بیایید به سه روش برای یافتن کمترین مضرب مشترک نگاه کنیم.
یافتن با فاکتورسازی
روش اول یافتن کمترین مضرب مشترک با فاکتورگیری اعداد داده شده در ضرایب اول است.
فرض کنید باید LCM اعداد: 99، 30 و 28 را پیدا کنیم. برای این کار، بیایید هر یک از این اعداد را به عوامل اول تقسیم کنیم:
برای اینکه عدد مورد نظر بر 99، 30 و 28 بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که شامل تمام ضرایب اول این مقسوم علیه ها باشد. برای انجام این کار، باید همه ضرایب اول این اعداد را به بیشترین توان ممکن برسانیم و آنها را در هم ضرب کنیم:
2 2 3 2 5 7 11 = 13860
بنابراین، LCM (99، 30، 28) = 13860 هیچ عدد دیگری کمتر از 13860 بر 99، 30 یا 28 بخش پذیر نیست.
برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده، آنها را در ضرایب اول خود قرار دهید، سپس هر عامل اول را با بزرگترین توانی که در آن ظاهر می شود، بگیرید و آن عوامل را در آن ضرب کنید.
از آنجایی که اعداد نسبتا اول دارای ضرایب اول مشترک نیستند، کمترین مضرب مشترک آنها برابر حاصلضرب این اعداد است. به عنوان مثال، سه عدد: 20، 49 و 33 نسبتا اول هستند. از همین رو
LCM (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32،340.
همین کار را هنگام یافتن حداقل مضرب مشترک اعداد اول مختلف باید انجام داد. به عنوان مثال، LCM (3، 7، 11) = 3 7 11 = 231.
یافتن با انتخاب
روش دوم یافتن کمترین مضرب مشترک با انتخاب است.
مثال 1. وقتی بزرگترین اعداد داده شده بر عدد معین دیگری تقسیم شود، LCM این اعداد برابر با بزرگترین آنها است. به عنوان مثال، چهار عدد 60، 30، 10 و 6 داده می شود. هر یک از آنها بر 60 بخش پذیر است، بنابراین:
LCM(60، 30، 10، 6) = 60
در موارد دیگر، برای یافتن کمترین مضرب مشترک، از روش زیر استفاده می شود:
- بزرگترین عدد را از اعداد داده شده تعیین کنید.
- در مرحله بعد، اعدادی را که مضرب بزرگترین عدد هستند، با ضرب آن در اعداد طبیعی به ترتیب افزایش و بررسی اینکه آیا حاصلضرب حاصل بر اعداد داده شده باقی مانده بخش پذیر است یا خیر، پیدا می کنیم.
مثال 2. با توجه به سه عدد 24، 3 و 18. بزرگترین آنها را تعیین می کنیم - این عدد 24 است. در مرحله بعد، اعداد مضرب 24 را پیدا می کنیم و بررسی می کنیم که آیا هر یک از آنها بر 18 و 3 بخش پذیر است یا خیر:
24 · 1 = 24 - بر 3 بخش پذیر است، اما بر 18 بخش پذیر نیست.
24 · 2 = 48 - بر 3 بخش پذیر است، اما بر 18 بخش پذیر نیست.
24 · 3 = 72 - قابل تقسیم بر 3 و 18.
بنابراین، LCM (24، 3، 18) = 72.
یافتن با یافتن متوالی LCM
روش سوم یافتن کمترین مضرب مشترک با یافتن متوالی LCM است.
LCM دو عدد داده شده برابر است با حاصلضرب این اعداد تقسیم بر بزرگترین مقسوم علیه مشترکشان.
مثال 1. LCM دو عدد داده شده را بیابید: 12 و 8. بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را تعیین کنید: GCD (12، 8) = 4. این اعداد را ضرب کنید:
ما محصول را بر gcd آنها تقسیم می کنیم:
بنابراین، LCM (12، 8) = 24.
برای پیدا کردن LCM سه یا چند عدد، از روش زیر استفاده کنید:
- ابتدا LCM هر دو عدد از این اعداد را پیدا کنید.
- سپس، LCM از حداقل مضرب مشترک یافت شده و سومین عدد داده شده.
- سپس LCM حداقل مضرب مشترک حاصل و عدد چهارم و غیره.
- بنابراین، تا زمانی که اعداد وجود داشته باشد، جستجو برای LCM ادامه دارد.
