Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна. Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеем
С учетом, что
RC-цепь - электрическая цепь, состоящая из конденсатора и резистора. Она бывает дифференцирующей и интегрирующей. Вот такое соединение резистора и конденсатора называется дифференцирующей цепью или укорачивающей цепью .
При подаче на вход RC-цепи импульса напряжения конденсатора сразу же начнет заряжаться током, проходящим через него самого и резистор. Сначала ток будет максимальным, затем по мере увеличения заряда конденсатора постепенно уменьшится до нуля по экспоненте. Когда через резистор проходит ток, на нем образуется падение напряжения, которое определяется, как U=i R , где i-ток заряда конденсатора. Поскольку ток изменяется экспоненциально, то и напряжение будет изменяться также - экспоненциально от максимума до нуля. Падение напряжения на резисторе, как раз таки и является выходным. Его величину можно определить по формуле U вых = U 0 e -t/τ . Величина τ называется постоянной времени цепи и соответствует изменению выходного напряжения на 63% от исходного (e -1 = 0.37). Очевидно, что время изменения выходного напряжения зависит от сопротивления резистора и емкости конденсатора и, соответственно, постоянная времени цепи пропорциональна этим значениям, т. е. τ = RC . Если емкость в Фарадах, сопротивление в Омах, то τ в секундах.
Если поменять местами резистор и конденсатор, то получим интегрирующую цепь или удлиняющую цепь .
Выходным напряжением в интегрирующей цепи является напряжение на конденсаторе. Естественно, если конденсатор разряжен, оно равно нулю. При подаче импульса напряжения на вход цепи конденсатор начнет накапливать заряд, и накопление будет происходить по экспоненциальному закону, соответственно, и напряжение на нем будет нарастать по экспоненте от нуля до своего максимального значения. Его значение можно определить по формуле U вых = U 0 (1 - e -t/τ) . Постоянная времени цепи определяется по такой же формуле, как и для дифференцирующей цепи и имеет тот же смысл.
Для обеих цепей резистор ограничивает ток заряда конденсатора, поэтому чем больше его сопротивление, тем больше время заряда конденсатора. Также и для конденсатора, чем больше емкость, тем большее время он заряжается.
Электрический ток: виды
Постоянный ток
Постоянным током называется электрический ток, который не изменяется во времени по направлению. Источниками постоянного тока являются гальванические элементы, аккумуляторы и генераторы постоянного тока.
Переменный ток
Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени. Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния.
Пусть два заряда q 1 и q 2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим
П 1 =W 1 =q 1 φ 12 П 2 =W 2 =q 2 φ 21
(φ 12 и φ 21 – соответственно потенциалы поля заряда q 2 в точке нахождения заряда q 1 и заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2).
Согласно определению потенциала точечного заряда
Следовательно.
или
Таким образом,
Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна
(12.59)
(φ і - потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением q i) в точке, в которой находится заряд q i).
Энергия уединённого заряженного проводника
Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна
Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на
(С – электроёмкость проводника).
Следовательно,
т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на
dП = dW =δA= Cφdφ
Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:
(12.60)
Применяя
соотношение
, получаем следующие выражения для
потенциальной энергии:
(12.61)
(q - заряд проводника).
Энергия заряженного конденсатора
Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:
(12.62)
(q - заряд конденсатора, С – его электроёмкость.
С
учётом того, что Δφ=φ 1
–φ 2
= U
- разность потенциалов (напряжение)
между обкладками), получим формулу
(12.63)
Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.
Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.
Для однородного поля объёмная плотность энергии
(12.64)
Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd , где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,
Но
,
тогда
(12.65)
(12.66)
(Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε 0 E - электрическое смещение поля).
Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.
Следует
отметить, что выражение
и
справедливы только для изотропного
диэлектрика, для которого выполняется
соотношениеp=
ε 0 χE.
Выражение
соответствует
теории поля – теории близкодействия,
согласно которой носителем энергии
является поле.
Рассмотрим
процесс зарядки уединенного проводника.
Чтобы его заряд достиг величины Q
,
будем сообщать проводнику заряд порциями
dq
,
перенося их из бесконечно удаленной
точки 1
на поверхность проводника в точку 2
(рис. 3.14). Для передачи проводнику новой
порции заряда
внешние силы должны совершить работу
против сил электрическогополя:
.
Поскольку проводник уединенный (точка1
бесконечно далека от проводника), то
.
