Знанията за измерване на Земята се появяват в древни времена и постепенно се оформят в науката за геометрията. Тази дума се превежда от гръцки като „земемерство“.
Мярката за обхвата на плосък участък от Земята по дължина и ширина е площта. В математиката обикновено се обозначава с латинската буква S (от английския „квадрат“ - „площ“, „квадрат“) или гръцката буква σ (сигма). S означава площта на фигура в равнина или повърхността на тяло, а σ е площта на напречното сечение на проводник във физиката. Това са основните символи, въпреки че може да има и други, например в областта на якостта на материалите, A е площта на напречното сечение на профила.
Във връзка с
Формули за изчисление
Познавайки областите на прости фигури, можете да намерите параметрите на по-сложни.. Древните математици са разработили формули, които могат да се използват за лесното им изчисляване. Такива фигури са триъгълник, четириъгълник, многоъгълник, кръг.
За да се намери площта на сложна плоска фигура, тя се разбива на много прости фигури като триъгълници, трапеци или правоъгълници. След това с помощта на математически методи се извежда формула за площта на тази фигура. Подобен метод се използва не само в геометрията, но и в математическия анализ за изчисляване на площите на фигури, ограничени от криви.
Триъгълник
Да започнем с най-простата фигура - триъгълник. Те са правоъгълни, равнобедрени и равностранни. Вземете произволен триъгълник ABC със страни AB=a, BC=b и AC=c (∆ ABC). За да намерим неговата област, нека си припомним синусовата и косинусовата теореми, известни от училищния курс по математика. Като оставим всички изчисления, стигаме до следните формули:
- S=√ - формулата на Херон, известна на всички, където p=(a+b+c)/2 е полупериметърът на триъгълника;
- S=a h/2, където h е височината, спусната до страна a;
- S=a b (sin γ)/2, където γ е ъгълът между страните a и b;
- S=a b/2, ако ∆ ABC е правоъгълник (тук a и b са катети);
- S=b² (sin (2 β))/2, ако ∆ ABC е равнобедрен (тук b е едно от „бедрата“, β е ъгълът между „бедрата“ на триъгълника);
- S=a² √¾, ако ∆ ABC е равностранен (тук a е страна на триъгълника).
Четириъгълник
Нека има четириъгълник ABCD с AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. За да намерите площта S на произволен 4-ъгълник, трябва да го разделите по диагонала на два триъгълника, чиито площи S1 и S2 като цяло не са равни.
След това използвайте формулите, за да ги изчислите и да ги добавите, т.е. S=S1+S2. Въпреки това, ако 4-ъгълник принадлежи към определен клас, тогава неговата площ може да бъде намерена с помощта на известни преди това формули:
- S=(a+c) h/2=e h, ако четириъгълникът е трапец (тук a и c са основите, e е средната линия на трапеца, h е височината, спусната до една от основите на трапеца;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ако ABCD е успоредник (тук φ е ъгълът между страни a и b, h е височината, паднала към страна a, d1 и d2 са диагонали);
- S=a b=d²/2, ако ABCD е правоъгълник (d е диагонал);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ако ABCD е ромб (a е страната на ромба, φ е един от неговите ъгли, P е периметърът);
- S=a²=P²/16=d²/2, ако ABCD е квадрат.
Многоъгълник
За да намерят площта на n-gon, математиците го разбиват на най-простите равни фигури - триъгълници, намират площта на всеки от тях и след това ги събират. Но ако многоъгълникът принадлежи към класа на правилните, тогава използвайте формулата:
S=a n h/2=a² n/=P²/, където n е броят на върховете (или страните) на многоъгълника, a е страната на n-ъгълника, P е неговият периметър, h е апотемата, т.е. отсечка, прекарана от центъра на многоъгълника към една от страните му под ъгъл 90°.