مثال 2. بیایید LCM سه عدد داده شده را پیدا کنیم: 12، 8 و 9. قبلاً LCM اعداد 12 و 8 را در مثال قبلی پیدا کردیم (این عدد 24 است). باقی مانده است که کوچکترین مضرب مشترک عدد 24 و سومین عدد داده شده - 9 را پیدا کنیم. بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را تعیین کنید: GCD (24، 9) = 3. LCM را با عدد 9 ضرب کنید:
ما محصول را بر gcd آنها تقسیم می کنیم:
بنابراین، LCM (12، 8، 9) = 72.
مطالب ارائه شده در زیر ادامه منطقی نظریه از مقاله با عنوان LCM - کمترین مضرب مشترک، تعریف، مثال ها، ارتباط بین LCM و GCD است. در اینجا ما در مورد صحبت خواهیم کرد یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM)، و به حل مثال ها توجه ویژه ای خواهیم داشت. ابتدا نشان خواهیم داد که چگونه LCM دو عدد با استفاده از GCD این اعداد محاسبه می شود. در مرحله بعد، ما به دنبال یافتن کمترین مضرب مشترک با فاکتورگیری اعداد به ضرایب اول خواهیم بود. پس از این، بر روی یافتن LCM سه یا چند عدد تمرکز می کنیم و همچنین به محاسبه LCM اعداد منفی می پردازیم.
پیمایش صفحه.
محاسبه حداقل چندگانه مشترک (LCM) از طریق GCD
یکی از راه های یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس رابطه بین LCM و GCD است. ارتباط موجود بین LCM و GCD به ما این امکان را می دهد که حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده محاسبه کنیم. فرمول مربوطه است LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . بیایید به نمونه هایی از پیدا کردن LCM با استفاده از فرمول داده شده نگاه کنیم.
مثال.
کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 126 و 70 را پیدا کنید.
راه حل.
در این مثال a=126، b=70. اجازه دهید از ارتباط بین LCM و GCD استفاده کنیم که با فرمول بیان شده است LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). یعنی ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 70 و 126 را پیدا کنیم و بعد از آن می توانیم LCM این اعداد را با استفاده از فرمول نوشته شده محاسبه کنیم.
بیایید GCD(126, 70) را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا کنیم: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, بنابراین GCD(126, 70)=14.
اکنون حداقل مضرب مشترک مورد نیاز را پیدا می کنیم: GCD(126، 70)=126·70:GCD(126، 70)= 126·70:14=630.
پاسخ:
LCM(126، 70)=630.
مثال.
LCM(68, 34) برابر چیست؟
راه حل.
زیرا 68 بر 34 بخش پذیر است، سپس GCD(68, 34)=34. اکنون کمترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم: GCD(68، 34)=68·34:GCD(68، 34)= 68·34:34=68.
پاسخ:
LCM(68, 34)=68.
توجه داشته باشید که مثال قبلی با قانون زیر برای یافتن LCM برای اعداد صحیح مثبت a و b مطابقت دارد: اگر عدد a بر b بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد a است.
یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به عوامل اول
راه دیگر برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول است. اگر از همه ضرایب اول اعداد داده شده، یک محصول بسازید، و سپس تمام ضرایب اول مشترک موجود در تجزیه اعداد داده شده را از این حاصل حذف کنید، آنگاه حاصل ضرب حاصل برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده خواهد بود. .
قانون بیان شده برای یافتن LCM از برابری ناشی می شود LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). در واقع، حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عوامل دخیل در بسط اعداد a و b. به نوبه خود، GCD(a, b) برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که به طور همزمان در بسط اعداد a و b موجود هستند (همانطور که در بخش یافتن GCD با استفاده از بسط اعداد به عوامل اول توضیح داده شد).
بیایید یک مثال بزنیم. به ما اطلاع دهید که 75=3·5·5 و 210=2·3·5·7. بیایید حاصل را از همه عوامل این بسط ها بسازیم: 2·3·3·5·5·5·7. حال از این محصول، همه عوامل موجود در بسط عدد 75 و بسط عدد 210 را حذف می کنیم (این فاکتورها 3 و 5 هستند)، سپس حاصل ضرب به شکل 2·3·5·5·7 خواهد بود. . مقدار این حاصلضرب برابر است با کمترین مضرب مشترک 75 و 210 یعنی NOC(75، 210)= 2·3·5·5·7=1050.
مثال.
اعداد 441 و 700 را در ضرایب اول قرار دهید و کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.
راه حل.
بیایید اعداد 441 و 700 را به فاکتورهای اول تبدیل کنیم:
441=3·3·7·7 و 700=2·2·5·5·7 بدست می آوریم.