Потенциал точки2
равен потенциалу проводника .
Поэтому
.
Если проводнику передан зарядq
,
то его потенциал
.
Полная работа внешних сил по зарядке
проводника до значения зарядаQ
будет равна
.
Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил по зарядке проводника увеличивает энергию создаваемого электростатического поля, т.е. проводник запасает определенную энергию:
.
(3.13)
Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от источника ЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды с одной пластины на другую, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:
,
где Q – заряд конденсатора после зарядки. Тогда энергия электрического поля, созданного конденсатором, определится как
.
(3.14)
Выражение (3.14) позволяет записать величину энергии электростатического поля двумя способами:
и
.
Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: что является носителем электрической энергии? Заряды (первая формула) или поле (вторая формула)? Оба записанных равенства прекрасно согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно вести по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов. При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем (гл. 8) мы увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле – это частный случай электромагнитного поля, существующего в пространстве в виде электромагнитной волны. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью. Введем понятие объемной плотности энергии поля следующим образом.
Преобразуем последнее равенство (3.14) для случая плоского конденсатора, воспользовавшись связью разности потенциалов и напряженности однородного поля:
где
– объем конденсатора, т.е. объем части
пространства, в котором создано
электрическое поле.
Объемной плотностью энергии поля называется отношение энергии поля, заключенного в малом объеме пространства к этому объему:
.
(3.15)
Следовательно,
энергию однородного электрического
поля можно рассчитать так:
.
Сделанный вывод можно распространить на случай неоднородного поля таким образом:
,
(3.16)
где
– такой элементарный объем пространства,
в пределах которого поле можно считать
однородным.
Для
примера рассчитаем энергию электрического
поля, созданного уединенным металлическим
шаром радиусом R
,
заряженным зарядом Q
,
и находящимся в среде с относительной
диэлектрической проницаемостью .
Повторив рассуждения примера из п.2.5,
получим модуль напряженности поля в
виде функции
:
Тогда выражение для объемной плотности энергии поля примет вид:
(рис.
3.15). Объем этого слоя
.
Тогда энергия поля определится так:Аналогичный результат мы бы получили, если бы вычисляли энергию заряженного шара по формуле (3.13), воспользовавшись (3.6):
.
Однако следует помнить, что такой способ неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме поля, а лишь в его части. Также метод расчета по формуле (3.13) нельзя использовать при определении энергии поля системы, для которой неприменимо понятие “емкость”.
В случае действительных величин объёмная плотность энергии электромагнитного поля определяется выражением:
Если рассматривать векторы и как векторы с комплексными составляющими, то для получения действительного выражения для объёмной плотности энергии электромагнитного поля необходимо воспользоваться описанным выше приёмом:
Выражение (8) определяет «мгновенное» значение объёмной плотности электромагнитной энергии в рассматриваемой точке пространства, т.е. значение в некоторый момент времени t . Зависимость (8) представляет собой практически сумму квадратов действительных величин и поэтому является положительно определенной зависимостью. Её численные значения могут изменяться от нуля до некоторой максимальной величины. Представляет интерес вычисление средней по времени величины объёмной плотности энергии электромагнитного поля плоской волны. Средняя по времени физическая величина определяется по правилу:
. (9)
Для гармонических во времени процессов величину выбирают равной периоду колебаний , а начало отсчёта выбирают равным нулю.
Легко видеть, что имеют место соотношения:
;
; (10)
.
Аналогичные результаты справедливы и для векторов напряжённости магнитного поля.
С учётом полученных результатов средняя по времени величина объёмной плотности энергии электромагнитного поля в рассматриваемой точке пространства может быть описана зависимостью
Выражение (11) является локальным, действительным и положительно определённым. С его помощью можно вычислить энергию электромагнитного поля в некоторой области пространства:
, (12)
где энергия электрического поля и энергия магнитного поля определены соотношениями
, 
. (13)
Интегрирование в соотношениях (13) проводится по объёму рассматриваемой области пространства. Эти выражения ниже будут использованы при анализе балансовых энергетических соотношений.
Вектор Умова-Пойнтинга .
Плотность потока энергии электромагнитного поля, как известно, определяется выражением
При необходимости использовать результаты метода комплексных амплитуд действительное (вещественное) выражение для вектора записывают в виде:
Оценивая векторные произведения в соотношении (15), получаем:
;
.
.
