განვიხილოთ სამი გზა უმცირესი საერთო ჯერადის მოსაძებნად.
მოძიება ფაქტორიზაციით
პირველი მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით.
ვთქვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვების LCM: 99, 30 და 28. ამისათვის მოდით, თითოეული ეს რიცხვი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად:
იმისათვის, რომ სასურველი რიცხვი გაიყოს 99-ზე, 30-ზე და 28-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მასში შევიდეს ამ გამყოფების ყველა ძირითადი ფაქტორი. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიყვანოთ ამ რიცხვების ყველა ძირითადი ფაქტორი მაქსიმალურ სიმძლავრემდე და გავამრავლოთ ისინი:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
ამრიგად, LCM (99, 30, 28) = 13,860 სხვა რიცხვი არ იყოფა 99-ზე, 30-ზე ან 28-ზე.
მოცემული რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, თქვენ შეადარეთ ისინი მათ პირველ ფაქტორებად, შემდეგ აიღეთ თითოეული მარტივი ფაქტორი უდიდესი მაჩვენებლით, რომელშიც ის ჩანს და გაამრავლეთ ეს ფაქტორები ერთად.
ვინაიდან შედარებით მარტივ რიცხვებს არ აქვთ საერთო მარტივი ფაქტორები, მათი უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს. მაგალითად, სამი რიცხვი: 20, 49 და 33 შედარებით მარტივია. Ამიტომაც
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
იგივე უნდა გაკეთდეს სხვადასხვა მარტივი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნისას. მაგალითად, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
მოძიება შერჩევით
მეორე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა შერჩევით.
მაგალითი 1. როდესაც მოცემული რიცხვებიდან უდიდესი იყოფა სხვა მოცემულ რიცხვზე, მაშინ ამ რიცხვების LCM უდრის მათგან უდიდეს. მაგალითად, მოცემულია ოთხი რიცხვი: 60, 30, 10 და 6. თითოეული მათგანი იყოფა 60-ზე, ამიტომ:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
სხვა შემთხვევებში, უმცირესი საერთო ჯერადი მოსაძებნად, გამოიყენება შემდეგი პროცედურა:
- განსაზღვრეთ ყველაზე დიდი რიცხვი მოცემული რიცხვებიდან.
- შემდეგი, ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც მრავლად არიან უდიდესი რიცხვის გამრავლებით ნატურალურ რიცხვებზე გაზრდის თანმიმდევრობით და შევამოწმებთ, იყო თუ არა მიღებული ნამრავლი დანარჩენ მოცემულ რიცხვებზე.
მაგალითი 2. მოცემულია სამი რიცხვი 24, 3 და 18. ჩვენ განვსაზღვრავთ მათგან ყველაზე დიდს - ეს არის რიცხვი 24. შემდეგ, ვპოულობთ რიცხვებს, რომლებიც 24-ის ჯერადი არიან, ვამოწმებთ, იყო თუ არა თითოეული მათგანი 18-ზე და 3-ზე:
24 · 1 = 24 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.
24 · 2 = 48 - იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 18-ზე.
24 · 3 = 72 - იყოფა 3-ზე და 18-ზე.
ამრიგად, LCM (24, 3, 18) = 72.
პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული მოძიებით
მესამე მეთოდი არის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა LCM-ის თანმიმდევრული პოვნის გზით.
ორი მოცემული რიცხვის LCM ტოლია ამ რიცხვების ნამრავლის გაყოფილი მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე.
მაგალითი 1. იპოვეთ ორი მოცემული რიცხვის LCM: 12 და 8. განსაზღვრეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (12, 8) = 4. გაამრავლეთ ეს რიცხვები:
ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:
ამრიგად, LCM (12, 8) = 24.
სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის საპოვნელად გამოიყენეთ შემდეგი პროცედურა:
- პირველი, იპოვეთ ამ რიცხვებიდან ნებისმიერი ორის LCM.
- შემდეგ, ნაპოვნი უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის LCM.
- შემდეგ, მიღებული უმცირესი საერთო ჯერადი და მეოთხე რიცხვის LCM და ა.შ.
- ამრიგად, LCM-ის ძებნა გრძელდება მანამ, სანამ არის ნომრები.
მაგალითი 2. ვიპოვოთ სამი მოცემული რიცხვის LCM: 12, 8 და 9. წინა მაგალითში უკვე ვიპოვეთ 12 და 8 რიცხვების LCM (ეს არის რიცხვი 24). რჩება 24 რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი და მესამე მოცემული რიცხვის - 9-ის პოვნა. დაადგინეთ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი: GCD (24, 9) = 3. გაამრავლეთ LCM რიცხვით 9:
ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს მათი gcd-ით:
ამრიგად, LCM (12, 8, 9) = 72.