حال بیایید یک محصول از همه عوامل دخیل در گسترش این اعداد ایجاد کنیم: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. اجازه دهید همه عواملی را که به طور همزمان در هر دو بسط وجود دارند از این محصول حذف کنیم (فقط یک عامل وجود دارد - این عدد 7 است): 2·2·3·3·5·5·7·7. بدین ترتیب، LCM(441، 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
پاسخ:
NOC(441، 700)= 44 100 .
قانون یافتن LCM با استفاده از فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول را می توان کمی متفاوت فرموله کرد. اگر عوامل گمشده از بسط عدد b به عوامل حاصل از بسط عدد a اضافه شود، مقدار حاصلضرب برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد a و b خواهد بود..
به عنوان مثال، بیایید همان اعداد 75 و 210 را در نظر بگیریم، تجزیه آنها به عوامل اول به صورت زیر است: 75=3·5·5 و 210=2·3·5·7. به فاکتورهای 3، 5 و 5 از بسط عدد 75، فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از بسط عدد 210 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2·3·5·5·7 را بدست می آوریم که مقدار آن برابر است. برابر با LCM (75, 210).
مثال.
کوچکترین مضرب مشترک 84 و 648 را پیدا کنید.
راه حل.
ابتدا تجزیه اعداد 84 و 648 را به عوامل اول بدست می آوریم. آنها شبیه 84=2·2·3·7 و 648=2·2·2·3·3·3·3·3 هستند. به فاکتورهای 2، 2، 3 و 7 از بسط عدد 84، فاکتورهای گمشده 2، 3، 3 و 3 را از بسط عدد 648 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 2 2 3 3 3 3 7 را به دست می آوریم. که برابر با 4 536 است. بنابراین، حداقل مضرب مشترک مطلوب 84 و 648، 4536 است.
پاسخ:
LCM(84, 648)=4,536.
یافتن LCM سه یا چند عدد
کمترین مضرب مشترک سه یا چند عدد را می توان با یافتن متوالی LCM دو عدد پیدا کرد. اجازه دهید قضیه مربوطه را به خاطر بیاوریم که راهی برای یافتن LCM سه یا چند عدد می دهد.
قضیه.
اجازه دهید اعداد صحیح مثبت a 1 , a 2 , ..., a k داده شوند، کمترین مضرب مشترک m k این اعداد با محاسبه متوالی m 2 = LCM (a 1 , a 2 , m 3 = LCM (m 2 , a به دست می آید. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
بیایید کاربرد این قضیه را با استفاده از مثال یافتن مضرب مشترک چهار عدد در نظر بگیریم.
مثال.
LCM چهار عدد 140، 9، 54 و 250 را پیدا کنید.
راه حل.
در این مثال، 1 = 140، 2 = 9، 3 = 54، 4 = 250.
ابتدا پیدا می کنیم m 2 = LOC (a 1 , a 2) = LOC (140, 9). برای این کار، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی، GCD(140, 9) را تعیین می کنیم، 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، داریم. بنابراین، GCD(140, 9)=1، از کجا GCD(140، 9)=140 9:GCD(140، 9)= 140·9:1=1260. یعنی m 2 = 1 260.
حالا پیدا می کنیم m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). بیایید آن را از طریق GCD (1 260، 54) محاسبه کنیم، که با استفاده از الگوریتم اقلیدسی نیز تعیین می کنیم: 1 260=54·23+18، 54=18·3. سپس gcd(1,260, 54)=18 که از آن gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. یعنی m 3 = 3 780.
تنها چیزی که باقی می ماند یافتن است m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). برای این کار، GCD(3,780, 250) را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا می کنیم: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. بنابراین، GCM(3,780, 250)=10، از آنجا GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780، 250)= 3780·250:10=94500. یعنی m 4 = 94500.
بنابراین کمترین مضرب مشترک چهار عدد اصلی 94500 است.
پاسخ:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
در بسیاری از موارد، یافتن کمترین مضرب مشترک از سه یا چند عدد با استفاده از فاکتورسازی اول اعداد داده شده راحت است. در این صورت باید قانون زیر را رعایت کنید. کمترین مضرب مشترک چند عدد برابر با حاصل ضرب است که به صورت زیر تشکیل می شود: عوامل گمشده از بسط عدد دوم به همه عوامل از بسط عدد اول اضافه می شوند، عوامل مفقود از بسط عدد اول. عدد سوم به عوامل حاصله اضافه می شود و غیره.