кръг
Кръгът е идеален многоъгълник с безкраен брой страни. Трябва да изчислим границата на израза вдясно във формулата за площта на многоъгълник с броя на страните n, клонящи към безкрайност. В този случай периметърът на многоъгълника ще се превърне в дължина на окръжност с радиус R, която ще бъде границата на нашата окръжност, и ще стане равна на P=2 π R. Заместете този израз в горната формула. Ще получим:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Нека намерим границата на този израз като n→∞. За да направим това, вземаме предвид, че lim (cos (180°/n)) за n→∞ е равно на cos 0°=1 (lim е знакът на границата), а lim = lim за n→∞ е равно на 1/π (ние преобразувахме степенната мярка в радиан, използвайки връзката π rad=180°, и приложихме първата забележителна граница lim (sin x)/x=1 при x→∞). Замествайки получените стойности в последния израз за S, стигаме до добре познатата формула:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Единици
Използват се системни и несистемни мерни единици. Системните единици принадлежат към SI (System International). Това е квадратен метър (кв. метър, m²) и единици, получени от него: mm², cm², km².
В квадратни милиметри (mm²), например, те измерват площта на напречното сечение на проводниците в електротехниката, в квадратни сантиметри (cm²) - напречното сечение на лъч в строителната механика, в квадратни метри (m²) - в апартамент или къща, в квадратни километри (km²) - по география .
Въпреки това, понякога се използват несистемни мерни единици, като: тъкане, ar (a), хектар (ha) и акър (ac). Нека представим следните отношения:
- 1 сто квадратни метра=1 a=100 m²=0,01 хектара;
- 1 ha=100 a=100 акра=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
- 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 акра = 0,405 хектара.
Формула за площе необходимо да се определи площта на фигура, която е функция с реална стойност, дефинирана върху определен клас фигури от евклидовата равнина и отговаряща на 4 условия:
- Положителност - площта не може да бъде по-малка от нула;
- Нормализация - квадрат със странична единица е с площ 1;
- Конгруентност - еднакви фигури имат еднаква площ;
- Адитивност - площта на обединението на 2 фигури без общи вътрешни точки е равна на сумата от площите на тези фигури.
| Геометрична фигура | Формула | рисуване |
|---|---|---|
|
Резултатът от добавянето на разстоянията между средните точки на противоположните страни на изпъкнал четириъгълник ще бъде равен на неговия полупериметър. |
||
|
Кръгов сектор. Площта на сектор от кръг е равна на произведението на неговата дъга и половината от радиуса. |
|
|
|
Окръжен сегмент. За да получите площта на сегмента ASB, достатъчно е да извадите площта на триъгълника AOB от площта на сектора AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Площта на елипсата е равна на произведението на дължините на голямата и малката полуос на елипсата и числото pi. |
|
|
|
Елипса. Друга възможност за изчисляване на площта на елипса е чрез два от нейните радиуси. |
|
|
|
Триъгълник. През основата и височината. Формула за площта на кръг, използвайки неговия радиус и диаметър. |
||
|
Квадрат . През неговата страна. Площта на квадрат е равна на квадрата на дължината на неговата страна. |
|
|
|
Квадрат. Чрез неговите диагонали. Площта на квадрат е равна на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал. |
||
|
Правилен многоъгълник. За да се определи площта на правилен многоъгълник, е необходимо да се раздели на равни триъгълници, които биха имали общ връх в центъра на вписания кръг. |
S= r p = 1/2 r n a |
За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, които ще разгледаме.
Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!
Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например, за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част на профилния Единен държавен изпит по математика се използват други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.
Но какво, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.
1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.
Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са равни И . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .
Отговор: .
2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.
Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината на този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .
Отговор: .
3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от кръг. Намерете площта на сектор от кръг с радиус, чиято дъга е равна .
На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като ), и дължината на дъгата на даден сектор е равна , следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който се намира тази дъга, също е коефициент по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.
Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.
