Norėdami išspręsti geometrijos problemas, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastus metodus, kuriuos apžvelgsime.
Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!
Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, norint išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius antroje profilio Vieningo valstybinio matematikos egzamino dalyje, naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.
O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.
1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – padalinkime šią figūrą į tas, apie kurias žinome viską, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.
Padalinkite šį keturkampį su horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra vienodi Ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .
Atsakymas:.
2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip kai kurių sričių skirtumas.
Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus šio trikampio pagrindas ir aukštis! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiųjų trikampių plotų skirtumui. Ar matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .
Atsakymas:.
3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros plotą, o jos dalį. Paprastai mes kalbame apie sektoriaus plotą - apskritimo dalį. Raskite apskritimo, kurio lanko ilgis yra lygus, plotą .
Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus . Belieka išsiaiškinti, kuri apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra lygus (nuo ), o šio sektoriaus lanko ilgis yra lygus , todėl lanko ilgis kelis kartus mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, kuriuo remiasi šis lankas, taip pat yra mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.
Ploto formulė Būtina nustatyti figūros plotą, kuris yra tikrosios vertės funkcija, apibrėžta tam tikroje Euklido plokštumos figūrų klasėje ir tenkinanti 4 sąlygas:
- Pozityvumas – plotas negali būti mažesnis už nulį;
- Normalizavimas - kvadratas su šoniniu vienetu turi 1 plotą;
- Sutapimas – sutampančios figūros turi vienodą plotą;
- Adityvumas - 2 figūrų sąjungos plotas be bendrų vidinių taškų yra lygus šių figūrų plotų sumai.
| Geometrinė figūra | Formulė | Piešimas |
|---|---|---|
|
Sudėjus atstumus tarp išgaubto keturkampio priešingų kraštinių vidurio taškų, rezultatas bus lygus jo pusiau perimetrui. |
||
|
Apskritimo sektorius. Apskritimo sektoriaus plotas lygus jo lanko ir pusės spindulio sandaugai. |
|
|
|
Apskritimo segmentas. Norint gauti segmento ASB plotą, pakanka atimti trikampio AOB plotą iš sektoriaus AOB ploto. |
S = 1/2 R(s – AC) |
|
|
Elipsės plotas lygus didžiosios ir mažosios elipsės pusašių ilgių ir skaičiaus pi sandaugai. |
|
|
|
Elipsė. Kitas elipsės ploto skaičiavimo variantas yra per du jos spindulius. |
|
|
|
Trikampis. Per pagrindą ir aukštį. Apskritimo ploto formulė, naudojant jo spindulį ir skersmenį. |
||
|
Kvadratas. Per jo pusę. Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui. |
|
|
|
Kvadratas. Per savo įstrižaines. Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato. |
||
|
Taisyklingas daugiakampis. Norint nustatyti taisyklingo daugiakampio plotą, būtina jį padalyti į lygius trikampius, kurių įbrėžto apskritimo centre būtų bendra viršūnė. |
S= r p = 1/2 r n a |
Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.
Trikampio ploto formules
- Formulė trikampio plotui pagal kraštą ir aukštį
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos - Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
- Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai. kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,
Kvadratinės ploto formulės
- Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui. - Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.S = 1 2 2 kur S yra kvadrato plotas,
- kvadrato kraštinės ilgis,
- kvadrato įstrižainės ilgis.
Stačiakampio ploto formulė
- Stačiakampio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai
kur S yra stačiakampio plotas,
- stačiakampio kraštinių ilgiai.
Lygiagretainio ploto formulės
- Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Lygiagretainio plotas - Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.a b sin α
kur S yra lygiagretainio plotas,
- lygiagretainio kraštinių ilgiai,
- lygiagretainio aukščio ilgis,
- kampas tarp lygiagretainio kraštinių.
Rombo ploto formulės
- Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai. - Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai. - Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos. kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.
Trapecijos plotų formulės
- Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgiai,
- trapecijos kraštinių ilgiai,