بیایید به مثالی از یافتن حداقل مضرب مشترک با استفاده از فاکتورسازی اول نگاه کنیم.
مثال.
کوچکترین مضرب مشترک پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.
راه حل.
ابتدا تجزیه این اعداد را به عوامل اول به دست می آوریم: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 عدد اول است، منطبق است با تجزیه آن به عوامل اول) و 143=11·13.
برای یافتن LCM این اعداد، به فاکتورهای عدد اول 84 (آنها 2، 2، 3 و 7 هستند)، باید فاکتورهای گمشده از بسط عدد دوم 6 را اضافه کنید. تجزیه عدد 6 شامل عوامل گمشده نیست، زیرا هر دو 2 و 3 در حال حاضر در تجزیه اولین عدد 84 وجود دارند. در ادامه به فاکتورهای 2 و 2 و 3 و 7 فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد سوم 48 اضافه می کنیم، مجموعه ای از فاکتورهای 2، 2، 2، 2، 3 و 7 به دست می آید. در مرحله بعد نیازی به افزودن ضریب به این مجموعه نخواهد بود، زیرا 7 قبلاً در آن موجود است. در نهایت به عوامل 2، 2، 2، 2، 3 و 7 فاکتورهای گمشده 11 و 13 را از بسط عدد 143 اضافه می کنیم. حاصلضرب 2·2·2·2·3·7·11·13 را بدست می آوریم که برابر با 48048 است.
برای درک نحوه محاسبه LCM، ابتدا باید معنای اصطلاح "چندین" را تعیین کنید.
مضرب A یک عدد طبیعی است که بر A بدون باقیمانده بخش پذیر است بنابراین اعدادی که مضرب 5 هستند را می توان 15، 20، 25 و غیره در نظر گرفت.
می تواند تعداد محدودی از مقسوم علیه های یک عدد خاص وجود داشته باشد، اما تعداد بی نهایت مضرب وجود دارد.
مضرب مشترک اعداد طبیعی عددی است که بدون باقی ماندن بر آنها بخش پذیر باشد.
چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم
کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد (دو، سه یا بیشتر) کوچکترین عدد طبیعی است که بر همه این اعداد بخش پذیر است.
برای پیدا کردن LOC، می توانید از چندین روش استفاده کنید.
برای اعداد کوچک، نوشتن همه مضرب این اعداد در یک خط راحت است تا زمانی که چیزی مشترک بین آنها پیدا کنید. مضرب ها با حرف بزرگ K نشان داده می شوند.
به عنوان مثال، مضرب 4 را می توان به صورت زیر نوشت:
K (4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)
K (6) = (12، 18، 24، ...)
بنابراین، می بینید که کمترین مضرب مشترک اعداد 4 و 6 عدد 24 است. این نماد به صورت زیر انجام می شود:
LCM(4، 6) = 24
حالا فاکتورهای مشترک هر دو عدد را بنویسید. در نسخه ما دو و پنج است. اما در موارد دیگر این عدد می تواند یک، دو یا سه رقمی یا حتی بیشتر باشد. بعد باید با مدرک کار کنید. برای هر فاکتور کوچکترین توان را انتخاب کنید. در مثال دو به توان دوم و پنج به توان اول است.
در نهایت، فقط باید اعداد حاصل را ضرب کنید. در مورد ما، همه چیز بسیار ساده است: دو ضرب در پنج برابر است با 20. بنابراین، عدد 20 را می توان بزرگترین مقسوم علیه مشترک برای 60 و 80 نامید.
ویدیو در مورد موضوع
توجه داشته باشید
به یاد داشته باشید که عامل اول عددی است که فقط 2 مقسوم علیه دارد: یک و خود عدد.
مشاوره مفید
علاوه بر این روش می توانید از الگوریتم اقلیدسی نیز استفاده کنید. شرح کامل آن که به شکل هندسی ارائه شده است را می توان در کتاب اقلیدس «عناصر» یافت.
مقاله مرتبط
جمع و تفریق کسرهای طبیعی تنها در صورتی امکان پذیر است که مخرج یکسانی داشته باشند. برای اینکه هنگام آوردن آنها به یک مخرج، محاسبات را پیچیده نکنید، کمترین تقسیم کننده مشترک مخرج ها را پیدا کنید و محاسبه را انجام دهید.
شما نیاز خواهید داشت
- - توانایی تبدیل اعداد به فاکتورهای اول؛
- - توانایی انجام عملیات با کسری.