ქვემოთ წარმოდგენილი მასალა არის თეორიის ლოგიკური გაგრძელება სტატიიდან სათაურით LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები, კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის. აქ ჩვენ ვისაუბრებთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა (LCM), და ჩვენ განსაკუთრებულ ყურადღებას მივაქცევთ მაგალითების ამოხსნას. პირველი, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოითვლება ორი რიცხვის LCM ამ რიცხვების GCD-ის გამოყენებით. შემდეგი, ჩვენ შევხედავთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნას რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნაზე და ასევე ყურადღებას გავამახვილებთ უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლაზე.
გვერდის ნავიგაცია.
უმცირესი საერთო მრავალჯერადი (LCM) გამოთვლა GCD-ის საშუალებით
უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ერთ-ერთი გზა ემყარება LCM-სა და GCD-ს შორის ურთიერთობას. LCM-სა და GCD-ს შორის არსებული კავშირი საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ ორი დადებითი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი ცნობილი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით. შესაბამისი ფორმულა არის LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . განვიხილოთ LCM-ის პოვნის მაგალითები მოცემული ფორმულის გამოყენებით.
მაგალითი.
იპოვეთ ორი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 126 და 70.
გამოსავალი.
ამ მაგალითში a=126, b=70. მოდით გამოვიყენოთ კავშირი LCM-სა და GCD-ს შორის, გამოხატული ფორმულით LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ანუ ჯერ უნდა ვიპოვოთ 70 და 126 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი, რის შემდეგაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ რიცხვების LCM წერილობითი ფორმულით.
ვიპოვოთ GCD(126, 70) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, შესაბამისად, GCD(126, 70)=14.
ახლა ჩვენ ვიპოვით საჭირო უმცირეს საერთო ჯერადს: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
პასუხი:
LCM(126, 70)=630.
მაგალითი.
რის ტოლია LCM(68, 34)?
გამოსავალი.
იმიტომ რომ 68 იყოფა 34-ზე, შემდეგ GCD(68, 34)=34. ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს საერთო ჯერადს: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
პასუხი:
LCM(68, 34)=68 .
გაითვალისწინეთ, რომ წინა მაგალითი შეესაბამება შემდეგ წესს LCM-ის პოვნისთვის დადებითი მთელი რიცხვებისთვის a და b: თუ რიცხვი a იყოფა b-ზე, მაშინ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის a.
LCM-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით
უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის კიდევ ერთი გზა ეფუძნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადაქცევას. თუ შეადგენთ ნამრავლს მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორებიდან და შემდეგ ამ ნამრავლიდან გამორიცხავთ ყველა საერთო მარტივ ფაქტორს, რომელიც არსებობს მოცემული რიცხვების დაშლაში, მაშინ მიღებული ნამრავლი ტოლი იქნება მოცემული რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს. .
LCM-ის პოვნის დადგენილი წესი თანასწორობიდან გამომდინარეობს LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). მართლაც, a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია a და b რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორის ნამრავლის. თავის მხრივ, GCD(a, b) უდრის ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება a და b რიცხვების გაფართოებებში (როგორც აღწერილია GCD-ის პოვნაში რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გაფართოების გამოყენებით).
მოვიყვანოთ მაგალითი. გავიგოთ, რომ 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. შევადგინოთ ნამრავლი ამ გაფართოების ყველა ფაქტორიდან: 2·3·3·5·5·5·7 . ახლა ამ პროდუქტიდან ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც არსებობს როგორც 75-ის, ასევე 210-ის გაფართოებაში (ეს ფაქტორები არის 3 და 5), შემდეგ პროდუქტი მიიღებს 2·3·5·5·7 ფორმას. . ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის 75-ისა და 210-ის უმცირეს საერთო ჯერადს, ანუ NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
მაგალითი.
441 და 700 რიცხვები გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად და იპოვეთ ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.
გამოსავალი.
მოდით გავამრავლოთ რიცხვები 441 და 700 მარტივ ფაქტორებად:
ვიღებთ 441=3·3·7·7 და 700=2·2·5·5·7.
ახლა მოდით შევადგინოთ ნამრავლი ამ რიცხვების გაფართოებაში მონაწილე ყველა ფაქტორიდან: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. მოდით ამ პროდუქტიდან გამოვრიცხოთ ყველა ფაქტორი, რომელიც ერთდროულად არის ორივე გაფართოებაში (არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ფაქტორი - ეს არის რიცხვი 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. ამრიგად, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
პასუხი:
NOC(441, 700)= 44 100 .