В результате осреднения по времени зависимости (15) для мгновенного значения вектора плотности потока энергии приходим к соотношению:
. (16)
Таким образом, получают постоянную во времени векторную величину с вещественными компонентами. Интересно, что – формально - полученное выражение является действительной частью комплексного выражения
Это порождает возможность ввести в рассмотрение «комплексный вектор Умова-Пойнтинга»:
. (18)
Обоснованием целесообразности такого приёма служит соотношение:
Физическое содержание соотношения (19) заключается в том, что среднее по времени от вектора плотности потока энергии электромагнитного поля в гармоническом приближении (вещественная постоянная векторная величина!) может быть вычислено как действительная часть комплексного вектора Умова-Пойнтинга.
Объёмная плотность мощности .
Для действительных величин объёмная плотность мощности вычисляется по выражению
Выражение (20) – произведение двух гармонических величин - является нелинейным, поэтому для получения действительной величины в методе комплексных амплитуд требуется исходить из соотношения:
Зависимость (21) определяет действительное (вещественное) значение объёмной плотности мощности в произвольный момент времени. Поскольку рассматриваемая величина осциллирует во времени, можно ввести осреднённую по времени величину объёмной плотности мощности аналогично тому, как это было сделано выше при рассмотрении объёмной плотности энергии:
Анализ выражения (22) показывает, что можно ввести комплексную плотность мощности
поскольку легко проверяется соотношение
. (24)
Теперь можно приступить к рассмотрению балансовых энергетических соотношений в неоднородной плоской электромагнитной гармонической волне.
Комплексный аналог теоремы Пойнтинга .
Уравнения Максвелла – уравнение электромагнитной индукции и уравнение полного тока в дифференциальной форме – запишем с использованием гармонического приближения:
Заметим, что уравнения (25)-(26) справедливы, если форма зависимости гармонических величин от времени определена соотношениями (6).
Если , то имеет место 
, поскольку из первого уравнения следует и . Другими словами говоря, если справедливо линейное уравнение для комплексной величины, то справедливо и комплексно сопряжённое уравнение. Воспользуемся этим математическим утверждением и запишем уравнение (26) в комплексно сопряжённой форме:
Умножим уравнение (25) скалярно на вектор , а уравнение (27) – на вектор :
Вычтем из уравнения (28) уравнение (29):
Левая часть уравнения (30) может быть преобразована:
В принципе, здесь использовано известное векторное тождество, его можно проверить непосредственным вычислением в декартовой системе координат, а можно воспользоваться символическим методом и определением дифференциального векторного оператора «набла» (или оператора Гамильтона) . Продемонстрируем этот метод. Рассмотрим дивергенцию векторного произведения двух векторных полей:
.
Для того чтобы можно было пользоваться обозначением как просто векторной величиной, перепишем предыдущее соотношение с учётом дифференциального характера оператора набла:
где индексом «с» помечены условно постоянные величины, их можно «выносить» за символ дифференциального оператора . Теперь полученное выражение можно рассматривать просто как сумму двух смешанных произведений трёх векторов. Известно, что смешанное произведение трёх векторов может быть записано в нескольких эквивалентных формах. Нам необходимо выбрать такую форму, чтобы «вектор » не оставался в крайней правой позиции: как дифференциальный оператор он должен на что-нибудь действовать.
Положим, что в некоторый момент времени напряжение на конденсаторе равно и. При увеличении напряжения на конденсаторе на du заряд на одной из пластин конденсатора увеличится на dQ, а на другой - на -dQ, dQ-C du, где С- емкость конденсатора.
Для переноса заряда dQ источник энергии должен совершить работу и dQ = C и du, которая затрачивается на создание электрического поля в конденсаторе.
Энергия, доставленная источником при заряде конденсатора от напряжения и = 0 до напряжения u = U и перешедшая в энергию электрического поля конденсатора, равна
Рассмотрим вопрос об объемной плотности энергии электрического поля. Для этого возьмем плоский конденсатор и положим, что расстояние между пластинами его равно х, а площадь каждой пластины с одной стороны равна S. Диэлектрическая проницаемость среды между пластинами е а. Напряжение между пластинами U Пренебрежем искажающим влиянием краев конденсатора на поле между пластинами. При этом условии поле можно считать равномерным. Напряженность электрического поля по модулю: E = U/x. Вектор электрической индукции по модулю: ?> = е, E-QIS. Емкость плоского конденсатора С = е. Six. Для нахождения объемной плотности энергии электрического поля разделим энергию W = С?/ 2 /2*е а S(J 2 /(2x) на объем У = S х, «занятый» полем. Получим У,1У = г ш Е 2 12 = Е 0/2.