دستورالعمل ها
جمع کسرها را بنویسید. سپس، کمترین مضرب مشترک آنها را پیدا کنید. برای انجام این کار، دنباله اقدامات زیر را انجام دهید: 1. هر یک از مخرج ها را در اعداد اول تصور کنید (یک عدد اول، عددی که فقط بر 1 و خودش بدون باقیمانده بخش پذیر است، برای مثال 2، 3، 5، 7، و غیره).2. تمام موارد ساده ای که نوشته شده اند را با درجه آنها گروه بندی کنید. 3. بزرگترین قدرت های هر یک از این عوامل اول که در این اعداد ظاهر می شوند را انتخاب کنید. 4. توان های نوشته شده را ضرب کنید.
به عنوان مثال، مخرج مشترک کسری با مخرج 15، 24 و 36 عددی خواهد بود که می توان آن را به صورت زیر محاسبه کرد: 15 = 3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2 بزرگترین مقسوم علیه های اول این اعداد را بنویسید: 2^3 3^2 5=360.
مخرج مشترک را بر هر کدام تقسیم کنید و مخرج کسرهای اضافه شده را تقسیم کنید. اعداد آنها را در عدد حاصل ضرب کنید. زیر خط مشترک کسری، کمترین سود مشترک را بنویسید که آن هم کمترین مخرج مشترک است. در صورت حساب، اعدادی را که از ضرب هر عدد در ضریب کمترین عامل مشترک بر مخرج کسر حاصل می شود، جمع کنید. مجموع همه اعداد و تقسیم بر کمترین مخرج مشترک عدد مورد نظر خواهد بود.
به عنوان مثال، برای 4/15، 7/24 و 11/36 این کار را انجام دهید. کمترین مخرج مشترک را پیدا کنید که 360 است. سپس 360/15=24، 360/24=15، 360/36=10 را تقسیم کنید. عدد 4 را که مصداق کسر اول است در 24 (96=4 24)، عدد 7 را در 15 (7 15=105)، عدد 11 را در 10 ضرب کنید (11=10=110). سپس این اعداد را اضافه کنید (96+105+110=301). نتیجه 4/15+7/24+11/36=301/360 را بدست می آوریم.
منابع:
- چگونه کوچکترین عدد را پیدا کنیم
اعداد صحیح انواع مختلفی از اعداد ریاضی هستند که کاربردهای زیادی در زندگی روزمره دارند. از اعداد صحیح غیر منفی برای نشان دادن تعداد اشیا، اعداد منفی - در پیام‌های مربوط به پیش‌بینی آب و هوا و غیره استفاده می‌شود. GCD و LCM ویژگی‌های طبیعی اعداد صحیح مرتبط با عملیات تقسیم هستند.
دستورالعمل ها
محاسبه GCD با استفاده از الگوریتم اقلیدسی یا روش باینری آسان است. طبق الگوریتم اقلیدس برای تعیین gcd اعداد a و b که یکی از آنها صفر نیست، دنباله ای از اعداد r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n وجود دارد که در آن r_1 برابر است با باقی مانده تقسیم عدد اول توسط دوم و سایر اعضای دنباله با باقیمانده تقسیم عضو قبلی بر قبلی برابرند و عنصر ماقبل آخر بر آخرین بدون باقیمانده تقسیم می شود.
از نظر ریاضی، دنباله را می توان به صورت زیر نشان داد:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n،
که در آن k_i یک عامل عدد صحیح است.
GCD (a, b) = r_n.
مثال.
GCD (36، 120) را پیدا کنید. طبق الگوریتم اقلیدسی، عددی را که مضرب 36 است از 120 کم کنید، در این صورت 120 – 36*3 = 12 است. حالا عددی را که مضرب 12 است از 120 کم کنید، 120 – 12* به دست می آید. 10 = 0. بنابراین، GCD (36، 120) = 12.
الگوریتم باینری برای یافتن GCD بر اساس تئوری شیفت است. طبق این روش، gcd دو عدد دارای ویژگی های زیر است:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) برای زوج های a و b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) برای زوج a و فرد b (برعکس برای GCD (a, b) = GCD (a, b/2) صادق است)
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) برای فرد a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) برای فرد b > a
بنابراین، gcd (36، 120) = 2*gcd (18، 60) = 4*gcd (9، 30) = 4* gcd (9، 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3، 9) = 4*3 = 12.
کمترین مضرب مشترک (LCM) دو عدد صحیح کوچکترین عدد صحیحی است که بر هر دو عدد اصلی بدون باقی ماندن باقیمانده بخش پذیر است.