LCM-ის პოვნის წესი რიცხვების მარტივ ფაქტორებად ფაქტორიზაციის გამოყენებით შეიძლება ჩამოყალიბდეს ოდნავ განსხვავებულად. თუ b რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებულ ფაქტორებს დაემატება a რიცხვის გაფართოების ფაქტორები, მაშინ მიღებული ნამრავლის მნიშვნელობა უდრის a და b რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადს..
მაგალითად, ავიღოთ იგივე რიცხვები 75 და 210, მათი დაშლა მარტივ ფაქტორებად ასეთია: 75=3·5·5 და 210=2·3·5·7. 3, 5 და 5 ფაქტორებს 75 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ 2 და 7 ფაქტორებს 210 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2·3·5·5·7, რომლის მნიშვნელობა არის ტოლია LCM(75, 210).
მაგალითი.
იპოვეთ 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.
გამოსავალი.
ჩვენ ჯერ ვიღებთ 84 და 648 რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად. ისინი ჰგავს 84=2·2·3·7 და 648=2·2·2·3·3·3·3. 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს 84 რიცხვის გაფართოებიდან ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2, 3, 3 და 3 648 რიცხვის გაფართოებიდან, ვიღებთ ნამრავლს 2 2 2 3 3 3 3 7, რომელიც უდრის 4 536-ს. ამრიგად, 84-ისა და 648-ის სასურველი უმცირესი საერთო ჯერადი არის 4536.
პასუხი:
LCM(84, 648)=4,536.
სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა
სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი შეიძლება მოიძებნოს ორი რიცხვის LCM-ის თანმიმდევრული ძიებით. გავიხსენოთ შესაბამისი თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ სამი ან მეტი რიცხვის LCM.
თეორემა.
დაე, დადებითი მთელი რიცხვები a 1 , a 2 , …, a k იყოს მოცემული, ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი m k გვხვდება m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a) თანმიმდევრული გამოთვლით. 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .
განვიხილოთ ამ თეორემის გამოყენება ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითის გამოყენებით.
მაგალითი.
იპოვეთ ოთხი რიცხვის LCM 140, 9, 54 და 250.
გამოსავალი.
ამ მაგალითში a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
ჯერ ვიპოვით m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). ამისათვის ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით განვსაზღვრავთ GCD(140, 9), გვაქვს 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, შესაბამისად, GCD(140, 9)=1, საიდანაც GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. ანუ m 2 =1 260.
ახლა ჩვენ ვიპოვით m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). გამოვთვალოთ ის GCD(1 260, 54) მეშვეობით, რომელსაც ასევე განვსაზღვრავთ ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 1 260=54·23+18, 54=18·3. შემდეგ gcd(1,260, 54)=18, საიდანაც gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. ანუ m 3 =3 780.
რჩება მხოლოდ პოვნა m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ GCD(3,780, 250) ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. ამიტომ, GCM(3,780, 250)=10, საიდანაც GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. ანუ მ 4 =94500.
ასე რომ, თავდაპირველი ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის 94500.
პასუხი:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
ხშირ შემთხვევაში მოსახერხებელია სამი ან მეტი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა მოცემული რიცხვების მარტივი ფაქტორიზაციების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაიცვან შემდეგი წესი. რამდენიმე რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ნამრავლს, რომელიც შედგენილია შემდეგნაირად: მეორე რიცხვის გაფართოებიდან გამოტოვებული ფაქტორები ემატება ყველა ფაქტორს პირველი რიცხვის გაფართოებიდან, გამოტოვებული ფაქტორები გაფართოებიდან. მესამე რიცხვი ემატება მიღებულ ფაქტორებს და ა.შ.
მოდით შევხედოთ უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის მაგალითს მარტივი ფაქტორიზაციის გამოყენებით.
მაგალითი.
იპოვეთ ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 84, 6, 48, 7, 143.
გამოსავალი.
ჯერ ვიღებთ ამ რიცხვების დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 მარტივი რიცხვია, ემთხვევა. თავის პირველ ფაქტორებად დაშლით) და 143=11·13.
ამ რიცხვების LCM-ის მოსაძებნად, პირველი ნომრის 84-ის ფაქტორებს (ისინი არის 2, 2, 3 და 7), თქვენ უნდა დაამატოთ დაკარგული ფაქტორები მეორე რიცხვ 6-ის გაფართოებიდან. რიცხვი 6-ის დაშლა არ შეიცავს გამოტოვებულ ფაქტორებს, რადგან 2 და 3 უკვე წარმოდგენილია პირველი რიცხვის 84-ის დაშლაში. შემდეგი, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვამატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 2 და 2 მესამე რიცხვის 48 გაფართოებიდან, ვიღებთ 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორების ერთობლიობას. შემდეგ ეტაპზე ამ კომპლექტში მულტიპლიკატორების დამატება არ იქნება საჭირო, რადგან მასში უკვე არის 7. და ბოლოს, 2, 2, 2, 2, 3 და 7 ფაქტორებს ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს 11 და 13 143 რიცხვის გაფართოებიდან. ვიღებთ ნამრავლს 2·2·2·2·3·7·11·13, რომელიც უდრის 48048-ს.
იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოვთვალოთ LCM, ჯერ უნდა დაადგინოთ ტერმინი „მრავალჯერადი“.
A-ს ჯერადი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა A-ზე ნაშთების გარეშე. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც 5-ის ჯერადია, შეიძლება ჩაითვალოს 15, 20, 25 და ა.შ.
შეიძლება იყოს გარკვეული რაოდენობის გამყოფების შეზღუდული რაოდენობა, მაგრამ არის უსასრულო რაოდენობის ჯერადი.
ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადი არის რიცხვი, რომელიც იყოფა მათზე ნაშთის დატოვების გარეშე.
როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი
რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) (ორი, სამი ან მეტი) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა ყველა ამ რიცხვზე.
LOC-ის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მეთოდი.
მცირე რიცხვებისთვის მოსახერხებელია ამ რიცხვების ყველა ჯერადი ჩაწერა სტრიქონზე, სანამ მათ შორის რაიმე საერთოს არ იპოვით. მრავლობითები აღინიშნება დიდი ასო K-ით.
მაგალითად, 4-ის ჯერადი შეიძლება ჩაიწეროს ასე:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
ამრიგად, ხედავთ, რომ 4 და 6 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის რიცხვი 24. ეს აღნიშვნა კეთდება შემდეგნაირად:
LCM(4, 6) = 24
ახლა დაწერეთ ორივე რიცხვის საერთო ფაქტორები. ჩვენს ვერსიაში ეს არის ორი და ხუთი. თუმცა, სხვა შემთხვევებში ეს რიცხვი შეიძლება იყოს ერთი, ორი ან სამნიშნა ან მეტიც. შემდეგ თქვენ უნდა იმუშაოთ ხარისხებთან. აირჩიეთ ყველაზე მცირე სიმძლავრე თითოეული ფაქტორისთვის. მაგალითში ეს არის ორი მეორე ხარისხში და ხუთი პირველი.
და ბოლოს, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მიღებული რიცხვები. ჩვენს შემთხვევაში ყველაფერი უკიდურესად მარტივია: ორი კვადრატში გამრავლებული ხუთზე უდრის 20-ს. ამრიგად, რიცხვ 20-ს შეიძლება ეწოდოს 60-ისა და 80-ის უდიდესი საერთო გამყოფი.
ვიდეო თემაზე
შენიშვნა
გახსოვდეთ, რომ მარტივი ფაქტორი არის რიცხვი, რომელსაც აქვს მხოლოდ 2 გამყოფი: ერთი და თავად რიცხვი.
სასარგებლო რჩევა
ამ მეთოდის გარდა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ევკლიდეს ალგორითმიც. გეომეტრიული ფორმით წარმოდგენილი მისი სრული აღწერა შეგიძლიათ იხილოთ ევკლიდეს წიგნში „ელემენტები“.
დაკავშირებული სტატია
ნატურალური წილადების შეკრება და გამოკლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. იმისათვის, რომ არ გაართულოთ გამოთვლები მათი ერთ მნიშვნელზე მიყვანისას, იპოვეთ მნიშვნელების ყველაზე მცირე საერთო გამყოფი და განახორციელეთ გამოთვლა.
დაგჭირდებათ
- - რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გადანაწილების უნარი;
- - წილადებთან ოპერაციების შესრულების უნარი.
ინსტრუქციები
ჩამოწერეთ წილადების შეკრება. შემდეგ იპოვეთ მათი უმცირესი საერთო ჯერადი. ამისათვის შეასრულეთ მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობა: 1. წარმოიდგინეთ თითოეული მნიშვნელი მარტივ რიცხვებში (უბრალო რიცხვი, რიცხვი, რომელიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და თავის თავზე ნაშთის გარეშე, მაგალითად 2, 3, 5, 7, და ა.შ).2. დააჯგუფეთ ყველა მარტივი, რომელიც ამოწერილია მათი ხარისხების მითითებით. 3. ამოირჩიეთ ამ რიცხვებში გამოსახული თითოეული უბრალო ფაქტორების ყველაზე დიდი სიმძლავრეები. 4. გაამრავლე წერილობითი უფლებამოსილებები.
მაგალითად, წილადების საერთო მნიშვნელი 15, 24 და 36 მნიშვნელებით იქნება რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2 დაწერეთ ამ რიცხვების ყველა უბრალო გამყოფების უდიდესი ხარისხები: 2^3 3^2 5=360.