Таким образом, объемная плотность энергии электрического поля равна е а Е 2 12. Если поле неравномерно, то напряженность будет изменяться при переходе от одной точки поля к соседней, но объемная плотность энергии поля будет по-прежнему равна е, Е 2 12, так как в пределах бесконечно малого объема поле можно считать равномерным
Выделим в поле элементарный объем dV. Энергия в этом объеме равна (е а E l l2)dV. Энергия, заключенная в объеме У любых размеров, равна |е а E 2 l2dV. В электрическом
поле между заряженными телами действуют механические силы и их можно выразить в виде производной от энергии поля по изменяющейся координате На рис. 19.24, б изображен плоский конденсатор, который присоединен к источнику напряжения U. В соответствии с предыдущим расстояние между пластинами назовем х, а площадь пластины - S. Под действием этих сил пластины конденсатора стремятся сблизиться. Сила, действующая на нижнюю пластину, направлена вверх, на верхнюю пластину - вниз.
Положим, что под действием силы F нижняя пластина медленно (теоретически бесконечно медленно) переместилась вверх на расстояние dx и приняла положение, показанное пунктиром на рис. 19.24, б. Составим уравнение для баланса энергии при таком перемещении пластин. На основании закона сохранения энергии доставленная источником питания энергия dW H должна равняться сумме трех слагаемых: 1) работе силы F на расстоянии dx, 2) изменению энергии электрического поля конденсатора dW, 3) тепловым потерям от тока i t который протекает по проводам сопротивлением R в течение времени от 0 до «:
В общем случае при перемещении пластины могут измениться и напряжение между пластинами U, и заряд Q.
Рассмотрим теперь два характерных частных случая перемещения пластины конденсатора. В первом конденсатор отсоединен от источника напряжения и перемещение пластины происходит при неизменных зарядах на пластинах. Во втором перемещение пластины происходит при неизменном напряжении U между пластинами (конденсатор присоединен к источнику неизменного напряжения U).
Первый случай. Так как конденсатор отсоединен от источника энергии, то последний энергии не доставляет и потому dW^ - 0. При этом F ^-dW^ldx.
Таким образом, сила, действующая на пластину, равна взятой с обратным знаком производной от энергии электрического поля конденсатора по изменяющейся координате. Знак минус свидетельствует о том, что в рассматриваемом случае работа силы производится за счет убыли энергии в электрическом поле конденсатора.
Если учесть, что энергия электрического поля конденсатора W^=Q 2 !{2С) = = Q 2 х/(2 с а 5), то модуль силы F равен dW y Idx = Q 1 /(2 e t 5) = e, E 2 S/2.
Второй случай. Энергия, доставляемая источником питания при U - const на приращение заряда равна dV H =U dQ = U 2 dC. где dC - приращение емкости, вызванное уменьшением расстояния между пластинами на dx.
Изменение энергии электрического поля конденсатора dW,=d{CU 2 /2) = (/ 2 dCI2. Разность dW H -dW =U 2 dC-U 1 dC!2-dW ,. Поэтому во втором случае
Таким образом, и во втором случае сила равна производной от энергии электрического поля по изменяющейся координате.
Емкость C=e t 5/jr, поэтому
Сила, действующая на пластину конденсатора во втором случае, равна силе, действующей на пластину конденсатора в первом случае. На единицу поверхности конденсатора действует сила F!S-z b Е 2 12. Обратим внимание на то, что величина Е 2 12 не только выражает собой плотность энергии электрического поля, но и численно равна силе, действующей на единицу поверхности пластины конденсатора. Действующие на пластины конденсатора силы можно рассматривать как результат проявления сил продольного сжатия (вдоль силовых трубок) и сил бокового распора (поперек силовых трубок). Силы продольного сжатия стремятся укоротить силовую трубку, а силы бокового распора - расширить ее. На единицу боковой поверхности силовой трубки действует сила, численно равная е ш Е 2 12. Эти силы проявляются не только в виде сил, действующих на пластины конденсатора, но также в виде сил на границе раздела двух диэлектриков. В этом случае на границе раздела действует сила, направленная в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.