LCM را می توان با استفاده از GCD محاسبه کرد: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
روش دوم برای محاسبه LCM، فاکتورسازی متعارف اعداد به عوامل اول است:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n،
جایی که r_i اعداد اول هستند و k_i و m_i اعداد صحیح ≥ 0 هستند.
LCM به شکل همان فاکتورهای اول نشان داده می شود که حداکثر دو عدد به عنوان توان در نظر گرفته می شود.
مثال.
LCM را بیابید (16، 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16، 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - کمترین مضرب مشترک. عددی که تمام اعداد داده شده را بدون باقی مانده تقسیم می کند.
به عنوان مثال، اگر اعداد داده شده 2، 3، 5 باشند، LCM=2*3*5=30
و اگر اعداد داده شده 2،4،8 باشد، LCM =8 است
GCD چیست؟
GCD بزرگترین مقسوم علیه مشترک است. عددی که می توان از آن برای تقسیم هر یک از اعداد داده شده بدون باقی ماندن استفاده کرد.
منطقی است که اگر اعداد داده شده اول باشند، gcd برابر با یک است.
و اگر اعداد داده شده 2، 4، 8 باشند، GCD برابر با 2 است.
ما آن را به طور کلی توصیف نمی کنیم، بلکه به سادگی راه حل را با یک مثال نشان می دهیم.
دو عدد 126 و 44 داده شده است. GCD را پیدا کنید.
سپس اگر دو عدد از فرم به ما داده شود
سپس GCD به صورت محاسبه می شود
که در آن min حداقل مقدار تمام توان های عدد pn است
و NOC به عنوان
که در آن max حداکثر مقدار تمام توان های عدد pn است
با نگاهی به فرمول های بالا، به راحتی می توانید ثابت کنید که gcd دو یا چند عدد برابر با یک خواهد بود، در صورتی که در بین حداقل یک جفت از مقادیر داده شده اعداد نسبتا اول وجود داشته باشد.
بنابراین، به راحتی می توان به این سوال پاسخ داد که gcd اعدادی مانند 3، 25412، 3251، 7841، 25654، 7 بدون محاسبه چیزی برابر است.
اعداد 3 و 7 هم اول هستند و بنابراین gcd = 1
بیایید به یک مثال نگاه کنیم.
سه عدد 24654، 25473 و 954 داده شده است
هر عدد به عوامل زیر تجزیه می شود
یا اگر آن را به شکل جایگزین بنویسیم
یعنی gcd این سه عدد برابر با سه است
خوب، ما می توانیم LCM را به روشی مشابه محاسبه کنیم و برابر است با
ربات ما به شما کمک می کند GCD و LCM هر عدد صحیح، دو، سه یا ده را محاسبه کنید.
بیایید گفتگو را در مورد کمترین مضرب مشترک، که در بخش "LCM - حداقل مضرب مشترک، تعریف، مثال ها" شروع کردیم، ادامه دهیم. در این مبحث به روش های یافتن LCM برای سه یا چند عدد می پردازیم و به این سوال می پردازیم که چگونه LCM یک عدد منفی را پیدا کنیم.
Yandex.RTB R-A-339285-1
محاسبه حداقل چندگانه مشترک (LCM) از طریق GCD
ما قبلاً رابطه بین کمترین مضرب مشترک و بزرگترین مقسوم علیه مشترک را ایجاد کرده ایم. حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه LCM را از طریق GCD تعیین کنیم. ابتدا بیایید بفهمیم که چگونه این کار را برای اعداد مثبت انجام دهیم.
تعریف 1
با استفاده از فرمول LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) می توانید کمترین مضرب مشترک را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا کنید.
مثال 1
باید LCM اعداد 126 و 70 را پیدا کنید.
راه حل
بیایید a = 126، b = 70 را در نظر بگیریم. بیایید مقادیر را در فرمول محاسبه کمترین مضرب مشترک از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) جایگزین کنیم.
gcd اعداد 70 و 126 را پیدا می کند. برای این ما به الگوریتم اقلیدسی نیاز داریم: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4، بنابراین GCD (126 , 70) = 14 .
بیایید LCM را محاسبه کنیم: LCD (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.
پاسخ: LCM(126، 70) = 630.
مثال 2
عدد 68 و 34 را پیدا کنید.
راه حل
یافتن GCD در این مورد دشوار نیست، زیرا 68 بر 34 بخش پذیر است. بیایید حداقل مضرب مشترک را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: LCM (68، 34) = 68 34: GCD (68، 34) = 68 34: 34 = 68.