გაყავით საერთო მნიშვნელი თითოეულზე და დამატებული წილადების მნიშვნელები. გაამრავლეთ მათი მრიცხველები მიღებულ რიცხვზე. წილადის საერთო ხაზის ქვეშ ჩაწერეთ უმცირესი საერთო დივიდენდი, რომელიც ასევე არის ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი. მრიცხველში დაამატეთ რიცხვები, რომლებიც წარმოიქმნება თითოეული მრიცხველის გამრავლებით უმცირესი საერთო ფაქტორის კოეფიციენტზე, გაყოფილი წილადის მნიშვნელზე. ყველა მრიცხველის ჯამი და გაყოფილი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელზე იქნება სასურველი რიცხვი.
მაგალითად, 4/15, 7/24 და 11/36, გააკეთეთ ეს. იპოვეთ ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი, რომელიც არის 360. შემდეგ გაყავით 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. რიცხვი 4, რომელიც არის პირველი წილადის მრიცხველი, გავამრავლოთ 24-ზე (4 24=96), რიცხვი 7 15-ზე (7 15=105), რიცხვი 11 10-ზე (11 10=110). შემდეგ დაამატეთ ეს რიცხვები (96+105+110=301). მივიღებთ შედეგს 4/15+7/24+11/36=301/360.
წყაროები:
- როგორ მოვძებნოთ ყველაზე პატარა რიცხვი
მთელი რიცხვები არის მათემატიკური რიცხვების ერთობლიობა, რომელსაც ბევრი გამოყენება აქვს ყოველდღიურ ცხოვრებაში. არაუარყოფითი მთელი რიცხვები გამოიყენება ნებისმიერი ობიექტის რაოდენობის მითითებისას, უარყოფითი რიცხვები - ამინდის პროგნოზის შესახებ შეტყობინებებში და ა.შ. GCD და LCM არის მთელი რიცხვების ბუნებრივი მახასიათებლები, რომლებიც დაკავშირებულია გაყოფის ოპერაციებთან.
ინსტრუქციები
GCD მარტივია გამოთვლა ევკლიდეს ალგორითმის ან ბინარული მეთოდის გამოყენებით. a და b რიცხვების gcd-ის განსაზღვრის ევკლიდის ალგორითმის მიხედვით, რომელთაგან ერთი არ არის ნული, არსებობს რიცხვების თანმიმდევრობა r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, რომელშიც r_1 უდრის გაყოფის ნაშთს. პირველი ნომერი მეორეზე. ხოლო მიმდევრობის სხვა წევრები უდრის წინა წევრის წინაზე გაყოფის ნაშთებს, ხოლო ბოლო ელემენტი იყოფა ბოლოზე ნარჩენების გარეშე.
მათემატიკურად, თანმიმდევრობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
სადაც k_i არის მთელი რიცხვი.
GCD (a, b) = r_n.
მაგალითი.
იპოვეთ GCD (36, 120). ევკლიდეს ალგორითმის მიხედვით 120-ს გამოაკელი რიცხვი, რომელიც არის 36-ის ჯერადი, ამ შემთხვევაში არის 120 – 36*3 = 12. ახლა გამოაკელი რიცხვი, რომელიც 12-ის ჯერადია 120-ს, მიიღებთ 120 – 12*. 10 = 0. ამიტომ, GCD (36, 120) = 12.
ორობითი ალგორითმი GCD-ს საპოვნელად ეფუძნება ცვლის თეორიას. ამ მეთოდის მიხედვით, ორი რიცხვის gcd აქვს შემდეგი თვისებები:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) ლუწი a და b-სთვის
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) ლუწი a და კენტი b (საპირისპიროა GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) კენტი a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) კენტისთვის b > a
ამრიგად, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3, 9) = 4*3 = 12.
ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა ორივე თავდაპირველ რიცხვზე ნაშთის დატოვების გარეშე.
LCM შეიძლება გამოითვალოს GCD-ის გამოყენებით: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
LCM-ის გამოთვლის მეორე გზა არის რიცხვების კანონიკური ფაქტორიზაცია მარტივ ფაქტორებად:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
სადაც r_i არის მარტივი რიცხვები, ხოლო k_i და m_i არის მთელი რიცხვები ≥ 0.
LCM წარმოდგენილია იგივე მარტივი ფაქტორების სახით, სადაც მაქსიმუმ ორი რიცხვი აღებულია ხარისხებად.
მაგალითი.
იპოვეთ LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი. რიცხვი, რომელიც გაყოფს ყველა მოცემულ რიცხვს ნაშთის გარეშე.
მაგალითად, თუ მოცემული რიცხვებია 2, 3, 5, მაშინ LCM=2*3*5=30
და თუ მოცემული რიცხვებია 2,4,8, მაშინ LCM =8
რა არის ღმერთი?