Формули за площ на триъгълник
- Формула за площта на триъгълник по страна и височина
Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна - Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
- Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност. където S е площта на триъгълника,
- дължини на страните на триъгълника,
- височина на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,
Формули за квадратна площ
- Формула за площта на квадрат по дължината на страната
Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна. - Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.S= 1 2 2 където S е площта на квадрата,
- дължина на страната на квадрата,
- дължина на диагонала на квадрата.
Формула за площ на правоъгълник
- Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни
където S е площта на правоъгълника,
- дължини на страните на правоъгълника.
Формули за площ на успоредник
- Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
Площ на успоредник - Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.a b sin α
където S е площта на успоредника,
- дължини на страните на успоредника,
- дължина на височината на паралелограма,
- ъгълът между страните на успоредника.
Формули за площта на ромба
- Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
Площ на ромбравно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна. - Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба. - Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
Площ на ромбравно на половината от произведението на дължините на неговите диагонали. където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължина на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължини на диагонали.
Формули за площ на трапец
- Формула на Херон за трапец
Където S е площта на трапеца,
- дължини на основите на трапеца,
- дължини на страните на трапеца,
Площите на геометричните фигури са числени стойности, характеризиращи техния размер в двумерно пространство. Тази стойност може да бъде измерена в системни и несистемни единици. Така, например, несистемна единица площ е стотна, хектар. Такъв е случаят, ако повърхността, която се измерва, е парче земя. Системната единица за площ е квадратът на дължината. В системата SI единицата за плоска повърхност е квадратен метър. В GHS единицата за площ се изразява като квадратен сантиметър.
Формулите за геометрия и площ са неразривно свързани. Тази връзка се състои в това, че изчисляването на площите на равнинните фигури се основава именно на тяхното приложение. За много фигури се извличат няколко опции, от които се изчисляват техните квадратни размери. Въз основа на данните от постановката на задачата можем да определим най-простото възможно решение. Това ще улесни изчислението и ще намали до минимум вероятността от грешки в изчисленията. За да направите това, помислете за основните области на фигурите в геометрията.
Формулите за намиране на площта на всеки триъгълник са представени в няколко варианта:
1) Площта на триъгълник се изчислява от основата a и височината h. За основа се счита страната на фигурата, върху която се спуска височината. Тогава площта на триъгълника е:
2) Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по същия начин, ако хипотенузата се счита за основа. Ако вземем крака като основа, тогава площта на правоъгълния триъгълник ще бъде равна на произведението на краката наполовина.
Формулите за изчисляване на площта на всеки триъгълник не свършват дотук. Друг израз съдържа страните a,b и синусоидалната функция на ъгъла γ между a и b. Стойността на синуса се намира в таблиците. Можете също да го намерите с помощта на калкулатор. Тогава площта на триъгълника е:
Използвайки това равенство, можете също да се уверите, че площта на правоъгълен триъгълник се определя чрез дължините на краката. защото ъгъл γ е прав ъгъл, така че площта на правоъгълен триъгълник се изчислява без умножаване по функцията синус.
3) Да разгледаме частен случай - правилен триъгълник, чиято страна a е известна по условие или дължината му може да бъде намерена при решаване. Нищо повече не се знае за фигурата в геометричната задача. Тогава как да намерим площта при това условие? В този случай се прилага формулата за площта на правилен триъгълник:
Правоъгълник
Как да намерим площта на правоъгълник и да използваме размерите на страните, които имат общ връх? Изразът за изчисление е:
Ако трябва да използвате дължините на диагоналите, за да изчислите площта на правоъгълник, тогава ще ви трябва функция на синуса на ъгъла, образуван при пресичането им. Тази формула за площта на правоъгълник е:
Квадрат
Площта на квадрат се определя като втора степен на дължината на страната:
Доказателството следва от определението, че квадратът е правоъгълник. Всички страни, които образуват квадрат, имат еднакви размери. Следователно изчисляването на площта на такъв правоъгълник се свежда до умножаване един по друг, т.е. до втората степен на страната. И формулата за изчисляване на площта на квадрат ще приеме желаната форма.
Площта на квадрат може да се намери по друг начин, например, ако използвате диагонала:
Как да изчислим площта на фигура, която е образувана от част от равнина, ограничена от кръг? За да изчислите площта, формулите са:
Успоредник
За успоредник формулата съдържа линейните размери на страната, височината и математическата операция - умножение. Ако височината е неизвестна, тогава как да намерите площта на паралелограма? Има и друг начин за изчисляване. Ще се изисква определена стойност, която ще бъде взета от тригонометричната функция на ъгъла, образуван от съседните страни, както и тяхната дължина.
Формулите за площта на успоредник са:
Ромб
Как да намерим площта на четириъгълник, наречен ромб? Площта на ромба се определя с помощта на проста математика с диагонали. Доказателството се основава на факта, че диагоналните отсечки в d1 и d2 се пресичат под прав ъгъл. Таблицата на синусите показва, че за прав ъгъл тази функция е равна на единица. Следователно площта на ромба се изчислява, както следва:
Площта на ромба може да се намери и по друг начин. Това също не е трудно за доказване, като се има предвид, че страните му са еднакви по дължина. След това заменете техния продукт в подобен израз за успоредник. В края на краищата, специален случай на тази конкретна фигура е ромб. Тук γ е вътрешният ъгъл на ромба. Площта на ромба се определя, както следва:
Трапец
Как да намерим площта на трапец през основите (a и b), ако задачата показва техните дължини? Тук, без известна стойност на дължината на височината h, няма да е възможно да се изчисли площта на такъв трапец. защото тази стойност съдържа израза за изчисление:
Квадратният размер на правоъгълен трапец също може да се изчисли по същия начин. Взема се предвид, че в правоъгълен трапец се комбинират понятията височина и страна. Следователно за правоъгълен трапец трябва да посочите дължината на страничната страна вместо височината.
Цилиндър и паралелепипед
Нека разгледаме какво е необходимо за изчисляване на повърхността на целия цилиндър. Площта на тази фигура е двойка кръгове, наречени основи и странична повърхност. Окръжностите, образуващи окръжности, имат дължини на радиуса, равни на r. За площта на цилиндър се извършва следното изчисление:
Как да намерим площта на паралелепипед, който се състои от три чифта лица? Размерите му отговарят на конкретния чифт. Противоположните лица имат еднакви параметри. Първо, намерете S(1), S(2), S(3) - квадратните размери на неравните лица. Тогава повърхността на паралелепипеда е:
Пръстен
Две окръжности с общ център образуват пръстен. Те също така ограничават площта на пръстена. В този случай и двете формули за изчисление вземат предвид размерите на всеки кръг. Първият от тях, изчисляващ площта на пръстена, съдържа по-големия R и по-малкия r радиус. По-често те се наричат външни и вътрешни. Във втория израз площта на пръстена се изчислява чрез по-големия D и по-малкия d диаметър. По този начин площта на пръстена въз основа на известни радиуси се изчислява, както следва:
Площта на пръстена, като се използват дължините на диаметрите, се определя, както следва:
Многоъгълник
Как да намерим площта на многоъгълник, чиято форма не е правилна? Няма обща формула за площта на такива фигури. Но ако е изобразен на координатна равнина, например може да е карирана хартия, тогава как да намерим повърхността в този случай? Тук те използват метод, който не изисква приблизително измерване на фигурата. Те правят това: ако намерят точки, които попадат в ъгъла на клетката или имат цели координати, тогава само те се вземат предвид. За да разберете каква е площта, използвайте формулата, доказана от Peake. Необходимо е да добавите броя на точките, разположени вътре в прекъснатата линия с половината точки, лежащи върху нея, и да извадите една, т.е. изчислява се по следния начин:
където B, G - броят на точките, разположени съответно вътре и на цялата прекъсната линия.