پاسخ: LCM(68، 34) = 68.
در این مثال، از قانون یافتن حداقل مضرب مشترک اعداد صحیح مثبت a و b استفاده کردیم: اگر عدد اول بر عدد دوم بخش پذیر باشد، LCM آن اعداد برابر با عدد اول خواهد بود.
یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به عوامل اول
حالا بیایید به روش یافتن LCM نگاه کنیم که بر اساس فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اول است.
تعریف 2
برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید چند مرحله ساده را انجام دهیم:
- ما حاصل ضرب همه عوامل اول اعدادی را که برای آنها باید LCM را پیدا کنیم، ترکیب می کنیم.
- ما همه عوامل اصلی را از محصولات حاصل از آنها حذف می کنیم.
- حاصلضرب پس از حذف ضرایب اول مشترک برابر با LCM اعداد داده شده خواهد بود.
این روش برای یافتن کمترین مضرب مشترک مبتنی بر برابری LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) است. اگر به فرمول نگاه کنید، مشخص می شود: حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عواملی که در تجزیه این دو عدد شرکت می کنند. در این حالت، gcd دو عدد برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که همزمان در فاکتورگیری این دو عدد وجود دارند.
مثال 3
دو عدد 75 و 210 داریم. می توانیم آنها را به صورت زیر در نظر بگیریم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. اگر حاصل ضرب همه ضرایب دو عدد اصلی را بسازید، به دست می آورید: 2 3 3 5 5 5 7.
اگر عوامل مشترک هر دو عدد 3 و 5 را حذف کنیم، حاصلضرب شکل زیر به دست می آید: 2 3 5 5 7 = 1050. این محصول LCM ما برای اعداد 75 و 210 خواهد بود.
مثال 4
LCM اعداد را پیدا کنید 441 و 700 ، هر دو عدد را به فاکتورهای اول فاکتور می کنیم.
راه حل
بیایید همه عوامل اول اعداد داده شده در شرط را پیدا کنیم:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
دو زنجیره اعداد بدست می آوریم: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.
حاصلضرب همه عواملی که در تجزیه این اعداد شرکت کرده اند به شکل زیر خواهد بود: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. بیایید عوامل مشترک را پیدا کنیم. این عدد 7 است. بیایید آن را از کل محصول حذف کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7. معلوم می شود که NOC (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
پاسخ: LOC(441, 700) = 44,100.
اجازه دهید فرمول دیگری از روش برای یافتن LCM با تجزیه اعداد به عوامل اول ارائه دهیم.
تعریف 3
قبلاً، ما از تعداد کل عوامل مشترک برای هر دو عدد حذف شدیم. حالا ما این کار را متفاوت انجام خواهیم داد:
- بیایید هر دو عدد را به عوامل اول فاکتور کنیم:
- به حاصل ضرب ضرایب اول عدد اول عوامل گمشده عدد دوم را اضافه کنید.
- حاصلضرب را بدست می آوریم که LCM مورد نظر دو عددی خواهد بود.
مثال 5
بیایید به اعداد 75 و 210 برگردیم که قبلاً در یکی از نمونه های قبلی به دنبال LCM بودیم. بیایید آنها را به عوامل ساده تقسیم کنیم: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. به حاصل ضرب عوامل 3، 5 و 5 اعداد 75 فاکتورهای گم شده را اضافه کنید 2 و 7 شماره 210. ما گرفتیم: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .این LCM اعداد 75 و 210 است.
مثال 6
محاسبه LCM اعداد 84 و 648 ضروری است.
راه حل
بیایید اعداد را از شرط به عوامل ساده تبدیل کنیم: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. فاکتورهای 2، 2، 3 و را به محصول اضافه می کنیم 7
اعداد 84 عوامل گمشده 2، 3، 3 و
3
شماره 648. ما محصول را دریافت می کنیم 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.این کمترین مضرب مشترک 84 و 648 است.
پاسخ: LCM(84, 648) = 4,536.
یافتن LCM سه یا چند عدد
صرف نظر از اینکه با چند عدد سروکار داریم، الگوریتم اقدامات ما همیشه یکسان خواهد بود: ما به صورت متوالی LCM دو عدد را پیدا خواهیم کرد. یک قضیه برای این مورد وجود دارد.
قضیه 1
بیایید فرض کنیم اعداد صحیح داریم a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kاین اعداد با محاسبه متوالی m 2 = LCM (a 1، a 2)، m 3 = LCM (m 2, a 3)، ...، m k = LCM (m k - 1، a k) به دست می آیند.