GCD არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი. რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეული მოცემული რიცხვის გასაყოფად ნაშთის დატოვების გარეშე.
ლოგიკურია, რომ თუ მოცემული რიცხვები მარტივია, მაშინ gcd უდრის ერთს.
და თუ მოცემული რიცხვებია 2, 4, 8, მაშინ GCD უდრის 2-ს.
ჩვენ არ აღვწერთ მას ზოგადად, მაგრამ უბრალოდ გაჩვენებთ გამოსავალს მაგალითით.
მოცემულია ორი რიცხვი 126 და 44. იპოვეთ GCD.
მაშინ თუ მოგვეცემა ფორმის ორი რიცხვი
შემდეგ GCD გამოითვლება როგორც
სადაც min არის pn რიცხვის ყველა სიმძლავრის მინიმალური მნიშვნელობა
და NOC როგორც
სადაც max არის pn რიცხვის ყველა სიმძლავრის მაქსიმალური მნიშვნელობა
ზემოაღნიშნული ფორმულების დათვალიერებისას, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად დაამტკიცოთ, რომ ორი ან მეტი რიცხვის gcd იქნება ერთის ტოლი, როდესაც მოცემულ მნიშვნელობათა მინიმუმ ერთ წყვილს შორის არის შედარებით მარტივი რიცხვები.
მაშასადამე, ადვილია პასუხის გაცემა კითხვაზე, თუ რისი ტოლია 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 რიცხვების gcd, არაფრის გამოთვლის გარეშე.
რიცხვები 3 და 7 შედარებით მარტივია და, შესაბამისად, GCD = 1
მოდით შევხედოთ მაგალითს.
მოცემულია სამი ნომერი 24654, 25473 და 954
თითოეული რიცხვი იყოფა შემდეგ ფაქტორებად
ან, თუ ჩავწერთ ალტერნატიულ ფორმაში
ანუ ამ სამი რიცხვის gcd უდრის სამს
ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ LCM ანალოგიურად და ის უდრის
ჩვენი ბოტი დაგეხმარებათ გამოთვალოთ GCD და LCM ნებისმიერი მთელი რიცხვის, ორი, სამი ან ათი.
მოდით გავაგრძელოთ საუბარი უმცირეს საერთო ჯერადზე, რომელიც დავიწყეთ განყოფილებაში „LCM - ყველაზე ნაკლებად საერთო ჯერადი, განმარტება, მაგალითები“. ამ თემაში განვიხილავთ გზებს სამი ან მეტი რიცხვისთვის LCM-ის პოვნისთვის და განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ ვიპოვოთ უარყოფითი რიცხვის LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
უმცირესი საერთო მრავალჯერადი (LCM) გამოთვლა GCD-ის საშუალებით
ჩვენ უკვე დავადგინეთ კავშირი უმცირეს საერთო ჯერადსა და უდიდეს საერთო გამყოფს შორის. ახლა მოდით ვისწავლოთ როგორ განვსაზღვროთ LCM GCD-ის მეშვეობით. პირველი, მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს დადებითი რიცხვებისთვის.
განმარტება 1
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
მაგალითი 1
თქვენ უნდა იპოვოთ 126 და 70 ნომრების LCM.
გამოსავალი
ავიღოთ a = 126, b = 70. მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები უმცირესი საერთო ჯერადი გამოთვლის ფორმულაში უდიდესი საერთო გამყოფის მეშვეობით LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
პოულობს 70 და 126 რიცხვების gcd-ს. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ევკლიდეს ალგორითმი: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, შესაბამისად GCD (126 , 70) = 14 .
მოდით გამოვთვალოთ LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
პასუხი: LCM(126, 70) = 630.
მაგალითი 2
იპოვეთ რიცხვი 68 და 34.
გამოსავალი
GCD ამ შემთხვევაში ძნელი არ არის, რადგან 68 იყოფა 34-ზე. მოდით გამოვთვალოთ უმცირესი საერთო ჯერადი ფორმულის გამოყენებით: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
პასუხი: LCM(68, 34) = 68.
ამ მაგალითში გამოვიყენეთ a და b დადებითი მთელი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის წესი: თუ პირველი რიცხვი იყოფა მეორეზე, ამ რიცხვების LCM პირველი რიცხვის ტოლი იქნება.
LCM-ის პოვნა რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით
ახლა მოდით შევხედოთ LCM-ის პოვნის მეთოდს, რომელიც დაფუძნებულია რიცხვების ფაქტორებად მარტივ ფაქტორებად.
განმარტება 2
უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, ჩვენ გვჭირდება რამდენიმე მარტივი ნაბიჯის შესრულება:
- ჩვენ ვადგენთ ყველა მარტივი ფაქტორების ნამრავლს იმ რიცხვებისა, რომლებისთვისაც უნდა ვიპოვოთ LCM;
- ჩვენ გამოვრიცხავთ ყველა ძირითად ფაქტორს მათი შედეგად მიღებული პროდუქტებიდან;
- საერთო მარტივი ფაქტორების აღმოფხვრის შემდეგ მიღებული ნამრავლი იქნება მოცემული რიცხვების LCM-ის ტოლი.
უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნის ეს მეთოდი ეფუძნება ტოლობას LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). თუ დავაკვირდებით ფორმულას, ცხადი გახდება: a და b რიცხვების ნამრავლი ტოლია ყველა იმ ფაქტორის ნამრავლის, რომლებიც მონაწილეობენ ამ ორი რიცხვის დაშლაში. ამ შემთხვევაში, ორი რიცხვის gcd უდრის ყველა უბრალო ფაქტორების ნამრავლს, რომლებიც ერთდროულად გვხვდება ამ ორი რიცხვის ფაქტორიზაციებში.
მაგალითი 3
გვაქვს ორი რიცხვი 75 და 210. ჩვენ შეგვიძლია მათი გაანგარიშება შემდეგნაირად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. თუ შეადგენთ ორი ორიგინალური რიცხვის ყველა ფაქტორის ნამრავლს, მიიღებთ: 2 3 3 5 5 5 7.
თუ გამოვრიცხავთ 3 და 5 რიცხვებისთვის საერთო ფაქტორებს, მივიღებთ შემდეგი ფორმის ნამრავლს: 2 3 5 5 7 = 1050. ეს პროდუქტი იქნება ჩვენი LCM 75 და 210 ნომრებისთვის.
მაგალითი 4
იპოვეთ რიცხვების LCM 441 და 700 , ორივე რიცხვის ფაქტორებით მარტივ ფაქტორებად.
გამოსავალი
მოდი ვიპოვოთ პირობაში მოცემული რიცხვების ყველა მარტივი ფაქტორი:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
ჩვენ ვიღებთ რიცხვთა ორ ჯაჭვს: 441 = 3 3 7 7 და 700 = 2 2 5 5 7.
ყველა ფაქტორის ნამრავლს, რომელიც მონაწილეობდა ამ რიცხვების დაშლაში, ექნება ფორმა: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. მოდი ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები. ეს არის ნომერი 7. გამოვრიცხოთ ის მთლიანი პროდუქტიდან: 2 2 3 3 5 5 7 7. გამოდის, რომ NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
პასუხი: LOC(441, 700) = 44,100.
მოდით მივცეთ LCM-ის პოვნის მეთოდის კიდევ ერთი ფორმულირება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლით.
განმარტება 3
ადრე ჩვენ გამოვრიცხავდით ორივე რიცხვისთვის საერთო ფაქტორების საერთო რაოდენობას. ახლა ჩვენ ამას სხვაგვარად გავაკეთებთ:
- მოდით გავამრავლოთ ორივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად:
- პირველი რიცხვის უბრალო ფაქტორების ნამრავლს დაამატეთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები;
- ვიღებთ პროდუქტს, რომელიც იქნება ორი რიცხვის სასურველი LCM.
მაგალითი 5
დავუბრუნდეთ ციფრებს 75 და 210, რისთვისაც უკვე ვეძებდით LCM-ს ერთ-ერთ წინა მაგალითში. მოდით დავყოთ ისინი მარტივ ფაქტორებად: 75 = 3 5 5და 210 = 2 3 5 7. 3, 5 და ფაქტორების ნამრავლს 5 რიცხვები 75 დაამატეთ დაკარგული ფაქტორები 2 და 7 ნომრები 210. ჩვენ ვიღებთ: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .ეს არის 75 და 210 ნომრების LCM.
მაგალითი 6
აუცილებელია გამოვთვალოთ 84 და 648 ნომრების LCM.
გამოსავალი
მოდით შევადაროთ რიცხვები მდგომარეობიდან მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7და 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. პროდუქტს დავუმატოთ ფაქტორები 2, 2, 3 და 7
რიცხვები 84 აკლია ფაქტორები 2, 3, 3 და
3
ნომრები 648. ჩვენ ვიღებთ პროდუქტს 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.ეს არის 84-ისა და 648-ის უმცირესი საერთო ჯერადი.
პასუხი: LCM(84, 648) = 4,536.
სამი ან მეტი რიცხვის LCM-ის პოვნა
მიუხედავად იმისა, თუ რამდენ რიცხვთან გვაქვს საქმე, ჩვენი მოქმედებების ალგორითმი ყოველთვის იგივე იქნება: თანმიმდევრულად ვიპოვით ორი რიცხვის LCM-ს. ამ შემთხვევისთვის არსებობს თეორემა.
