За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, които ще разгледаме.
Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!
Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например, за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част на профилния Единен държавен изпит по математика се използват други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.
Но какво, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.
1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.
Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са равни И . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .
Отговор: .
2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.
Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината на този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .
Отговор: .
3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от кръг. Намерете площта на сектор от кръг с радиус, чиято дъга е равна .
На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като ), и дължината на дъгата на даден сектор е равна , следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който лежи тази дъга, също е коефициент по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.
Формула за площе необходимо да се определи площта на фигура, която е функция с реална стойност, дефинирана върху определен клас фигури от евклидовата равнина и отговаряща на 4 условия:
- Положителност - площта не може да бъде по-малка от нула;
- Нормализация - квадрат със странична единица е с площ 1;
- Конгруентност - еднакви фигури имат еднаква площ;
- Адитивност - площта на обединението на 2 фигури без общи вътрешни точки е равна на сумата от площите на тези фигури.
| Геометрична фигура | Формула | рисуване |
|---|---|---|
|
Резултатът от добавянето на разстоянията между средните точки на противоположните страни на изпъкнал четириъгълник ще бъде равен на неговия полупериметър. |
||
|
Кръгов сектор. Площта на сектор от кръг е равна на произведението на неговата дъга и половината от радиуса. |
|
|
|
Окръжен сегмент. За да получите площта на сегмента ASB, е достатъчно да извадите площта на триъгълника AOB от площта на сектора AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Площта на елипсата е равна на произведението на дължините на голямата и малката полуос на елипсата и числото pi. |
|
|
|
Елипса. Друга възможност за изчисляване на площта на елипса е чрез два от нейните радиуси. |
|
|
|
Триъгълник. През основата и височината. Формула за площта на кръг, използвайки неговия радиус и диаметър. |
||
|
Квадрат . През неговата страна. Площта на квадрат е равна на квадрата на дължината на неговата страна. |
|
|
|
Квадрат. Чрез неговите диагонали. Площта на квадрат е равна на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал. |
||
|
Правилен многоъгълник. За да се определи площта на правилен многоъгълник, е необходимо да се раздели на равни триъгълници, които биха имали общ връх в центъра на вписания кръг. |
S= r p = 1/2 r n a |
Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.
Формули за площ на триъгълник
- Формула за площта на триъгълник по страна и височина
Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна - Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
- Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност. където S е площта на триъгълника,
- дължини на страните на триъгълника,
- височина на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,
Формули за квадратна площ
- Формула за площта на квадрат по дължината на страната
Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна. - Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.S= 1 2 2 където S - площ на квадрата,
- дължина на страната на квадрата,
- дължина на диагонала на квадрата.
Формула за площ на правоъгълник
- Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни
където S е площта на правоъгълника,
- дължини на страните на правоъгълника.
Формули за площ на успоредник
- Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
Площ на успоредник - Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.a b sin α
където S е площта на успоредника,
- дължини на страните на успоредника,
- дължина на височината на паралелограма,
- ъгълът между страните на успоредника.
Формули за площта на ромба
- Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
Площ на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна. - Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба. - Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
Площ на ромбравен на половината от произведението на дължините на неговите диагонали. където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължина на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължини на диагонали.
Формули за площ на трапец
- Формула на Херон за трапец
Където S е площта на трапеца,
- дължини на основите на трапеца,
- дължини на страните на трапеца,