حال بیایید ببینیم که چگونه می توان از این قضیه برای حل مسائل خاص استفاده کرد.
مثال 7
شما باید حداقل مضرب مشترک چهار عدد 140، 9، 54 و را محاسبه کنید 250 .
راه حل
اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: a 1 = 140، a 2 = 9، a 3 = 54، a 4 = 250.
بیایید با محاسبه m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) شروع کنیم. بیایید الگوریتم اقلیدسی را برای محاسبه GCD اعداد 140 و 9 اعمال کنیم: 140 = 9 15 + 5، 9 = 5 1 + 4، 5 = 4 1 + 1، 4 = 1 4. دریافت می کنیم: GCD (140، 9) = 1، GCD (140، 9) = 140 9: GCD (140، 9) = 140 9: 1 = 1260. بنابراین، m 2 = 1260.
اکنون بیایید با استفاده از همان الگوریتم m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) محاسبه کنیم. در طی محاسبات m 3 = 3 780 بدست می آوریم.
ما فقط باید m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) را محاسبه کنیم. ما از همین الگوریتم پیروی می کنیم. m 4 = 94 500 بدست می آوریم.
LCM چهار عدد از شرط مثال 94500 است.
پاسخ: NOC (140، 9، 54، 250) = 94500.
همانطور که می بینید، محاسبات ساده هستند، اما کاملاً کار فشرده هستند. برای صرفه جویی در زمان، می توانید راه دیگری را انتخاب کنید.
تعریف 4
ما الگوریتم اقدامات زیر را به شما پیشنهاد می کنیم:
- ما همه اعداد را به عوامل اول تجزیه می کنیم.
- به حاصل ضرب ضرایب عدد اول، عوامل گمشده را از حاصل ضرب عدد دوم اضافه می کنیم.
- به محصول بدست آمده در مرحله قبل، فاکتورهای گمشده عدد سوم و غیره را اضافه می کنیم.
- حاصلضرب حاصل حداقل مضرب مشترک همه اعداد شرط خواهد بود.
مثال 8
شما باید LCM پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.
راه حل
بیایید هر پنج عدد را در ضرایب اول فاکتور کنیم: 84 = 2 2 3 7، 6 = 2 3، 48 = 2 2 2 2 3، 7، 143 = 11 13. اعداد اول که عدد 7 است را نمی توان در فاکتورهای اول قرار داد. چنین اعدادی با تجزیه آنها به عوامل اول همزمان است.
حالا حاصل ضرب ضرایب اول 2، 2، 3 و 7 عدد 84 را گرفته و ضرایب گمشده عدد دوم را به آنها اضافه می کنیم. عدد 6 را به 2 و 3 تجزیه کردیم. این عوامل قبلاً در حاصل ضرب عدد اول هستند. بنابراین، آنها را حذف می کنیم.
ما به اضافه کردن ضریب های گمشده ادامه می دهیم. بریم سراغ عدد 48 که از حاصل ضرب ضرایب اولش 2 و 2 می گیریم. سپس ضریب اول 7 را از عدد چهارم و ضریب های 11 و 13 عدد پنجم را جمع می کنیم. دریافت می کنیم: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. این کمترین مضرب مشترک پنج عدد اصلی است.
پاسخ: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
پیدا کردن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی
برای یافتن کمترین مضرب مشترک اعداد منفی ابتدا باید این اعداد با اعدادی با علامت مخالف جایگزین شوند و سپس با استفاده از الگوریتم های فوق محاسبات انجام شود.
مثال 9
LCM (54، - 34) = LCM (54، 34) و LCM (-622، - 46، - 54، - 888) = LCM (622، 46، 54، 888).
این گونه اعمال از آن جهت جایز است که اگر بپذیریم آو - الف- اعداد مقابل،
سپس مجموعه مضرب یک عدد آبا مجموعه مضرب یک عدد مطابقت دارد - الف.
مثال 10
محاسبه LCM اعداد منفی ضروری است − 145 و − 45 .
راه حل
بیایید اعداد را جایگزین کنیم − 145 و − 45 به اعداد مخالف خود 145 و 45 . اکنون با استفاده از الگوریتم، LCM (145، 45) = 145 45 را محاسبه می کنیم: GCD (145، 45) = 145 45: 5 = 1 305، که قبلاً GCD را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی تعیین کرده ایم.
دریافت می کنیم که LCM اعداد − 145 و است − 45 برابر است 1 305 .
پاسخ: LCM (- 145، - 45) = 1305.
در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید