s – AC)
Elipsės plotas lygus didžiosios ir mažosios elipsės pusašių ilgių ir skaičiaus pi sandaugai.
Elipsė. Kitas elipsės ploto skaičiavimo variantas yra per du jos spindulius.
Trikampis. Per pagrindą ir aukštį. Apskritimo ploto formulė, naudojant jo spindulį ir skersmenį.
Kvadratas. Per jo pusę. Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadratas. Per savo įstrižaines. Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
Taisyklingas daugiakampis. Norint nustatyti taisyklingo daugiakampio plotą, būtina jį padalyti į lygius trikampius, kurių įbrėžto apskritimo centre būtų bendra viršūnė.	S= r p = 1/2 r n a

Norėdami išspręsti geometrijos problemas, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastus metodus, kuriuos apžvelgsime.

Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!

Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, norint išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius antroje profilio Vieningo valstybinio matematikos egzamino dalyje, naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.

O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.

1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – padalinkime šią figūrą į tas, apie kurias žinome viską, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.

Padalinkite šį keturkampį su horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra vienodi Ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .

Atsakymas:.

2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip kai kurių sričių skirtumas.

Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus šio trikampio pagrindas ir aukštis! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiųjų trikampių plotų skirtumui. Ar matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .

Atsakymas:.

3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros plotą, o jos dalį. Paprastai mes kalbame apie sektoriaus plotą - apskritimo dalį. Raskite apskritimo, kurio lanko ilgis yra lygus, plotą .

Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus . Belieka išsiaiškinti, kuri apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra lygus (nuo ), o tam tikro sektoriaus lanko ilgis yra lygus , todėl lanko ilgis kelis kartus mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, kuriuo remiasi šis lankas, taip pat yra mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.

Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formules

Formulė trikampio plotui pagal kraštą ir aukštį
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.

Kvadratinės ploto formulės

Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
S = 1 2
2

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas

Lygiagretainio ploto formulės

Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Lygiagretainio plotas
Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
a b sin α

Rombo ploto formulės

Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.

Trapecijos plotų formulės

Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgiai,
- trapecijos kraštinių ilgiai,

Geometrinių figūrų plotai yra skaitinės reikšmės, apibūdinančios jų dydį dvimatėje erdvėje. Šią vertę galima išmatuoti sisteminiais ir nesisteminiais vienetais. Taigi, pavyzdžiui, nesisteminis ploto vienetas yra šimtoji dalis, hektaras. Taip yra, jei matuojamas paviršius yra žemės sklypas. Sistemos ploto vienetas yra ilgio kvadratas. SI sistemoje plokščio paviršiaus ploto vienetas yra kvadratinis metras. GHS ploto vienetas išreiškiamas kvadratiniu centimetru.

Geometrija ir ploto formulės yra neatsiejamai susijusios. Šis ryšys slypi tame, kad plokštumos figūrų plotai apskaičiuojami būtent pagal jų taikymą. Daugeliui figūrų išvedami keli variantai, pagal kuriuos apskaičiuojami jų kvadratiniai matmenys. Remdamiesi probleminių sąlygų duomenimis, galime nustatyti paprasčiausią įmanomą sprendimą. Tai palengvins skaičiavimą ir sumažins skaičiavimo klaidų tikimybę iki minimumo. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite pagrindines geometrijos figūrų sritis.

Formulės, kaip rasti bet kurio trikampio plotą, pateikiamos keliomis parinktimis:

1) Trikampio plotas apskaičiuojamas nuo pagrindo a ir aukščio h. Pagrindas laikoma figūros pusė, ant kurios nuleistas aukštis. Tada trikampio plotas yra:

2) Stačiakampio trikampio plotas apskaičiuojamas taip pat, jei hipotenuzė laikoma pagrindu. Jei koją imsime kaip pagrindą, tada stačiojo trikampio plotas bus lygus perpus perpjautų kojų sandaugai.

Bet kurio trikampio ploto apskaičiavimo formulės tuo nesibaigia. Kitoje išraiškoje yra kraštinės a, b ir kampo γ tarp a ir b sinusoidinė funkcija. Sinuso reikšmė pateikiama lentelėse. Taip pat galite tai sužinoti naudodami skaičiuotuvą. Tada trikampio plotas yra:

Naudodami šią lygybę taip pat galite įsitikinti, kad stačiojo trikampio plotas nustatomas pagal kojų ilgius. Nes kampas γ yra stačiakampis, todėl stačiojo trikampio plotas apskaičiuojamas nedauginant iš sinuso funkcijos.

3) Apsvarstykite specialų atvejį – taisyklingąjį trikampį, kurio kraštinė a žinoma pagal sąlygą arba sprendžiant galima rasti jo ilgį. Apie figūrą geometrijos uždavinyje daugiau nieko nežinoma. Tada kaip rasti šią zoną? Šiuo atveju taikoma taisyklingo trikampio ploto formulė:

Stačiakampis

Kaip rasti stačiakampio plotą ir naudoti kraštinių, turinčių bendrą viršūnę, matmenis? Skaičiavimo išraiška yra tokia:

Jei stačiakampio plotui apskaičiuoti reikia naudoti įstrižainių ilgius, tada jums reikės kampo, susidarančio joms susikerta, sinuso funkcijos. Ši stačiakampio ploto formulė yra tokia:

Kvadratas

Kvadrato plotas nustatomas kaip antrasis kraštinės ilgio laipsnis:

Įrodymas išplaukia iš apibrėžimo, kad kvadratas yra stačiakampis. Visos kraštinės, sudarančios kvadratą, turi vienodus matmenis. Todėl apskaičiuojant tokio stačiakampio plotą reikia padauginti vieną iš kito, t.y. iš antrosios pusės laipsnio. Ir kvadrato ploto apskaičiavimo formulė įgis norimą formą.

Kvadrato plotą galima rasti kitu būdu, pavyzdžiui, jei naudojate įstrižainę:

Kaip apskaičiuoti figūros plotą, kurį sudaro plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas? Norėdami apskaičiuoti plotą, naudojamos šios formulės:

Lygiagretainis

Lygiagretainio formulėje yra tiesiniai kraštinės matmenys, aukštis ir matematinė operacija – daugyba. Jei aukštis nežinomas, kaip rasti lygiagretainio plotą? Yra ir kitas skaičiavimo būdas. Reikės tam tikros vertės, kurią paims gretimų kraštinių suformuoto kampo trigonometrinė funkcija, taip pat jų ilgis.

Lygiagretainio ploto formulės yra šios:

Rombas

Kaip rasti keturkampio, vadinamo rombu, plotą? Rombo plotas nustatomas naudojant paprastą matematiką su įstrižainėmis. Įrodymas pagrįstas tuo, kad d1 ir d2 įstrižainės atkarpos susikerta stačiu kampu. Sinusų lentelė rodo, kad stačiajam kampui ši funkcija yra lygi vienybei. Todėl rombo plotas apskaičiuojamas taip:

Rombo plotą galima rasti ir kitu būdu. Tai taip pat nesunku įrodyti, atsižvelgiant į tai, kad jo kraštinės yra vienodo ilgio. Tada pakeiskite jų sandaugą panašia lygiagretainio išraiška. Juk ypatingas šios figūros atvejis yra rombas. Čia γ yra vidinis rombo kampas. Rombo plotas nustatomas taip:

Trapecija

Kaip rasti trapecijos plotą per pagrindus (a ir b), jei problema rodo jų ilgį? Čia be žinomos aukščio ilgio h reikšmės nebus galima apskaičiuoti tokios trapecijos ploto. Nes šioje reikšmėje yra skaičiavimo išraiška:

Taip pat galima apskaičiuoti ir stačiakampės trapecijos kvadrato dydį. Atsižvelgiama į tai, kad stačiakampėje trapecijoje yra sujungtos aukščio ir kraštinės sąvokos. Todėl stačiakampei trapecijai reikia nurodyti šoninės pusės ilgį, o ne aukštį.

Cilindras ir gretasienis

Apsvarstykime, ko reikia norint apskaičiuoti viso cilindro paviršių. Šios figūros plotas yra apskritimų pora, vadinama bazėmis, ir šoninis paviršius. Apskritimų, sudarančių apskritimus, spindulio ilgis lygus r. Cilindro plotui apskaičiuojamas toks:

Kaip rasti gretasienio plotą, kurį sudaro trys veidų poros? Jo išmatavimai atitinka konkrečią porą. Priešingi veidai turi tuos pačius parametrus. Pirmiausia suraskite S(1), S(2), S(3) – nelygių paviršių kvadratinius matmenis. Tada gretasienio paviršiaus plotas yra:

Žiedas

Du apskritimai su bendru centru sudaro žiedą. Jie taip pat riboja žiedo plotą. Šiuo atveju abiejose skaičiavimo formulėse atsižvelgiama į kiekvieno apskritimo matmenis. Pirmajame iš jų, skaičiuojant žiedo plotą, yra didesni R ir mažesni r spinduliai. Dažniau jie vadinami išoriniais ir vidiniais. Antroje išraiškoje žiedo plotas apskaičiuojamas naudojant didesnį D ir mažesnį d skersmenį. Taigi, žiedo plotas pagal žinomus spindulius apskaičiuojamas taip:

Žiedo plotas, naudojant skersmenų ilgius, nustatomas taip:

Poligonas

Kaip rasti daugiakampio, kurio forma nėra taisyklinga, plotą? Nėra bendros tokių figūrų ploto formulės. Bet jei jis pavaizduotas koordinačių plokštumoje, pavyzdžiui, tai gali būti languotas popierius, tai kaip šiuo atveju rasti paviršiaus plotą? Čia jie naudoja metodą, kuriam nereikia apytiksliai išmatuoti figūrą. Jie daro tai: jei randa taškus, kurie patenka į langelio kampą arba turi visas koordinates, atsižvelgiama tik į juos. Norėdami sužinoti, kokia yra sritis, naudokite Peake įrodytą formulę. Būtina pridėti taškų, esančių trūkinės linijos viduje, kai pusė taškų yra ant jos, skaičių ir atimti vieną, t. y. jis apskaičiuojamas taip:

kur B, G - taškų, esančių atitinkamai trūkinės linijos viduje ir joje, skaičius.