თეორემა 1
დავუშვათ, რომ გვაქვს მთელი რიცხვები a 1, a 2,…, a k. NOC მ კეს რიცხვები გვხვდება m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) თანმიმდევრული გამოთვლით.
ახლა ვნახოთ, როგორ შეიძლება გამოიყენოს თეორემა კონკრეტული ამოცანების გადასაჭრელად.
მაგალითი 7
თქვენ უნდა გამოთვალოთ ოთხი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი 140, 9, 54 და 250 .
გამოსავალი
მოდით შემოვიტანოთ აღნიშვნა: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
დავიწყოთ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) გამოთვლით. გამოვიყენოთ ევკლიდეს ალგორითმი 140 და 9 რიცხვების GCD-ის გამოსათვლელად: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. ვიღებთ: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. აქედან გამომდინარე, m 2 = 1,260.
ახლა მოდით გამოვთვალოთ იგივე ალგორითმის გამოყენებით m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). გამოთვლების დროს ვიღებთ m 3 = 3 780.
ჩვენ მხოლოდ უნდა გამოვთვალოთ m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). ჩვენ მივყვებით იმავე ალგორითმს. ვიღებთ m 4 = 94 500.
მაგალითის მდგომარეობიდან ოთხი რიცხვის LCM არის 94500.
პასუხი: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.
როგორც ხედავთ, გამოთვლები მარტივია, მაგრამ საკმაოდ შრომატევადი. დროის დაზოგვის მიზნით, შეგიძლიათ სხვა გზით წახვიდეთ.
განმარტება 4
გთავაზობთ მოქმედებების შემდეგ ალგორითმს:
- ჩვენ ვშლით ყველა რიცხვს მარტივ ფაქტორებად;
- პირველი რიცხვის ფაქტორების ნამრავლს ვუმატებთ გამოტოვებულ ფაქტორებს მეორე რიცხვის ნამრავლიდან;
- წინა ეტაპზე მიღებულ პროდუქტს ვუმატებთ მესამე რიცხვის გამოტოვებულ ფაქტორებს და ა.შ.
- შედეგად მიღებული ნამრავლი იქნება მდგომარეობიდან ყველა რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.
მაგალითი 8
თქვენ უნდა იპოვოთ LCM ხუთი ნომრის 84, 6, 48, 7, 143.
გამოსავალი
მოდით გავამრავლოთ ხუთივე რიცხვი მარტივ ფაქტორებად: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. მარტივი რიცხვები, რომელიც არის რიცხვი 7, არ შეიძლება გაერთიანდეს მარტივ ფაქტორებად. ასეთი რიცხვები ემთხვევა მათ დაშლას მარტივ ფაქტორებად.
ახლა ავიღოთ 84 რიცხვის 2, 2, 3 და 7 მარტივი ფაქტორების ნამრავლი და დავუმატოთ მეორე რიცხვის გამოტოვებული ფაქტორები. ჩვენ დავშალეთ რიცხვი 6 2-ად და 3-ად. ეს ფაქტორები უკვე პირველი რიცხვის ნამრავლშია. ამიტომ, ჩვენ გამოვტოვებთ მათ.
ჩვენ ვაგრძელებთ გამოტოვებული მამრავლების დამატებას. გადავიდეთ რიცხვ 48-ზე, რომლის უბრალო ფაქტორების ნამრავლიდან ვიღებთ 2 და 2-ს. შემდეგ მეოთხე რიცხვიდან ვამატებთ 7-ის მარტივ კოეფიციენტს და მეხუთე რიცხვის 11-ისა და 13-ის კოეფიციენტებს. ვიღებთ: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. ეს არის თავდაპირველი ხუთი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი.
პასუხი: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა
უარყოფითი რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, ჯერ ეს რიცხვები უნდა შეიცვალოს საპირისპირო ნიშნის მქონე რიცხვებით, შემდეგ კი გამოთვლები განხორციელდეს ზემოაღნიშნული ალგორითმების გამოყენებით.
მაგალითი 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) და LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
ასეთი ქმედებები დასაშვებია იმის გამო, რომ თუ მივიღებთ იმას ადა − ა- საპირისპირო რიცხვები,
შემდეგ რიცხვის ჯერადთა სიმრავლე აემთხვევა რიცხვის ჯერადთა სიმრავლეს − ა.
მაგალითი 10
აუცილებელია უარყოფითი რიცხვების LCM-ის გამოთვლა − 145 და − 45 .
გამოსავალი
მოდით შევცვალოთ ნომრები − 145 და − 45 მათი საპირისპირო რიცხვებისთვის 145 და 45 . ახლა, ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, მანამდე რომ დავადგინეთ GCD ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენებით.
მივიღებთ, რომ რიცხვების LCM არის − 145 და − 45 უდრის 1 305 .
პასუხი: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter